高中数学《集合的含义》导学案

第=^第El章集合与函数概念

11.1集合

i.i.i集合的含义与表示

第1课时集合的含义

卜课前自主预习

1.集合的概念

(1)元素：in把研究对象统称为元素;怎么表示：回通常用小

写拉丁字母a,b,C,…表示.

(2)集合：鱼把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集);怎么

表示：©通常用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.

2.元素与集合的关系

(1)“属于“：国如果a是集合A的元素，就说a属于集合4,

记作

(2)”不属于"：国如果。不是集合A的元素，就说a不属于集

合A,记作aQL

3.元素的三个特性

(1)团确定性;

(2)国互异性;

(3)囹无序性.

4.集合相等的概念

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等

5.常用数集及表示符号

非负整数集

名称正整数集整数集有理数集实数集

(自然数集)

符号酬E]N*或N+■ZHQ

H自诊小测

1.判一判(正确的打“，错误的打“X”)

(1)本班的高个子同学组成集合.()

(2)漂亮的花组成集合.()

(3)联合国常任理事国组成集合.()

(4)由122,4,1组成的集合有五个元素.()

(5)由a,h,c组成的集合与由h,a,c组成的集合是同一个集

合.()

答案(1)X(2)X(3)J(4)X(5)J

2.做一做

(1)(教材改编P5To已知方程/—16=0的解是集合A中的元素,

则下列关系不正确的是()

A.4GAB.{-4}eA

C.-4SAD.4GAH-4GA

(2)用符号或“阵”填空.

小Z,0N,小+2Q,|Q.

(3)用符号或“住”填空.

若〃=3,贝！J。R；若济=也，贝ij。R.

答案(1)B(2)在GG(3)GG

卜课堂互动探究

探究1集合概念的理解

例1下列所给的对象能构成集合的是.

(1)所有的正三角形；

(2)高一数学必修1课本上的所有难题；

(3)比较接近1的正数全体；

(4)某校高一年级的16岁以下的学生；

(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；

(6)参加2018年冬季奥运会的年轻运动员；

(7)a,b,a,c.

解析(1)能构成集合.其中的元素需满足三条边相等.

(2)不能构成集合.因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不

能构成集合.

(3)不能构成集合.因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不

确定，故不能构成集合.

(4)能构成集合.其中的元素是“该校高一年级16岁以下的学

生”.

(5)能构成集合.其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”.

(6)不能构成集合.因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故

而不能构成集合.

(7)不能构成集合.因为有两个a是重复的，不符合元素的互异

性.

答案⑴(4)⑸

拓展提升

判断一组对象能否构成集合的方法

(1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的,

就能构成集合，否则不能构成集合.

(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、

互异性和无序性.

【跟踪训练11判断下列说法是否正确？并说明理由.

(1)大于3的所有自然数组成一个集合；

(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

31

(3)1,0.5,I组成的集合含有四个兀素；

(4)出席2018年19大的所有参会代表组成一个集合.

解(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故⑴

正确；(2)中的“高科技”的标准是不确定的，所以不能构成集合，故

131

(2)错误；由于0.5=/,所以1。5，］组成的集合含有3个元素，

故(3)错误；(4)中的对象是确定的，所以可以构成一个集合，故(4)正

确.

概念探究2元素与集合关系的判断与应用

例2(1)下列所给关系正确的个数是()

①7i£R；(2>73^Q；③0£N*；④|一4|枷*.

A.1B.2C.3D.4

(2)集合A中的元素%满足止-£N,%£N,则集合4中的元素

为•

解析(1);兀是实数，小是无理数，①②正确；

又•.・N”表示正整数集，而0不是正整数，故③不正确;

又I-4|=4是正整数，故④不正确，

正确的共有2个.

A，

66—%>0,

⑵N,x£N,.即

%与0,

-%20,

...0Mx<6,「.％=0,l,2,3,4,5.

当、分别为。,3,4,5时，号相应的值分别为123,6,也是自然

数，故填0,345.

答案(1)B(2)0,345

拓展提升

L常用数集之间的关系

‘正整数集N*

有理自然数集N

整数集zq.{0}

实数数集<

<1负整数集

集RQ

I分数集

〔无理数集

2.判断元素与集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在

已知集合中是否出现即可，此时应先明确集合是由哪些元素构成的.

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否

满足集合中元素所具有的特征即可.此时应先明确已知集合的元素具

有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件.

【跟踪训练2]⑴用符号"『或填空.

①0.3N*；②1N；

③1.5Z；④2啦Q；

⑤2+小R；⑥若％2+1=0,则xR

(2)设％£R,集合4中含有三个元素3,%,x2~2x.

①求实数％应满足的条件；

②若一2£A,求实数％的值.

答案⑴①《②金③在④建⑤£⑥9(2)见解析

解析(1)①•••0.3是无限循环小数，.'.OB建N*；②.「I是自然数,

AieN；③•门.5是小数，不是整数，.•.1.5aZ；④二”也是无理数,

•••2•的；⑤•••2+正是无理数，无理数又包含于实数，，2+S£R；

⑥..•满足f+1=0的实数不存在，为非实数，.••依R.

(2)①根据集合中元素的互异性，可知卜NV—2%,即且

1—2xW3,

S3且#一1.

②因为d—2x—(x—I)2—12一1,且一2£A,所以％=—2.当％=

-2时、(一2%=8,此时三个元素为3,—2,8,满足集合的三个特性.

探究3集合中元素的特性与集合相等

例3已知集合A有三个元素：a—3,2a—1,层+i,集合B也有

三个元素0,1,%.

(1)若一3GA,求。的值；

(2)若/£8,求实数％的值；

(3)是否存在实数a,%,使A=B.

解⑴由一3£A且4+121,可知a—3=-3或2a—1=-3,

当a—3=-3时，a=0；当2a—1=-3时，a=­1.

经检验，0与一1都符合要求.

.,.<2=0或一1.

(2)当％=0,1,一1时，都有％2£9

但考虑到集合元素的互异性，%W0,故X=-1.

(3)显然〃+iwo.由集合元素的无序性，只可能。-3=0,或2a

-1=0.

若a—3=0,则a=3,A中三个元素分别为0,5,10.

若2a—1=0,则a=；,4中三个元素分别为0,—|,*所以AN3.

故不存在这样的实数a,x.

拓展提升

利用集合元素互异性求参数问题

(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根

据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.(也是本节易错问题)

(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用.

【跟踪训练3】⑴已知集合A是由。-2,2次+5区12三个元素

组成的，且一3£A,求。的值；

(2)已知集合M中含有三个元素2,a,b,集合N中含有三个元

素2a,2,b2,且"=乂求a,b的值.

解(1)因为一3£A,所以a—2=—3或2屋+5。=—3,解得

一1或a——2«

当。=一1时，A中三个元素分别为-3,-3,12,不符合集合中

元素的互异性，舍去.

37

当a=-]时，4中三个元素分别为一》一3,12,满足题意.故a

3

~~T

(2)解法一：根据集合中元素的互异性，

a=2a,ct~b~

有彳c或彳f

b=b2[h—2a,

ct-O,a=0,

解得

b=lb=U

a=0,

再根据集合中元素的互异性，得

b=l

解法二：...两个集合相同，则其中的对应元素相同.

a~\~b—2a~\~b2,励-①

<a+1)=0,

a，b=:2a，h~,^•(2/?-1)=0,②

••.集合中的元素互异，.二。，人不能同时为零.

当8W0时，由②得。=0或力=1.

当a=0时，由①得。=1或。=0(舍去).

当时，由①得

当h=0时，。=0(舍去).

f----------------------------------1点黜2------------------------

1.集合中元素的特性

集合中元素的三种特性：确定性、互异性、无序性.求集合中

参数的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.

2.元素与集合的关系

与取决于。是不是集合A的元素，根据集合中元

素的确定性，可知对任何。与A,在与〃A这两种情况中，必

有一种且只有一种成立.

(2)符号“建”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来

表示集合与集合间的关系，这一点要特别注意.

3.集合相等

(1)当已知两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的，

即对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中都可以找到相

同的元素.

(2)两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该先确定这

两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断.

卜随堂达标自测

1.下列给出的对象中，能组成集合的是()

A.一切很大的数B.好心人

C.漂亮的小女孩D.方程％2—1=0的实数根

答案D

解析只有选项D具备集合的特性.

2.下列结论不正确的是（）

A.VlOOeNB.悯Q

C.（XQD.|-l|ez

答案C

解析0是有理数，即0£Q.

3.已知集合A是由0,加，/一3加+2三个元素组成的集合，且

204,则实数根为（）

A.2B.3

C.0或3D.0,2,3均可

答案B

解析,.,2£A,m=2或〃「一3机+2=2,当根=2时，m2—3m

+2=0与集合互异性矛盾.当/T?—3加+2=2时，m=0（舍去）或加=

3,符合题意，故m=3.

4.m,HGR,由两个数低,1组成的集合P与由两个元素20组

成的集合。相等，则加+〃的值等于.

答案1

解析由集合P与集合。相等得"=1,m=0,所以

m+n=1.

5.已知集合A含有两个元素a—3和2a—1,a£R.

（1）若一3GA,试求实数a的值；

（2）若试求实数a的值.

解（1）因为一3£A,

所以一3=a—3或一3=2a—1.

若一3=a—3,则<2=0.

此时集合A含有两个元素一3,-1,符合题意.

若一3—2a—1,则a=-1.

此时集合A含有两个元素一4,-3,符合题意.

综上所述，满足题意的实数a的值为0或一L

（2）因为。£4,所以a=q—3或a=2a—1.

当a=a—3时，有0=—3,不成立；

当a=2a—\时，有a=l,此时A中有两个元素一2,1,符合题

意.

综上所述，满足题意的实数。的值为1.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.下列几组对象可以构成集合的是（）

A.充分接近冗的实数的全体

B.善良的人

C.某校高一所有聪明的同学

D.某单位所有身高在1.7m以上的人

答案D

解析A,B,C中标准皆不明确，故选D.

2.下列选项正确的是（）

A.^9^QB争RC.2/QD.OeZ

答案D

解析本题主要考查几种常见数集的含义及符号表示,0是整数，

故有Oez.

3.由实数%,一%,|%|,五及一引系所组成的集合，最多含有（）

A.2个元素B.3个元素

C.4个元素D.5个元素

答案A

解析解法一：因为=■\[^-=\x\,-y^=~x,所以不论x

取何值，最多只能写成两种形式：羽一工,故集合中最多含有2个元

素.

解法二：令％=2,则以上实数分别为：2,-2,2,2,-2,由元素

互异性知集合最多含有2个元素.

4.若一个集合中的三个元素a,h,c是△ABC的三边长，则此

三角形一定不是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

答案D

解析由于集合元素具有互异性，即。，b,c互不相等，因此△

ABC一定不是等腰三角形.

5.已知％,y,z为非零实数，代数式卷+己+后+生1的值所组

囚\y\回xyz

成的集合是M,则下列判断正确的是（）

A.B.2GMC.-4建MD.4GM

答案D

解析①当％,y,z均为正数时，代数式俞+6+后+果的值为

4；②当％,y,z为两正一负时，代数式三+已+5+胃的值为0；③

四\y\臼xyz

当％,y,z为一正两负时，代数式卷+己的值为°；④当心

1囤IJI闷xyz

y,z均为负数时，代数式卷+已+5+用的值为-4,所以集合M包

囚\y\\z\xyz

含三个元素：4,0,-4,故选D.

二'填空题

6.用符号“金”或填空.

设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，9表示某个

梯形，则pM,qM.

答案£在

解析矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故如

M.

7.集合A中的元素y满足y£N且y=一r+1,若则,的

值为.

答案0或1

解析由题意，知且r=-/+1W1,故£=0或1.

8.如果有一集合含有三个元素2,%,%2_%,则实数%的取值范

围是.

答案—1且xWO且

’2Wx,

解析由题意知＜2^x2~x,