专题03随机变量及其分布高二年级下学期数学单元复习（知识梳理热考题型单元检测）（知识梳理热考题型单元检测）（新高考人教A版专用）

专题03随机变量及其分布（新高考人教A版专用）目录目录【知识梳理】 2【热考题型】 5【考点1】条件概率 5【考点2】全概率公式 11【考点3】离散型随机变量 17【考点4】离散型随机变量的分布列 22【考点5】离散型随机变量的均值 26【考点6】离散型随机变量的方差 33【考点7】二项分布 39【考点8】超几何分布 44【考点9】正态分布 49【单元检测】 55【基础卷】 55【能力卷】 69知识梳理知识梳理一、条件概率(1)若已知事件A发生，则A成为样本空间.此时事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).(2)一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.(3)当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B).(4)由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称此式为概率的乘法公式.二、条件概率的性质性质：条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1；(2)若B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；(3)设eq\o(B,\s\up6(－))和B互为对立事件，则P(eq\o(B,\s\up6(－))|A)＝1－P(B|A).三、全概率公式(1)全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))P(Ai)P(B|Ai).(2)贝叶斯公式(选学)：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Aieq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(B）))＝eq\f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(Ai）)),P（B）)＝，i＝1，2，…，n.四、离散型随机变量(1)定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.五、离散型随机变量的分布列(1)离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，3，…，n为X的概率分布列，简称分布列.离散型随机变量的分布列可以用表格表示：Xx1x2…xnPp1p2…pn(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.六、两点分布对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，eq\o(A,\s\up6(－))表示“失败”，定义X＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，A发生，,0，\o(A,\s\up6(－))发生.))如果P(A)＝p，则P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－p，那么X的分布列如表所示X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布.七、离散型随机变量的均值(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.(2)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.(3)离散型随机变量的均值性质①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；②E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).八、离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnD(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.并称eq\r(D（X）)为随机变量X的标准差，记为σ(X).(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.(3)几个常见的结论①D(aX＋b)＝a2D(X).②若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p).九、n重伯努利试验(1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)n重伯努利试验具有如下共同特征：①同一个伯努利试验重复做n次；②各次试验的结果相互独立.十、二项分布(1)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).十一、超几何分布(1)一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.(2)设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p＝eq\f(M,N)，则p是N件产品的次品率，而eq\f(X,n)是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝n·eq\f(M,N)＝np.十二、正态分布(1)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.(2)若随机变量X的概率密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.(3)正态曲线的特点：①正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.(4)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.(5)服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.在实际应用中，通常认为X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.热考题型热考题型【考点1】条件概率一、单选题1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（

）A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.42．（2023·广东江门·一模）衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（

）A． B． C． D．3．（2223高三·江西抚州·阶段练习）一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（

）A．事件与事件不为互斥事件 B．事件与事件不是相互独立事件C． D．二、多选题4．（2223高三上·江苏南通·期末）一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（

）A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件C． D．5．（2023·广东肇庆·二模）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（

）A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为三、填空题6．（2023·浙江·模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则.四、解答题7．（2023·河北衡水·模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求.参考答案：1．A【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.【详解】同时爱好两项的概率为，记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，则，所以.故选:.2．D【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，又，则，即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．故选：D．3．D【分析】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球，进而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案.【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球.故事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个白球，且；事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个红球，且；事件包含：个红球个白球；个红球个白球，且.所以，，，因为，则事件与事件不为互斥事件，A选项正确；，故事件与事件不是相互独立事件，B正确；，故D错误；，故C正确；故选：D.4．ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．故选：ACD．5．BC【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，A错误；对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A,则,小张抽到小王写的贺卡为事件B,则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为,B正确；对于C,恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为，C正确；对于D,每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为，D错误，故选：6．【分析】首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案.【详解】依题意得，所以故，所以.故答案为：.7．(1)；(2).【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算；（2）分析“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii.前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一.分别求概率.即可求出.【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii.第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii.第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；所以..所以.（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：ii.记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：iii.记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：，则事件彼此互斥，记，所以.所以【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解【考点2】全概率公式一、单选题1．（2023·福建莆田·二模）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（

）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.772．（2023·全国·模拟预测）某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为，已知第一次击中目标的概率为，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（

）A． B． C． D．3．（2024·江苏宿迁·一模）人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023·广东广州·二模）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（

）A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08B．该零件是次品的概率为0.03C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98D．如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为5．（2024·广东广州·一模）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（

）A． B．C． D．三、填空题6．（2223高三下·浙江·开学考试）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是．四、解答题7．（2023·浙江杭州·二模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：(1)请直接写出与的数值．(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．参考答案：1．D【分析】根据全概率公式进行分析求解即可.【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥，所以，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件为“选到绑带式口罩”，则所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为.故选：D.2．C【分析】设出事件，利用全概率公式计算出，再利用条件概率公式计算出答案.【详解】设第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，则，，，所以，故，则故选：C3．C【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B，则，由贝叶斯公式得：，故选：C．4．BC【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率即可判断A，B；利用条件概率公式、对立事件即可判断C，D．【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，则，，，，，，对于，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；对于，任取一个零件是次品的概率为，故B正确；对于，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；对于，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为，故D错误．故选：BC．5．ABD【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得.【详解】依题意可得，，，，所以，故A正确、B正确、C错误；，故D正确.故选：ABD6．【分析】法1：设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，，利用贝叶斯公式即可得到答案；法2：直接在迟到的前提下计算概率.【详解】法1：由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，则；，小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是，法2：在迟到的条件下，他自驾去上班的概率，故答案为：．7．(1)，(2)证明见解析；(3)时，，当时，，统计含义见解析【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,,即，所以，所以是一个等差数列，设，则，累加得，故，得，（3），由得,即,当时，，当时，，当时，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,【考点3】离散型随机变量一、单选题1．（2223高三上·山东济南·期末）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2223高二下·贵州遵义·期中）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·山东德州·阶段练习）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2223高二下·山东潍坊·期中）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的历史.在某次围棋比赛中，甲，乙两人进入决赛.决赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，且每局比赛的胜负互不影响，记决赛中的比赛局数为X，则（

）A．乙连胜三场的概率是B．C．D．的最大值是5．（2324高二上·全国·课后作业）一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题6．（2223高二·全国·课后作业）离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则．四、解答题7．（2023·福建泉州·模拟预测）泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立.(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.参考答案：1．D【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.【详解】因为随机变量满足，所以，也即，又因为是公差为的等差数列，所以，则有，，，所以，则，，，因为，所以，解得，故选：.2．A【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解．【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，则．故选：A．3．A【分析】由题意可知，的所有可能取值为，，，方法一：，方法二：.【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，，则．方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，，则．故选：A4．BD【分析】根据题意列出决赛中的比赛局数为X的概率分布列，然后对照选项逐项分析即可判断.【详解】乙连胜三场时比赛局数可能是3,4,5，若比赛局数为3时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为4时，乙连胜三场的概率是；若比赛局数为5时，乙连胜三场的概率是；故选项A错误；由题意可知，决赛中的比赛局数的可能取值为，则；；故选项B正确；;故选项C错误；令，则，因为，所以当时，，当时，；当函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取最大值，所以的最大值是，故选项D正确；故选：BD.5．CD【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出．【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，故，A错误；BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，故，B错误，C正确；D选项，的所有可能有，故，D正确．故选：CD.6．/0.875【分析】根据所给的概率分布规律，写出6个变量对应的概率，由分布列的性质和为1求出实数，在求出满足条件的概率即可.【详解】因为，，所以，所以，所以，故答案为：.7．(1)0.999(2)【分析】（1）用间接法，先求其对立事件“3人抽奖总次数低于4次”的概率即可；（2）应用全概率公式求解.【详解】（1）设3人抽奖总次数为，则的可能取值为3，4，5，6.由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为，随机抽取3人，3人打卡景点情况相互独立.表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点.依题意可得，，所以.（2）记事件“每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”，则“每位打卡十八景游客只打卡一个景点”，事件“一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”，则，，，，由全概率公式得，.【考点4】离散型随机变量的分布列一、单选题1．（2122高二下·广东深圳·期中）设随机变量的概率分布列为：X1234Pm则（）A． B． C． D．2．（2324高二上·辽宁·期末）设，随机变量的分布列为：589则（

）A． B． C． D．3．（2223高二下·山东临沂·期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：X0123Pa若离散型随机变量，则（

）．A． B． C． D．二、多选题4．（2223高二下·河南周口·期中）已知离散型随机变量的分布列为12460.20.1则下列选项正确的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．5．（2122高二下·广东梅州·阶段练习）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（

）ξ123PA．－ B． C． D．三、填空题6．（2022·重庆·模拟预测）已知随机变量X的概率分布为，则实数．四、解答题7．（2223高二上·北京·期中）有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表：投资股市的盈亏情况表投资结果获利40%不赔不赚亏损20%概率购买基金的盈亏情况表投资结果获利20%不赔不赚亏损10%概率pq(1)当时，求q的值；(2)已知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损的概率；(3)已知丙、丁两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】依题意，，即事件的对立事件是的事件，所以.故选：C2．D【分析】利用分布列的性质，列式计算即得.【详解】由，得，所以.故选：D3．A【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.【详解】由分布列的性质可知：解得，由，等价于，由表可知；故选：A.4．ABD【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；对于B中，若，可得，则，故B正确；对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；对于D中，由，，则，所以D正确．故选：ABD.5．BC【分析】由题可知，即得.【详解】由题可得，∴或，经检验适合题意.故选：BC.6．【分析】根据给定条件利用随机变量分布列的性质列式计算作答.【详解】依题意，，由分布列的性质得，解得，所以实数.故答案为：7．(1)(2)(3)【分析】（1）根据离散型随机变量概率之和为1即可求解；（2）根据独立事件概率乘法公式即可计算；（3）根据独立事件概率计算方法求出概率，列出不等式求解即可.【详解】（1）∵购买基金后，投资结果只有获利、不赔不赚、亏损三种，且三种投资结果相互独立，∴，又因为，所以；（2）记事件A表示一年后他们中恰有一人亏损，根据二项分布概率公式，有；（3）记事件B为一年后丙、丁两人中至少有一人投资获利，它的对立事件为都没盈利，则，∴，又∵，∴，∴，即p的取值范围为．【考点5】离散型随机变量的均值一、单选题1．（2021·浙江杭州·二模）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一次发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的数学期望，则P的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2223高三下·浙江温州·开学考试）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（

）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.23．（2023·江西·二模）李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（

）个A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2二、多选题4．（2223高二下·湖南长沙·阶段练习）乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法中正确的是（

）A．三局就结束比赛的概率为 B．的常数项为3C．函数在上单调递减 D．5．（2122高三上·河北唐山·期末）为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（

）A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1三、填空题6．（2022·浙江·高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则，．四、解答题7．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．参考答案：1．C【分析】计算学生每次发球的概率，求出期望的表达式，求解，可解出值.【详解】根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即，发球次数为2即二次发球成功的概率为，发球次数为3的概率为，则期望，依题意有，即，解得或，结合p的实际意义，可得.故选：C．2．C【分析】依据题意写出随机变量的的分布列，利用期望的公式即可求解.【详解】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，则随机变量的分布列，解得，故选：C.3．B【分析】由题意可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等，根据种不同的取法，每种取法里三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生，其中可产生计数为的球的情况有种，再算出其中不同取法里球个数各自的概率，即可计算出期望.【详解】由，球两两发生有效碰撞的概率均为，可得两球发生有效碰撞和无效碰撞的可能性相等.取出三个球后，每两个球之间碰撞一次，则需碰撞次，每次碰撞均有有效碰撞和无效碰撞两种情况发生，且可能性相等，所以三个球两两碰撞之后共有种等可能的情况发生.①若取出的三个球均为球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为，有种，1个球计数为2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，有三个球计数为2；则符合条件的情况数为.②若取出的三个球为个球，个球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：，球之间有效碰撞次，无效碰撞次，计数结果为或，有种1，计数为2的球个数分别为1和2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；则符合条件的情况数为.③若取出的三个球为个球，个球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：a，a碰撞有效，a，b碰撞无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；a，a碰撞无效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为1；a，a碰撞无效，a，b碰撞均有效，计数结果为，有种，计数为2的球个数为3；a，a碰撞有效，a，b碰撞1次有效1次无效，计数结果为，有2种，计数为2的球个数为1；a，a碰撞有效，a，b碰撞有效，计数结果为，有1种，计数为2的球个数为1；所以符合条件的情况数为.④若取出的三个球均为球，有种取法，碰撞之后产生计数为的球的情况有：每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；每个球之间有效碰撞次，计数结果为，有种，计数为2的球个数为2；符合条件的情况数为.所以碰撞之后产生计数为的球的情况总数为，设李华一开始取出的三个球里，球个数为随机变量，则随机变量所有可能取值的集合是，，，，，故的分布列如下表：数学期望，所以李华一开始取出的三个球里，球个数的期望是个.故选：.4．ABD【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A选项；进而求出期望值，即可判断BCD选项.【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，所以，，，因此三局就结束比赛的概率为，则A正确；故，由知常数项为3，故B正确；由，故D正确；由，，所以，令，则；令，则，则函数在上单调递增，则C不正确.故选：ABD.5．CD【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为，故的分布列为：111设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需即，即，即又，，故选：CD6．，/【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案为：，.7．(1)(2)(3)【分析】（1）根据全概率公式即可求出；（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，所以，.（2）设，依题可知，，则，即，构造等比数列，设，解得，则，又，所以是首项为，公比为的等比数列，即．（3）因为，，所以当时，，故．【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．【考点6】离散型随机变量的方差一、单选题1．（2023·山东烟台·二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（

）A． B． C． D．2．（2023·河南洛阳·一模）已知某离散型随机变量X的分布列如下：x012Pabc若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·模拟预测）已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：时间/分钟10~2020~3030~4040~50甲的频率0.10.40.20.3乙的频率00.30.60.1某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则的数学期望和方差分别是（

）A． B．C． D．二、多选题4．（2021高二·全国·单元测试）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（

）A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为5．（2024·浙江·模拟预测）高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则A． B．C． D．三、填空题6．（2223高三·全国·对口高考）随机变量X的分布列如表所示，若，则.X－101Pab四、解答题7．（2023·北京石景山·一模）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察长效肥和缓释肥对农作物影响情况.其中长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1,2,3三组.观察一段时间后，分别从1,2,3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表.株高增量（单位：厘米）第1组鸡冠花株数92092第2组鸡冠花株数416164第3组鸡冠花株数1312132假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立.(1)从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率；(2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，记这3株鸡冠花中恰有株的株高增量为厘米，求的分布列和数学期望；(3)用“”表示第组鸡冠花的株高增量为，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明）参考答案：1．A【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求【详解】由题意，可能取值为2，3包含事件为取出的两个球为1，2所以包含事件为取出的两个球为1，3或2，3所以，.故选：A.2．C【分析】运用离散型随机变量的分布列、期望与方差计算即可.【详解】由题意，得，所以①．因为，所以②．由，得，代入①②解得：，．所以．故选:C.3．D【分析】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，由题求出事件的概率，分析的值，求出对应值的概率，然后求出数学期望及方差即可.【详解】设事件表示甲在规定的时间内到达，表示乙在规定的时间内到达，，相互独立，，，，．故选：D.4．ABD【解析】A.由古典概型的概率求解判断；B.根据取到红球次数X～B，再利用方差公式求解判断；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．由P(B|A)＝求解判断；D．易得每次取到红球的概率P＝，然后再利用对立事件求解判断.【详解】A.恰有一个白球的概率，故A正确；B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为，故B正确；C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．则P(A)＝，P(A∩B)＝，所以P(B|A)＝，故C错误；D．每次取到红球的概率P＝，所以至少有一次取到红球的概率为，故D正确．故选：ABD.5．BC【分析】先求出的分布列，可判断A，B；再由数学期望和方差公式求出，可判断C，D.【详解】为小明随机选择1个选项的得分，所以，，，则的分布列为：02由此可得，为小明随机选择2个选项的得分，所以，,,,则的分布列026由此可得．所以,，，.故选：BC．6．5【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．【详解】依题意可得，解得，所以，所以.故答案为：5.7．(1)(2)分布列见解析，(3)【分析】（1）根据表格数据，第1组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果；（2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，然后可确定所有可能的取值，根据独立事件概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望；（3）由两点分布方差计算公式可求得，，的值，由此可得大小关系．【详解】（1）设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为厘米,所以估计为；（2）设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”，根据题中数据，估计为，估计为，根据题意，随机变量的所有可能取值为0,1,2.3，且；；；，则的分布列为：0123所以.（3）理由如下：，所以；，所以；，所以；所以.【考点7】二项分布一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（

）A． B． C． D．2．（2223高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（

）A． B． C． D．3．（2324高三上·湖北荆州·阶段练习）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（

）A． B． C．或 D．或二、多选题4．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率5．（2023·湖南·一模）下列说法正确的是（

）A．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差B．数据的第60百分位数为9C．若样本数据的平均数为2，则的平均数为8D．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是三、填空题6．（2021·湖北武汉·一模）在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为的概率最大.四、解答题7．（2018·全国·高考真题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？参考答案：1．D【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．2．C【分析】先求出抽一次获奖的概率，设5人中获奖人数为，则，然后由二项分布的概率公式计算概率．【详解】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，所以，故选：C.3．C【分析】根据二项分布的随机变量取值的概率公式建立不等关系，可得最大值时的．【详解】依题意，由，即，解得或.故选：C.4．ABD【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，单次传输发送0，则译码为0的概率，而，因此，即，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.5．BC【分析】根据二项分布方差公式、百分位数、平均数、古典概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A，易知，而，所以，A错误；对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为9，B正确；对于C，若样本数据的平均数为2，则的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，错误.故选：BC6．18【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.故答案为：18.7．（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.【分析】（1）方法一：利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；（2）方法一：先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【详解】（1）［方法一］：【通性通法】利用导数求最值件产品中恰有件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为；［方法二］：【最优解】均值不等式由题可知，20件产品中恰有2件不合格品的概率为．，当且仅当，即可得所求．（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【整体点评】（1）方法一：利用导数求最值，是求函数最值的通性通法；方法二：根据所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本题的最优解．【考点8】超几何分布一、单选题1．（2223高二下·山东青岛·期中）从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球.若每取出个红球得分，每取出个白球得分.按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（

）A． B． C． D．2．（2122高二下·河南三门峡·阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（

）A． B． C． D．3．（2122高二下·广东广州·期末）在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（

）A． B．随机变量服从二项分布C．随机变量服从超几何分布 D．二、多选题4．（2022·湖北武汉·模拟预测）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．5．（2223高二上·江西上饶·期末）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（

）A．的可能取值为0，1，2，3 B．C． D．三、填空题6．（2122高二下·上海徐汇·期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则．四、解答题7．（2324高三下·浙江杭州·开学考试）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.(1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；(2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.参考答案：1．A【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望.【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，.则，，，则分布列为：432所以得分期望为.故选：.2．D【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：．故选：D．3．C【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可．【详解】解：由题意知随机变量服从超几何分布，故B错误，C正确；的取值分别为0，1，2，3，4，则，，，，，，故A，D错误．故选：C．4．ACD【分析】利用超几何分布的性质，及超几何分布的期望求解公式逐项验证.【详解】由题意知X，Y均服从于超几何分布，且，，故；从而，故选项A正确；，，，故选项B错误，C正确；，故选项D正确；故选：ACD.5．ACD【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，其分布列为，则，故B错误；，故C正确；，故D正确；故选：ACD.6．/0.36【分析】黑球的个数为，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，求出，然后求解记取出3个球中黑球的个数为，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可．【详解】解：设黑球的个数为，由得，记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3；，，，则分布列如下：123所以，则．故答案为：.7．(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；（2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果.【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P.（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,则由，又，所以，则，又，所以，设，所以，由二次函数可知当时取最大值，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.【考点9】正态分布一、单选题1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等2．（2223高三下·山东·开学考试）设随机变量，且，则（

）A． B． C． D．3．（2023·福建·模拟预测）已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（

）A．45 B．53 C．54 D．90二、多选题4．（2023·浙江温州·三模）近年来，网络消费新业态､新应用不断涌现，消费场景也随之加速拓展，某报社开展了网络交易消费者满意度调查，某县人口约为万人，从该县随机选取人进行问卷调查，根据满意度得分分成以下组：、、、，统计结果如图所示.由频率分布直方图可认为满意度得分（单位：分）近似地服从正态分布，且，，，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.则（

）A．由直方图可估计样本的平均数约为B．由直方图可估计样本的中位数约为C．由正态分布可估计全县的人数约为万人D．由正态分布可估计全县的人数约为万人5．（2023·福建厦门·二模）李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（

）A．P(X＞32)＞P(Y＞32)B．P(X≤36)＝P(Y≤36)C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车三、填空题6．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则．四、解答题7．（2023·山西·模拟预测）2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查学生对两会相关知识的了解情况，某高中学校开展了两会知识问答活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取320名学生，他们的得分（满分100分）的频率分布折线图如下.(1)若此次知识问答的得分，用样本来估计总体，设，分别为被抽取的320名学生得分的平均数和标准差，求的值；(2)学校对这些被抽取的320名学生进行奖励，奖励方案如下：用频率估计概率，得分小于或等于55的学生获得1次抽奖机会，得分高于55的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为，抽到价值20元的学习用品的概率为.从这320名学生中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为元，求的分布列和数学期望（用分数表示），并估算此次抽奖要准备的学习用品的价值总额.参考数据：，，，，.参考答案：1．D【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.故选：D.2．A【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.【详解】解：因为随机变量，所以，因为，所以，所以，根据正态分布的对称性，.故选：A3．B【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案.【详解】由已知可得，.又，所以，，.设，则，所以，，所以.，所以，，所以.所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为.故选：B.【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值.4．ABD【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数与中位数，可判断AB选项；利用正态分布原则可判断CD选项.【详解】对于A选项，由直方图可估计样本的平均数为，A对；对于B选项，前两个矩形的面积为，前三个矩形的面积之和为，设样本的中位数为，则，由中位数的定义可得，解得，B对；对于C选项，因为，，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，C错；对于D选项，因为，，所以，，所以，由正态分布可估计全县的人数约为万人，D对.故选：ABD.5．BCD【分析】首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解.【详解】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；B.,，所以，故B正确；C.=，所以，故C正确；D.，，所以，故D正确.故选：BCD6．/．【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为，所以，因此．故答案为：．7．(1)(2)分布列见解析，，元【分析】（1）先根据频率分布折线图求平均值及方差，再根据正态分布公式计算概率即可；（2）先分析获奖金额的情况，再列出相关分布列计算即可.【详解】（1）由折线图可知：，，所以，，所以.（2）由题意可知的可能取值为10，20，30，40，则，，，，，，所以的分布列为10203040P，故此次抽奖要准备的学习用品的价值总额约为元.单元检测单元检测【基础卷】一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2324高二下·河北沧州·阶段练习）若，，则（

）A． B． C． D．2．（2324高二下·辽宁大连·阶段练习）对甲，乙两地小学生假期一天中读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，乙地小学生读书的时间为（单位：小时），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（

）A． B．C． D．3．（2024高三·全国·专题练习）已知小明射箭命中靶心的概率为，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（）A． B． C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）在含有4件次品的100件产品中，任取2件，则至多取到1件次品的概率为（）A． B． C． D．5．（2023·广东·模拟预测）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（

）A． B． C． D．6．（2122高二下·北京·期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（

）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；③某同学射击3次，命中的次数；④某电子元件的寿命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④7．（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下：12则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023·广东佛山·模拟预测）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（

）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件C． D．二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9．（2324高三上·湖南长沙·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则（

），，）A． B．C． D．10．（2023·湖北武汉·一模）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（

）A． B．时，C．时，随着的增大而增大 D．时，随着的增大而减小11．（2023·山东威海·一模）已知事件A，B满足，，则（

）A．若，则 B．若A与B互斥，则C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B相互独立三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)12．（2324高三上·湖北·期末）已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球.第一次从红箱内取出一球，观察颜色后放回原处；第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内再取出一球，则第二次取到红球的概率为.13．（2023高三上·全国·专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则.14．（2023·浙江·二模）袋中有形状大小相同的球5个，其中红色3个，黄色2个，现从中随机连续摸球，每次摸1个，当有两种颜色的球被摸到时停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则.四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.(13分)（2021·福建三明·模拟预测）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)