




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题02等差数列的前n项和难点专练(原卷版)错误率:___________易错题号:___________一、单选题1.(2023·上海·高三月考)已知是各项均为整数的递增数列,且,若,则的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.122.(2023·上海青浦·一模)已知公差为的等差数列的前项和为,则“,对,恒成立”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.(2023·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)等差数列的前n项和记为,若的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A. B. C. D.4.(2023·上海虹口·一模)设等差数列的前项和为,如果,则()A.且 B.且C.且 D.且5.(2023·上海普陀·模拟预测)已知等差数列的前项和为,满足,,则下列结论正确的是()A., B.,C., D.,6.(2023·上海松江·高一期末)欧拉公式(为虚数单位,,为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,现有以下两个结论:①;②其中所有正确结论的编号是()A.①②均正确 B.①②均错误C.①对②错 D.①错②对7.(2023·上海·高三月考)记为数列的前项和,已知点在直线上,若有且只有两个正整数n满足,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.8.(2023·上海市金山中学高三期中)已知函数,各项均不相等的数列满足,记.①若,则;②若是等差数列,且,则对恒成立.关于上述两个命题,以下说法正确的是()A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对9.(2023·上海市控江中学高三月考)在等差数列,则在Sn中最大的负数为A.S17 B.S18 C.S19 D.S2010.(2023·上海·高三月考)若数列满足:对任意,只有有限个正整数,使得成立,记这样的的个数为,则得到一悠闲的数列,例如,若数列是1,2,3,…,,…,则得数列是0,1,2,…,,…,已知对任意的,,则()A. B.2014 C. D.2015二、填空题11.(2023·上海·华师大二附中高三月考)设数列满足,,,数列前n项和为,且(且),若表示不超过x的最大整数,数列的前n项和为,则_____________.12.(2023·上海市七宝中学高三期中)数列中,表示与最接近的整数,则满足的正整数n的最小取值为___________.13.(2023·上海市复兴高级中学高二期中)若集合,则中元素的个数为___________14.(2023·上海市行知中学高二期中)已知数列的前项和,设数列的前项和为,则的值为___.15.(2023·上海市大同中学高三月考)已知数列{an}满足a1=1,,则{an}的前20项和等于___________.16.(2023·上海静安·一模)设函数,数列中,,一般地,,(其中).则数列的前n项和_________.17.(2023·上海·高三月考)对于自然数,设,如,对于自然数n,m,当时,设,,则___________.18.(2023·上海市控江中学高二期末)己知数列满足,则其通项公式________.19.(2023·上海市建平中学高二期中)已知等差数列满足:,则正整数的最大值为________20.(2023·上海市复兴高级中学高二期末)已知,,…,(n为正整数)是直线上的n个不同的点,设,当且仅当时,恒有(i和j都是不大于n的正整数,且),.有下列命题:①数列是等差数列;②;③点P在直线l上;④若是等差数列,P点坐标为.其中正确的命题有___________.(填写所有正确命题的序号).三、解答题21.(2023·上海浦东新·三模)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据统计,11月1日该市的新感染者有30人,以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.(1)若,求11月1日至11月10日新感染者总人数;(2)若到11月30日止,该市在这30天内的新感染者总人数为11940人,问11月几日,该市新感染者人数最多?并求这一天的新感染者人数.22.(2023·上海·曹杨二中高三月考)设等差数列的前n项和为,已知.(1)求数列的通项公式;(2)若、30、成等差数列,、18、成等比数列,求正整数p、q的值;(3)是否存在,使得为数列中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.23.(2023·上海闵行·高一期末)若数列满足条件:存在正整数,使得对一切,都成立,则称数列为级等差数列.(1)若数列为1级等差数列,,,求数列的前项和;(2)已知数列为2级等差数列,且前四项分别为2,0,4,3,求,及数列的前2021项和;(3)若(为常数),且是3级等差数列,求所有可能值的集合.24.(2023·上海市实验学校高三月考)已知数列各项均为正数,为前n项的和,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,为数列的前n项和,求;(3)设为数列的前n项积,是否存在实数a,使得不等式对一切都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.25.(2023·上海普陀·二模)记实数、中的较大者为,例如,.对于无穷数列,记(),若对于任意的,均有,则称数列为“趋势递减数列”.(1)根据下列所给的通项公式,分别判断数列是否为“趋势递减数列”,并说明理由.①,②;(2)设首项为的等差数列的前项和为、公差为,且数列为“趋势递减数列”,求的取值范围;(3)若数列满足、均为正实数,且,求证:为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.专题02等差数列的前n项和难点专练(解析版)错误率:___________易错题号:___________一、单选题1.(2023·上海·高三月考)已知是各项均为整数的递增数列,且,若,则的最大值为()A.9 B.10 C.11 D.12【标准答案】C【思路指引】使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式求得可能的最大值,然后构造数列满足条件,即得到的最大值.【详解详析】若要使n尽可能的大,则,递增幅度要尽可能小,不妨设数列是首项为3,公差为1的等差数列,其前n项和为,则,,所以.对于,,取数列各项为(,,则,所以n的最大值为11.故选:C.2.(2023·上海青浦·一模)已知公差为的等差数列的前项和为,则“,对,恒成立”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【标准答案】C利用等差数列的求和公式代入中化简,并结合通项公式得到等价的不等式,然后根据不等式恒成立的意义得出充分必要条件.【详解详析】⇔⇔∴“,对,恒成立”等价于“”对于,恒成立,显然“”对于,恒成立,等价于“”,∴“,对,恒成立”是“”的充分必要条件故选:C.【名师指路】本题考查等差数列的求和公式和充分必要条件的判断,属小综合题,关键是根据题目中的条件,选用较为简便.3.(2023·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)等差数列的前n项和记为,若的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是()A. B. C. D.【标准答案】D【思路指引】设出的值,利用等差数列的通项公式求得,进而利用等差下标性质可知代入前15项的和的公式中求得,进而推断出为常数.【详解详析】解:设(常数),,即..故选:.4.(2023·上海虹口·一模)设等差数列的前项和为,如果,则()A.且 B.且C.且 D.且【标准答案】B【思路指引】由可得,,结合前项和公式,判断,的符合可得正确选项.【详解详析】∵,∴,,∵数列为等差数列,∴,,∴,,故选:B.5.(2023·上海普陀·模拟预测)已知等差数列的前项和为,满足,,则下列结论正确的是()A., B.,C., D.,【标准答案】B令,利用奇偶性定义和导数可确定的奇偶性和单调性;将已知等式进行变形,令,,结合奇偶性和单调性可知且,利用等差数列求和公式可确定结果.【详解详析】设,则,为上的奇函数;又,为上的增函数.由得:,由得:,令,,则,,即,,为等差数列,;又为增函数且,,即,.故选:B.【名师指路】关键点点睛:本题解题关键是能够通过构造函数的方式,结合函数的单调性和奇偶性,根据函数值的大小关系确定自变量的大小关系,进而确定数列中的项之间的关系,从而推导得出结论.6.(2023·上海松江·高一期末)欧拉公式(为虚数单位,,为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,现有以下两个结论:①;②其中所有正确结论的编号是()A.①②均正确 B.①②均错误C.①对②错 D.①错②对【标准答案】A【思路指引】对①,通过欧拉公式,,算出即可;对②,先将欧拉公式逆用,将原式化简为,再通过指数运算性质化简,最后再用欧拉公式展开,最后算出即可.【详解详析】对①,由题意,,正确;对②,原式===,正确.故选:A.7.(2023·上海·高三月考)记为数列的前项和,已知点在直线上,若有且只有两个正整数n满足,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.【标准答案】C由已知可得数列为等差数列,首项为8,公差为-2,由等差数列的前n项和公式可得,由二次函数的性质可得或5时,取得最大值为20,根据题意,结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围.【详解详析】解:由已知可得,由,所以数列为等差数列,首项为8,公差为-2,所以,当n=4或5时,取得最大值为20,因为有且只有两个正整数n满足,所以满足条件的和,因为,所以实数k的取值范围是.故选:C.【名师指路】方法点睛:最值范围问题常用的方法有:(1)函数单调性法;(2)数形结合法;(3)导数法;(4)基本不等式法.要根据已知灵活选择合适的方法求解.8.(2023·上海市金山中学高三期中)已知函数,各项均不相等的数列满足,记.①若,则;②若是等差数列,且,则对恒成立.关于上述两个命题,以下说法正确的是()A.①②均正确 B.①②均错误 C.①对②错 D.①错②对【标准答案】A【思路指引】①利用正弦函数为奇函数可得,再进行累加即可得到答案;②是等差数列,当时,对分为奇数和偶数进行讨论;【详解详析】解:在为奇函数且单调递增,①所以,且,①正确;②是等差数列,当时,若为偶数,,,同理,…,,所以若为奇数,,,,…,所以;同理,当时,也有.②正确.故选:A【名师指路】本题主要考查等差数列的基本性质及正弦函数的单调性、奇偶性,对抽象能力要求较高,属于难题.9.(2023·上海市控江中学高三月考)在等差数列,则在Sn中最大的负数为A.S17 B.S18 C.S19 D.S20【标准答案】C【思路指引】根据等差数列性质得再比较S17,S18,S19,S20大小与正负,即得结果.【详解详析】因为,所以,因为,所以在Sn中最大的负数为S19,选C.【名师指路】等差数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形,二是等差中项的变形,三是前n项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.10.(2023·上海·高三月考)若数列满足:对任意,只有有限个正整数,使得成立,记这样的的个数为,则得到一悠闲的数列,例如,若数列是1,2,3,…,,…,则得数列是0,1,2,…,,…,已知对任意的,,则()A. B.2014 C. D.2015【标准答案】C当,关于的不等式的整数解的个数即为,根据的定义可得,再结合的定义可求的值,从而得正确的选项.【详解详析】因为,故满足的正整数的个数为不等式的整数解的个数.当,关于的不等式的整数解的个数即为,故,其中,故中项的大小为共有项.将列举如下:①而即为中的个数.由①可得中的个数为.故选:C.【名师指路】关键点点睛:为了求出不等式的正整数解的个数,我们把所有的正整数按分类,为了求出中的个数,我们用了列举法找到了计算中的个数的方法,这体现了数形结合的数学思想.二、填空题11.(2023·上海·华师大二附中高三月考)设数列满足,,,数列前n项和为,且(且),若表示不超过x的最大整数,数列的前n项和为,则_____________.【标准答案】2021【思路指引】先求得,结合累加法求得,进而求得,结合的意义求得.【详解详析】(且),即,整理得,所以从第二项起是等差数列,且公差为,,所以时,,也符合上式,所以.当时,,所以,也符合上式,所以.所以.所以当时,;当时,.所以,所以.故答案为:12.(2023·上海市七宝中学高三期中)数列中,表示与最接近的整数,则满足的正整数n的最小取值为___________.【标准答案】111【思路指引】由题意,数列中,表示与最接近的整数,即,即,的项有项,则,从而可得答案.【详解详析】解:由题意,因为数列中,表示与最接近的整数,即,即,所以的项有项,即,,,所以利用分组求和:,当,只需找到最大的整数k,使,则最小的n=k+1,所以的最小取值为.故答案为:111.13.(2023·上海市复兴高级中学高二期中)若集合,则中元素的个数为___________【标准答案】【思路指引】由已知条件可得,即,由分析可得与一奇一偶,分别由求出的值即可求解.【详解详析】由可得:,即,因为,而与奇偶性不同,一奇一偶,所以种,分别令可得中元素分别为,,,,,,,,共组,故答案为:.14.(2023·上海市行知中学高二期中)已知数列的前项和,设数列的前项和为,则的值为___.【标准答案】【思路指引】当时,,当时,可得的通项公式,再利用裂项求和即可求解.【详解详析】当时,,当时,,因为满足上式,所以,所以所以,故答案为:.15.(2023·上海市大同中学高三月考)已知数列{an}满足a1=1,,则{an}的前20项和等于___________.【标准答案】300【思路指引】由数列的通项公式可求得,推出数列的通项公式可得数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,求解即可.【详解详析】因为所以,由题意可得,其中,可得,则,当时,也适合上式,所以,所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,则的前20项和为故答案为:300.16.(2023·上海静安·一模)设函数,数列中,,一般地,,(其中).则数列的前n项和_________.【标准答案】【思路指引】先证明,从而可求数列的通项公式,最后求和即可.【详解详析】因为,所以,所以当为偶数时,;当为奇数时,.所以,数列的前n项和.故答案为:17.(2023·上海·高三月考)对于自然数,设,如,对于自然数n,m,当时,设,,则___________.【标准答案】-144【思路指引】由题意可知,,,然后按照,,,,,进行求解即可.【详解详析】解:由题意,,,,,,,,,.故答案为:-14418.(2023·上海市控江中学高二期末)己知数列满足,则其通项公式________.【标准答案】【思路指引】利用累加法即可求出数列的通项公式.【详解详析】因为,所以,所以,,,…,,把以上个式子相加,得,即,所以.故答案为:.19.(2023·上海市建平中学高二期中)已知等差数列满足:,则正整数的最大值为________【标准答案】62【思路指引】设,等差数列的公差为,不妨设,则,且,即,根据,得到即有,再根据等差数列的前n项和公式,求得,从而得出,即可求解.【详解详析】解:由题意知:等差数列满足,故等差数列不是常数列,且中的项一定满足或,且项数为偶数,设,等差数列的公差为,不妨设,则,且,即,由,则,即,即有,则,可得,解得,即有的最大值为,的最大值为.故答案为:.20.(2023·上海市复兴高级中学高二期末)已知,,…,(n为正整数)是直线上的n个不同的点,设,当且仅当时,恒有(i和j都是不大于n的正整数,且),.有下列命题:①数列是等差数列;②;③点P在直线l上;④若是等差数列,P点坐标为.其中正确的命题有___________.(填写所有正确命题的序号).【标准答案】②③④【思路指引】①可以根据题意进行判断;②根据题干条件当时,恒有,进行推导;③设出点P坐标,结合题干条件进行推导;④再第三问基础上进行推导即可.【详解详析】只有在数列是等差数列时,数列是等差数列,根据题意,数列不一定是等差数列,故数列不一定是等差数列,①错误;因为,所以;②正确;因为,设,则,,因为,,…,(n为正整数)是直线上的n个不同的点,所以,,,,则,,,,相加得:,因为,所以,点P在直线l上,③正确;是等差数列,若为偶数,则,若为奇数,则,又当时,恒有(i和j都是不大于n的正整数,且),若为偶数,则,同理可得:;若为奇数,则,同理可得:;综上所述:若是等差数列,P点坐标为,④正确.故答案为:②③④三、解答题21.(2023·上海浦东新·三模)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据统计,11月1日该市的新感染者有30人,以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从11月日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.(1)若,求11月1日至11月10日新感染者总人数;(2)若到11月30日止,该市在这30天内的新感染者总人数为11940人,问11月几日,该市新感染者人数最多?并求这一天的新感染者人数.【标准答案】(1)人;(2)11月13日新感染者人数最多为630人.【思路指引】(1)根据题意数列是等差数列,,公差为,又,进而根据等差数列前项和公式求解即可;(2)11月日新感染者人数最多,则当时,,当时,,进而根据等差数列公式求和解方程即可得答案.【详解详析】解:(1)记11月日新感染者人数为,则数列是等差数列,,公差为,又,则11月1日至11月10日新感染者总人数为:人;(2)记11月日新感染者人数为,11月日新感染者人数最多,当时,.当时,,因为这30天内的新感染者总人数为11940人,所以,得,即解得或(舍),此时所以11月13日新感染者人数最多为630人.【名师指路】本题考查等差数列的应用,考查数学运算能力,数学建模能力,是中档题.本题第二问解题的关键在于建立等差数列模型,当时,,当时,,进而求和解方程.22.(2023·上海·曹杨二中高三月考)设等差数列的前n项和为,已知.(1)求数列的通项公式;(2)若、30、成等差数列,、18、成等比数列,求正整数p、q的值;(3)是否存在,使得为数列中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.【标准答案】(1);(2);(3)存在,或14.【思路指引】(1)设等差数列的公差为,由题设可得关于的方程组,求出其解后可得列的通项公式.(2)由(1)可得关于的方程组,其解即为所求的正整数p、q的值;(3)根据题设条件可得关于的方程,利用该方程有正整数解可求的值.【详解详析】(1),所以,.(2)由(1)可得.因为成等差数列,成等比数列,故,故或所以或(因不是正整数,舍),故.(3)假设存在使得为数列中的项,故,其中,,故,而,所以(无正整数解,舍)或或故或,所以或.23.(2023·上海闵行·高一期末)若数列满足条件:存在正整数,使得对一切,都成立,则称数列为级等差数列.(1)若数列为1级等差数列,,,求数列的前项和;(2)已知数列为2级等差数列,且前四项分别为2,0,4,3,求,及数列的前2021项和;(3)若(为常数),且是3级等差数列,求所有可能值的集合.【标准答案】(1);(2),,;(3).【思路指引】(1)当时,,数列为等差数列,根据条件,由等差数列前项和公式求解即可;(2)当时,,由条件求出,可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列,偶数项是首项为0、公差为3的等差数列,结合等差数列的求和公式分组求解即可(3)由3级等差数列的定义和三角函数的和差化积公式,计算可得所求集合【详解详析】(1)若数列为1级等差数列,即为对一切,都成立,则数列为等差数列,设公差为,由,,可得,则.(2)数列为2级等差数列,且前四项分别为2,0,4,3,可得对一切,都成立.,,,……,可得数列中奇数项是首项和公差均为2的等差数列,偶数项是首项为0、公差为3的等差数列,则所以,,.(3)∵是3级等差数列,∴,对一切,都成立.即,∴.∴,或.对恒成立时,.时,,∴,∴.24.(2023·上海市实验学校高三月考)已知数列各项均为正数,为前n项的和,且,,成等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,为数列的前n项和,求;(3)设为数列的前n项积,是否存在实数a,使得不等式对一切都成立?若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.【标准答案】(1);(2);(3).【思路指引】(1)利用等差中项得出Sn与an的关系式,即可求出an;(2)由题意可求出,然后利用等差
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 物理生物公考题目及答案
- 吉林省长春市长春汽车经济技术开发区重点名校2024年中考数学四模试卷含解析
- 《朝花夕拾》的读后感
- 专题05 首字母填空(期中真题速递)-八年级英语下册重难点讲练全攻略(牛津上海版)
- 英语朗读面试试题及答案
- 成都航空职业技术学院《生物信息技术》2023-2024学年第二学期期末试卷
- 成都理工大学《影视剧本创作》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 2025年安徽省滁州市来安县第二中学高三下学期第二次阶段(期中)考试题含解析
- 内蒙古丰州职业学院《感觉统合教育教学实训》2023-2024学年第二学期期末试卷
- 沧源佤族自治县2025届三下数学期末调研试题含解析
- 2025年天翼云笔试试题及答案
- 2025年山东省中小学生海洋知识竞赛参考试指导题库500题(含答案)
- 2025年高考语文备考之DeepSeek与《哪吒2》相关语言文字运用题训练
- 2024年广东省公务员《申论(行政执法)》试题真题及答案
- (市质检三检)泉州市2025届高中毕业班质量监测 (三)历史试卷
- 山东2025年山东师范大学招聘153人笔试历年参考题库附带答案详解
- 电子烟管理办法培训课件
- 2025湖北省建筑安全员《C证》考试题库及答案
- 标准日本语初级教材上册
- 2025云南昆明空港投资开发集团招聘7人易考易错模拟试题(共500题)试卷后附参考答案
- 2025山东能源集团中级人才库选拔高频重点模拟试卷提升(共500题附带答案详解)
评论
0/150
提交评论