力系的简化与合成课件

力系的简化与合成§2-1力对点的矩和力对轴的矩1.力对点的矩力对点之矩是力使物体绕某一点转动效果的度量，在空间上，力对于一点的力矩，取决于三个要素，既力矩的大小，转向和力与矩心所构成平面方位。z

Oyx

×的大小:的方向:

与该力和矩心所构成平面的法线方向相同，垂直于所组成的平面；力矩矢量的指向可用右手螺旋法则来确定。z

yx

ABOh×以矩心O为原点，建立空间直角坐标系oxyz设为方向的单位矢量。设力的作用点的坐标为力在三个坐标轴上的投影为,矢径和力分别表示为:yzxO×

特殊情况，当时，在面上，垂直于面，与轴平行，这正是平面力对于点力矩的特例。z

O

yx

×2．力对轴的矩

力对轴的力矩是力使物体绕该轴转动效果的度量。

可见，力对轴的力矩，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。正负号如下规定：从z

轴正端来看，该力的投影使得物体绕该轴按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。可以按右手螺旋法则来判定。

图示表明力F

对固定轴z的矩，可由F

分解为平行于z轴的力Fz

和垂直于z轴的力Fxy

分别对z轴的力矩和。

Fz

对轴不产生力矩作用。××对轴的力矩解：取A点为坐标原点例：如图求F

对x,y,z

轴和对A点的力矩C点坐标为(-l,2l,0)C点作用力为:××

对点A的力矩：ק2-2基本力系----汇交力系和力偶系1．汇交力系

作用于刚体上所有力的作用线都交于一点的力系称为汇交力系（包括平面汇交力系和空间汇交力系）×1)汇交力系合成几何法：

设刚体上作用在同一点的力系F1,F2,…Fn.；它们合成可以根据平行四边形法，两个力逐个合成，最后得到一个通过汇交点A的合力。×

可以用下面方法求F1,F2,…Fn合力的大小与方向。在空间任取一点a

，先作力三角形求出F1和F2的合力大小和方向为FR1，再作力三角形合成FR1和F3得到FR2，依次进行，最后合成FR(n-2)和Fn得到FR，这样形成一个多边形abcdef称为汇交力系力多边形，矢量af

为力多边形的封闭边，它表示汇交力系合力FR的大小和方向，合力的作用线仍通过原汇交点A。各分力的矢量沿着同一方向首尾相接。

构成的力多边形是一个有缺口不封闭的力多边形，合力FR矢量则沿着相反方向连接此缺口，当改变各分力的矢量的作图次序，可以得到形状不同的力多边形。但合力矢量保持不变。×由力的分解得各分力矢量表达式×

合力方向为：合力矢：合力的大小：×力多边形自行封闭，刚体处于平衡状态。此即汇交力系平衡条件。汇交力系的平衡条件汇交力系平衡方程×解：1）几何法：如图所示2）解析法将每个分力写成矢量形式：例1：一个物体在O点受力F1，

F2，F3如图所示，F1=

F2=F3=5N大小为，求合力。选题×例2一个梁结构如图，在F力作用下处于平衡状态，求A，C支座反力。三力汇交平衡条件：一物体上作用三个力时平衡，三力共面和汇交于一点。几何法×解析法1）取梁为研究对象2）取坐标3）受力分析5）列平衡方程解未知力4）分析力系：平面汇交力系选题×例3直杆AB，AC，AD，用光滑球铰联结成支架，几何尺寸如图，各杆重量不计，A点作用施加作用力P，确定三杆所受力的大小。1）取整体为研究对象2）取坐标3）受力分析4）分析力系：空间汇交力系×5）列平衡方程解未知力压力拉力×5）列平衡方程解未知力拉力压力选题×1）力偶2．力偶系力偶：由大小相等，方向相反，作用线平行而不重合的二力组成的力系。2）力偶三要素力偶矩大小；力偶在作用面的转向；力偶作用面的方位；×3）平面力偶记为：(F,F’)平面力偶为代数量，两个要素决定：力偶矩大小：

符号由转向决定：逆时针为正4）平面力偶等效定理同一个平面的两个力偶，如果力偶矩大小相等，转向相同则两个等效。×

(P

,P′）可以沿着其作用线移动到l1,l2上任何一点。∴力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关。平面力偶等效定理证明

在力偶

(F,F′)作用面上，任取两点A和B，分别过A、B两点作平行线l1,l2与F,F′二力作用线分别交于C点和D点，联结CD，过C，D两点，

在CD连线方向上加平衡力Q,Q′,则P=F+Q,P′=F′+Q′,则

(P

,P′）作用结果等效于(F,F′)的作用结果。×平面上两个力偶：力偶矩大小相等；转向相同。两个等效×平面上两个力偶合成×5）空间力偶

M(F,F′),由(F,F′)二力构成为一矢量。方向垂直于(F,F′)作用线所构成的平面，其指向由右手法则确定.其大小为:空间力偶等效条件：力偶矩矢相等×如图所示组成力偶的两个力（FA,FB）对于空间任意点O的矩：大小为

与O点选取无关；方向垂直于（FA,FB）组成的平面，指向由确定。表明力偶矩矢量是一个自由矢量。

×2）力偶系的合成空间力偶系如图所示，由于力偶矩矢量是自由矢量，所以可以将作用在刚体上的每个力偶矩矢量平行地移动到同一点。力偶系合成与汇交力系的合成方法相似，构成汇交矢量系。

×合力偶矢量的大小合力偶矢量的方向

×力偶系的平衡条件力偶多边形的自行封闭，刚体处于平衡状态。此即力偶系平衡条件。汇交力系平衡方程×例4一个边长为1m的立方体物体上受三个力偶作用如图求合力偶。解：1）几何法：图示。×2）解析法:将每个力偶写成矢量形式：选题×例5梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，确定支座反力几何法×解析法1）取梁为研究对象2）取坐标3）受力分析5）列平衡方程解未知力4）分析力系：平面力偶系选题×例6无重曲杆ABCD结构如图，D端为球铰支座，A端受轴承约束，已知力偶M2,M3

，曲杆处于平衡状态，确定

M1和支座反力。解：1）取无重曲杆ABCD为研究对象2）建立坐标系3）受力分析组成力偶×选题ק2-3力线平移定理力线平移定理：作用在刚体上的力可以平移到刚体的任意一点，但需要附加一个力偶，此力偶矩等于原力对新的作用点之矩。证明：设力F作用在刚体的A点,在刚体的任意点B上加平行于F，且构成平衡力系的二力F´和F"

，使F=F´=F"

，此时，

可以看成F´和力偶（F,F"）的作用。而F´和F的大小和方向相同，而作用点不同。（F,F")

的力偶矩满足：M=M(F,F")=MB(F)×力线平移定理的简单应用攻丝时，必须两手握住扳手，而且用力应该相等。其原因就是F的作用等效于F´和MO的作用效果。这个力偶的作用是使丝锥转动，而力的作用使丝锥变形或折断。×6个自由度约束（固定端约束）平面情况ק2-4空间力系向一点简化，主矢和主矩1．刚体上作用力系向一点简化主矢和主矩已知刚体上作用的力系为F1,F2,

F3,…Fn，见图，将各作用力向O点简化。

根据力线平移定理，如将第i个力向O点简化的结果为一个力Fi和一个力偶Mi=Mo(Fi)作用.

这样形成一个作用在O点的汇交力系F1

,F2

,

F3

,…Fn

和力偶系M1,M2,M3,…Mn.

×根据汇交力系合成方法，F1

,F2

,

F3

,…

Fn

的合成结果是一个合力FR

,等于原力系的矢量和。称为主矢根据力偶系合成方法，M1,M2,M3,…

Mn可以平移到O点，合成结果是一个合力偶。即等于原力系对于简化中心之矩的矢量和,即等于原力系对于简化中心之矩的矢量。称为主矩空间力系向任意点简化的结果为：一个力和一个力偶，这个力FR

过简化中心，称为主矢，这个力偶MO称为主矩。

×主矩MO与简化中心位置有关主矢FR与简化中心位置无关

×主矢FR解析式：主矢大小主矢方向×主矩MO解析式：×主矩大小主矩方向ק2-5空间力系向一点简化结果分析简化结果为合力偶。这个合力偶与原力系等效。因为力偶是自由矢量，力偶矩矢量与矩心位置无关。所以，此时主矩矢量与简化中心无关。1.当时:2.当时:简化结果为合力。这个合力与原力系等效。这个合力作用线过简化中心。3.当时有下列几种情况：×

简化结果为不过简化中心的合力由加减平衡力系公理，可去掉。将用构成力偶的二力代替,二力在垂直于平面内，使得：⊥×结果是一个力和一个力偶。这种的力和力偶共同作用效果，称为力螺旋.过简化中心.攻螺纹正是这种结果。将化为构成力偶的二力，可直观看到这种效果

∥×

将分解为垂直于和平行于的两个力偶和

用构成力偶的二力代替。且满足：由加减平衡力系公理，去掉。简化结果为不通过简化中心的一个合力和力偶；即为不通过简化中心的力螺旋。

×3.合力矩定理当FR⊥MO时，简化结果为合力。有根据力对于点的矩与力对于轴之矩的关系，上式向过O点的任意轴投影，可得：有合力矩定理×

合力矩定理：

空间任意力简化结果为合力，合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。合力对于任意轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。这就是合力矩定理。×主矢主矩主矢与主矩夹角余弦解：

例7图示一个边长为1m的立方体物体上受三个力：F1=5N,F2=5N,F3=5N作用，求合成结果合成结果应是力螺旋。力系向O点简化得：×z

F2

F3

F1