(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题03椭圆的标准方程高频考点专练(原卷版+解析)

专题03椭圆的标准方程高频考点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海浦东新·三模）已知两定点､，动点满足，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．2．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．(2023·上海市长征中学高二期中）已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆4．(2023·上海市新场中学高二期中）当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0所表示的曲线是（）A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线5．(2023·上海师范大学第二附属中学高三月考）设是椭圆的两焦点，与是该椭圆的右顶点与上顶点，是该椭圆上的一个动点，是坐标原点，记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中，的大小变化情况为（）A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大6．(2023·上海市建平中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则A． B． C． D．7．(2023·上海·复旦附中模拟预测）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题8．(2023·上海市长征中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是__________．9．(2023·上海·高二期中）焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆的标准方程为___________.10．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知方程表示椭圆，求实数的取值范围___________.11．(2023·上海市南洋模范中学高二期末）方程表示椭圆，则实数的取值范围是__________.12．设、，是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，且，，则__________.13．(2023·上海浦东新·高二期中）若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．14．在直角坐标平面内的△中，、，若，则△面积的最大值为____________.15．如图，已知椭圆的中心为原点，为椭圆的左焦点，为椭圆上一点，满足且，则椭圆的标准方程为__________.16．已知，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是_______.17．设是曲线上的点，，，则的最大值为____．三、解答题18．(2023·上海金山·高二期末）神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点距地面200千米，远地点距地面350千米，已知地球半径千米.（1）求飞船飞行的椭圆轨道方程；（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为(分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒，取3.14)19．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹．（1）求曲线的方程；（2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程；（3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程．20．某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米．要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）．（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）21．(2023·上海市市北中学高二月考）已知椭圆（）的短轴长为2，过点和的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于C、D两点.问：是否存在k的值，使?请说明理由.22．(2023·上海大学附属中学高二期末）已知圆．（1）求过点的圆切线的方程；（2）如图，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，求点的轨迹方程．23．(2023·上海市嘉定区第二中学高二月考）某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？24．(2023·上海市进才中学高三月考）在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)己知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．25．(2023·上海·华师大二附中高二开学考试）已知椭圆：过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求的取值范围．专题03椭圆的标准方程高频考点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海浦东新·三模）已知两定点､，动点满足，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．【标准答案】D根据斜率公式可得，化简即可得到答案；【详解详析】，，，故选：D.2．平面内有两个定点和一动点，设命题甲：是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【标准答案】B【思路指引】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解详析】解：若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点的距离之和，且为常数）成立是定值．若动点到两定点的距离之和，且为常数），当，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：．【名师指路】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键．3．(2023·上海市长征中学高二期中）已知､是定点，.若动点满足，则动点的轨迹是A．直线 B．线段 C．圆 D．椭圆【标准答案】B【思路指引】根据椭圆的定义即可得解；【详解详析】解：对于在平面内，若动点到、两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点、的距离，则动点的轨迹是以，为端点的线段．故选：B．【名师指路】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，属于基础题．4．(2023·上海市新场中学高二期中）当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0所表示的曲线是（）A．焦点在x轴的椭圆 B．焦点在x轴的双曲线C．焦点在y轴的椭圆 D．焦点在y轴的双曲线【标准答案】B【思路指引】化简方程，然后判断表示的曲线即可．【详解详析】当ab＜0时，方程ay2﹣ax2﹣b＝0即ay2﹣ax2＝b化简得，即：方程表示双曲线．焦点坐标在x轴上；故选：B．【名师指路】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．(2023·上海师范大学第二附属中学高三月考）设是椭圆的两焦点，与是该椭圆的右顶点与上顶点，是该椭圆上的一个动点，是坐标原点，记.在动点在第一象限内从沿椭圆向左上方运动到的过程中，的大小变化情况为（）A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大【标准答案】B【思路指引】设，然后由向量数量积的坐标表示求出为的函数后，根据函数性质可得结论．【详解详析】设，由椭圆方程知，，随的减小而变小，故选：B.【名师指路】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础．6．(2023·上海市建平中学高二月考）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则A． B． C． D．【标准答案】D【详解详析】根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3；则其焦点坐标为(−4,0)和(4,0)，恰好是A.C两点，则AC=2c=8，BC+BA=2a=10；由正弦定理可得：；本题选择D选项.7．(2023·上海·复旦附中模拟预测）已知为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且，，则的取值范围为（）A． B． C． D．【标准答案】D方法一：由题知：，，不妨设点在第一象限，设，进而得，，故在中，由余弦定理得得，，，由于，，即方法二：根据题意不妨设点在第一象限，则有正弦定理得在半径为的圆在第一象限的圆弧上，根据三角形面积公式得得，由于，进而得.【详解详析】解：方法一：如图1，设椭圆方程为，双曲线方程为，由题知：，，不妨设点在第一象限，设，所以在椭圆中，有，在双曲线中有，所以，，所以在中，由余弦定理得：，整理得，所以所以，由于，所以，，故所以，即故选：D.方法二：如图2，不妨设点在第一象限，由正弦定理得三角形外接圆的半径为，所以在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，所以，所以，所以，由向量数量积定义得，由三角形面积公式得：，，所以，所以，所以.故选：D.【名师指路】本题考查椭圆与双曲线的焦点三角形问题，考查化归转化思想和运算求解能力，是中档题.解法一的关键是根据椭圆与双曲线的定义分别将，用椭圆的长半轴与双曲线的实半轴表示，并在焦点三角形中结合余弦定理得，故，再根据即可得范围；本题解题法二的关键是由已知条件可设点在第一象限，进而得在半径为，圆心为的圆在第一象限的圆弧（不包含端点）上，进而利用面积公式求解.二、填空题8．(2023·上海市长征中学高二期中）已知椭圆的中心在坐标原点O，对称轴是坐标轴，焦点在x轴上，焦距为，且经过点，该椭圆的标准方程是__________．【标准答案】【思路指引】利用椭圆定义即可得到椭圆的标准方程.【详解详析】解：根据题意，椭圆的焦距是，焦点在轴上，则其焦点坐标为与，其中，又由椭圆经过点，则即，则，则椭圆的标准方程；故答案为：．9．(2023·上海·高二期中）焦点在坐标轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆的标准方程为___________.【标准答案】或。【思路指引】根据条件计算出的值，然后分别考虑焦点在轴上和轴上的情况，由此求解出椭圆的标准方程.【详解详析】设椭圆的焦距为，短轴长为，长轴长为，且，所以，当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为：，当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为：，故答案为：或.10．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期末）已知方程表示椭圆，求实数的取值范围___________.【标准答案】【思路指引】根据椭圆的标准方程列出不等式组，解不等式组即可.【详解详析】方程表示椭圆，所以或，所以实数的取值范围为.故答案为：.11．(2023·上海市南洋模范中学高二期末）方程表示椭圆，则实数的取值范围是__________.【标准答案】【思路指引】根据椭圆标准方程的特点，列出相应的不等式组，解不等式组即可求出的取值范围．【详解详析】原方程可化为，依题意可得，解得.故答案为：.12．设、，是椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，且，，则__________.【标准答案】4【思路指引】先由椭圆的方程求出的值，进而可以求出点到椭圆的两个焦点的距离之和，再由已知分析出点，分别为，的中点，利用中位线定理即可求解．【详解详析】解：由椭圆的方程可得：，所以，则由椭圆的定义可得：，由，，可得：点为的中点，点为的中点，由中位线定理可得，，所以，故答案为：4．13．(2023·上海浦东新·高二期中）若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．【标准答案】【思路指引】根据题意可得，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，去除不符合题意的点，进而可得点的轨迹方程.【详解详析】因为的两个顶点，，所以，因为三角形周长为，即，所以，由椭圆的定义：动点到定点，两点的距离之和等于定值，且距离之和大于两定点间的距离，所以点的轨迹是以，为焦点，的椭圆，所以，，，可得椭圆的方程为：，又因为三点不共线，所以点不能在轴上，所以顶点的轨迹方程是：，故答案为：14．在直角坐标平面内的△中，、，若，则△面积的最大值为____________.【标准答案】由正弦定理可得，结合椭圆的定义可得点的轨迹方程，即可得解.【详解详析】因为，，所以，所以点的轨迹是以、为左右焦点，长轴长的椭圆（不在x轴上），该椭圆焦距，所以，所以点的轨迹方程为，当时，，所以面积的最大值.故答案为：.【名师指路】关键点点睛：解决本题的关键是利用正弦定理转化条件为，再结合椭圆的定义即可得解.15．如图，已知椭圆的中心为原点，为椭圆的左焦点，为椭圆上一点，满足且，则椭圆的标准方程为__________.【标准答案】【思路指引】由已知可得，而由，，可求出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程中，再结合，可求出的值.【详解详析】解：由题意设椭圆的标准方程为，因为为椭圆的左焦点，所以，因为，所以，设点的坐标为，则，解得，则，所以点的坐标为，因为为椭圆上一点，所以因为，所以解得，所以椭圆的标准方程为，故答案为：【名师指路】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.16．已知，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是_______.【标准答案】【思路指引】根据条件可计算出的总的可能数，由焦点在轴上的椭圆可知，由此可得到满足条件的得数量，利用古典概型的概率计算公式即可求解出概率.【详解详析】因为，所以的可能情况有：种，又因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以满足要求的有：种，所以概率为：.故答案为.【名师指路】本题考查椭圆与排列组合的综合运用，难度一般.形如的方程若表示椭圆的方程，则有.17．设是曲线上的点，，，则的最大值为____．【标准答案】【思路指引】作出曲线和椭圆的图象，延长交椭圆于点，可得出，由三角形三边关系得出，当且仅当点为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出的最大值.【详解详析】曲线的方程为，作出椭圆和曲线的图象如下图所示：则点、分别为椭圆的左、右焦点，由椭圆定义得.延长交椭圆于点，当点不在坐标轴上时，由三角形三边关系得，所以，；当点为椭圆的顶点时.综上所述，，因此，的最大值为.故答案为.【名师指路】本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题18．(2023·上海金山·高二期末）神舟飞船是中国自行研制的航天器，从神舟一号到神舟十一号，都按照预定轨道完成巡天飞行.其中神舟五号的轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，选取坐标系如图所示，椭圆中心在坐标原点，近地点距地面200千米，远地点距地面350千米，已知地球半径千米.（1）求飞船飞行的椭圆轨道方程；（2）神舟五号飞船在椭圆轨道运行14圈，历时21小时23分.若椭圆周长的一个近似公式为(分别为椭圆的长半轴与短半轴的长)，请问：神舟五号飞船平均飞行速度每秒多少千米？(结果精确到0.01千米/秒，取3.14)【标准答案】（1）；（2）【思路指引】先设出椭圆的标准方程，根据椭圆的定义可求得和的值，进而求得和，进而根据求得，椭圆的方程可得．把从15日9时到16日6时的时间减去开始的时间，再减去最后多计的时间，可得飞船巡天飞行的时间，进而可算出平均速度．【详解详析】解：设椭圆的方程为由题设条件得：解得，所以，所以椭圆的方程为历时21小时23分，得飞船巡天飞行的时间是（秒，所以总飞行距离为：，平均速度是（千米秒）所以飞船巡天飞行的平均速度是．19．(2023·上海市杨浦高级中学高二期末）已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹．（1）求曲线的方程；（2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程；（3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程．【标准答案】（1）；（2），；（3）（）．【思路指引】（1）由题知，曲线满足椭圆的定义，写出标准方程即可；（2）设直线方程为，与椭圆联立，利用弦长公式求得弦长，从而求得参数，求得直线方程；（3）设，由（2）中联立方程的结果，，，从而求得轨迹方程，且该轨迹应在椭圆内部.【详解详析】（1）由题知，曲线满足椭圆的定义，且，，则，曲线的方程为，（2）设直线方程为，，，联立，化简得，由韦达定理知，，则弦长，解得，故直线的方程为，；（3）设，则由（2）知，，，则的轨迹方程为，且该轨迹应在椭圆内部，即.【名师指路】关键点点睛：根据椭圆定义求得椭圆方程；利用弦长公式求得参数，进而求得直线方程；求轨迹，即找到动点横坐标与纵坐标间的关系，求得满足的条件即可.20．某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米．要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（如图）．（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少米？（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小，并求出最小土方量？（已知：椭圆的面积公式为，本题结果拱高和拱宽精确到0.01米，土方量精确到1米3）【标准答案】(1)33.26；(2)拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【思路指引】（1）根据题意，建立坐标系，可得的坐标并设出椭圆的方程，将与点坐标代入椭圆方程，得，依题意，可得，计算可得答案；（2）根据题意，设椭圆方程为，将代入方程可得，结合基本不等式可得，分析可得当且，时，，进而分析可得答案．【详解详析】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为．将与点坐标代入椭圆方程，得，此时此时因此隧道的拱宽约为33.26米；（2）由椭圆方程，根据题意，将代入方程可得．因为即且，，所以当取最小值时，有，得，此时，故当拱高约为6.36米、拱宽约为31.11米时，土方工程量最小．最小土方量为立方米.【名师指路】本题考查椭圆的实际运用，注意与实际问题相结合，建立合适的坐标系，设出点的坐标，结合椭圆的有关性质进行分析、计算、解题．21．(2023·上海市市北中学高二月考）已知椭圆（）的短轴长为2，过点和的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于C、D两点.问：是否存在k的值，使?请说明理由.【标准答案】（1）；（2）存在，.【思路指引】（1）求得直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程，结合求得，从而求得椭圆的方程.（2）联立直线的方程与椭圆方程，化简写出根与系数关系、判别式，利用列方程，化简求得的值.【详解详析】（1）直线的方程为，即，由题意得，解得，，所以椭圆的方程为；（2）由得，所以（*），设，，则，，因为，所以，所以，所以，所以，将、代入上式，解得，满足（*）式，所以.【名师指路】在圆锥曲线的题目中，直线间的垂直关系可转化为向量的数量积为零来解决.22．(2023·上海大学附属中学高二期末）已知圆．（1）求过点的圆切线的方程；（2）如图，定点，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，求点的轨迹方程．【标准答案】（1）和；（2）.【思路指引】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论：①直线的斜率不存在，写出直线的方程，计算圆心到直线的距离，可得出结论：②在直线的斜率存在时，可设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可求得的值.综合可得出直线的方程；（2）求得，利用椭圆的定义可知点的轨迹为椭圆，求出、的值，确定焦点的位置，由此可得出点的轨迹方程.【详解详析】（1）圆的圆心为，该圆的半径为.分以下两种情况讨论：①直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，不合乎题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，解得，此时，直线的方程为或.综上所述，直线的方程为或；（2）如下图所示，连接，，则为线段的中点，，，则直线为线段的垂直平分线，所以，，所以，，所以，点的轨迹是、为焦点，且长轴长为的椭圆，设点的轨迹方程为，焦距为，则，，，因此，点的轨迹方程为.【名师指路】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.23．(2023·上海市嘉定区第二中学高二月考）某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？【标准答案】鱼群分别距，两岛的距离为50海里和30海里【思路指引】以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，求出鱼群的运动轨迹方程是，利用椭圆的定义能够求出鱼群分别距，两岛的距离．【详解详析】以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系设椭圆方程为：且因为焦点的正西方向椭圆上的点为左顶点，所以又，则，，故所以鱼群的运动轨迹方程是由于，两岛收到鱼群反射信号的时间比为，因此设此时距，两岛的距离分别为，由椭圆的定义可知即鱼群分别距，两岛的距离为50海里和30海里．【名师指路】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.24．