高中数学模块检测苏教版必修第一册

模块综合检测

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合/={x|y=log2（f—8x+15）},8=3水水a+1},若/A8=0,则实数a

的取值范围是（）

A.（-8,3]B.（-8,4]

C.（3,4）D.[3,4]

解析:选D由题意得，集合A={xly=log2（x—8x+15）}={x|8x+15>0}={*|水3

或x>5},6={x|a〈Ka+l}.因为11"1万=0,所以3Wa且a+lW5,解得3WaW4,所以实

数a的取值范围为[3,4].

2.下列关于命题xGR,使得1+x+kO”的否定说法正确的是（）

A.VxWR,均有f+*+1<0,假命题

B.VxWR,均有f+x+12O,真命题

C.3xWR,使得F+x+l?O,假命题

D.3xGR,使得x'+x+luO,真命题

解析：选B根据存在量词命题的否定是全称量词命题，先将存在量词改为全称量词，

然后否定结论，故该命题的否定为“VxGR,均有/+*+120"，因为X2+X+1=（*+02

+%0恒成立，所以原命题的否定是真命题.

3.若或1,0〈水水1,则下列不等式正确的是（）

（茂、p—mm

A.->1B.--〈一

\n）p—nn

C.m~p<n"D.logQlog〃夕

in（zz八”.

解析：选D对于选项A,由0〈水〃<1可得Oq<L又p>l,所以0<（1<1,故A不正

确；对于选项B,由于0>1,0</K/?<l,所以夕一/力夕一〃>0,所以±7^〈;等价于〃（。—向〈加（夕

一〃），可得浓m,不合题意，故B不正确；对于选项C,由于函数夕=广〃在（0,+8）上为

减函数，且0〈冰水1,所以加?/"，故C不正确；对于选项D,结合对数函数的图象可得当

P>1,0〈欣水1时，logGlog.R故D正确.

4.设函数F(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<“<1时，f(*)=4',则

+f(2021)=()

A.-2B.2

C.4D.6

解析：选A因为/Xx)的周期为2,所以/且f(2021)=AD,又/'(x)

为奇函数，所以-2,f(-l)=-F(l),且f(-1)=/1⑴，故/,(-1)=/(1)

+/,(2021)=-2,故选A.

5.已知函数f(x)=2sin(3x+I的部分图象如

图所示，则函数/X*)的一个单调递增区间是()

F_ZA%一

八A112912_

F7nn-

B-12'~~L2

JIJI

一彳，司

11n17n

12'~L2

25/.T=n,则3=2.又图象过点住兀，2),

解析：选D由图象可得彳7=不兀一行几

4o1乙

2sin(2义/兀+0)=2,6=一三,，F(x)=2sin(2x一,其单调递增区间为

n5~],

,4兀+适”(itez),取A=l,即得选项D.

6.已知a=2.J*,Z?=log2.il.3,c=sin2021°,则a,b,。的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

解析：选AV2.1L3>2.l'>2,：.a>2,

V0=log2,il<log2,il.3<log2,i2.1=1,.\0<Z?<l,

Vsin2021°=sin221°<0,Ac<Q,：.a>b>c.

7.函数y=sin(QX+。)(3〉0)的图象关于点0)对称，且在x=~1-处取得最小值,

则口的可能取值为()

A.2B.5

C.7D.9

解析：选D由题意，得sin113+。)=0,且sin(E_3+0)=—1,所以曰"3+。=

,、兀兀，,Ji、Ji

在兀JeZ),石~3+0=2〃n——{kfWZ),两式相减，得#73=(4—2*)n+~(k,kf

ez),即Q=6(左一2*)+3(kkrez).当k-2k'=1时，3=9,故选D.

8.已知定义在R上的函数y=F(x)对任意的x都满足F(x+2)=F(x),当一1WK1时,

f(x)=*,若函数g(x)=f(x)—a|x|有5个不同零点，则a的取值范围是()

A.(0,JB.Q.1)

C.31_D，(亍1)

解析：选B由题意g(x)=f(x)—a|x|有5个不同零点，即函数/=-(*)和y=a|x|的

图象有5个交点，

因为f(x+2)=『(%),所以/X*)是周期为2的周期函数，

当一1WK1时，f{x)=x,图象关于y轴对称，过原点，

当1WK3时,f(jr)=(x-2)2,

尸alx|是偶函数，图象关于y轴对称，过原点，

作出_/=£(必和y=a|x|的图象，如图，它们有5个交点时，a〉0,

根据对称性，可知，x>0时两个图象要有两个交点，y=ax的直线在物,仍之间，即在

水1,1

4(1,1)点下方，在6(3,1)点上方，则.解得可<水1,故选B.

3a>1J

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0

分)

9.将函数y=sin(x-?，的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再

向左平移『个单位长度得g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.g(x)是奇函数

B.是g(x)图象的一条对称轴

C.g(x)的图象关于点(3n,0)对称

D.2Ms=1

解析：选ACD将函数y=sin(x-5]的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标

不变)得尸sirg—的图象，再向左平移斗■个单位长度得g(x)=5M[1。+曰一)一~m=

sin；的图象，所以A正确；因为(§1一±1,所以B错；因为g(3n)=sin口=0,所以C

正确；又g(0)=0,所以2«3=1,所以D正确.

10.已知(Ka〈尿l<c,则下列不等式不成立的是()

A.a<t)B.c<.c

C.logQlog超D.sina>sinb

iin、2“、2ii

解析：选BD取a=~,b=~,c=2,则d<1，A成立；22>24,B不成立；log12

4

=一；,logl2=—1,/.Iogl2>logl2,C成立；•.•0<水灰1<万，.*.sin水sinb,D不成立.

242

11.下列命题为真命题的是()

A.函数尸tanx的图象关于点，"+方，0),让Z对称

B.函数f(x)=sin|川是最小正周期为n的周期函数

0000

C.设J为第二象限角，则tan万>cos万，且sin万>cos万

D.函数尸cos'x+sinx的最小值为一1

解析：选AD(八+5,0),ACZ是正切函数图象的对称中心，.•*对；f(*)=sin|x|

一0(nA00

不是周期函数，.飞错;万£(彳+4五，5+411)kGZ,当左=2〃+1,〃EZ时，sin—<cos—,

，(1125

.•.C错；—sin'x+sin^=一(sin-I+~,，当sinx=—\时，%in=-1,/.D

对.

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和

阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设“6R,用[幻

表示不超过X的最大整数，则了=[只称为高斯函数，例如：[—3.5]=—4,[2.1]=2.已知

e,1

函数AMUTTL-J，则关于函数g(x)="(x)]的叙述中正确的是()

1十e2

A.g(x)是偶函数

B.f(x)是奇函数

C.f(x)在R上是增函数

D.g(x)的值域是{—1,0,1}

1I1rer

解析：选BC根据题意知，•••g(D=[f(l)]=7T5=

iIc乙乙Iie1।c乙_

0,g(—1)="(-1)]=Jy—g=-1,.,.g(l)rg(—1),g(l)N—g(—1),.*.函数g(x)

e-x111

既不是奇函数也不是偶函数，A错误；•••F(-x)=「一万二二二一弓二一代必，...F(x)是

T1十Tez1-f-ez

奇函数，B正确；由复合函数的单调性知/'(x)=4—dr在R上是增函数，...C正确；..飞,〉。,

乙1十e

l+e'>l,—g〈f(x)g,.,.g(x)=[f(x)]={-1,0},D错误.故选B、C.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.一批救灾物资由51辆汽车从某市以rkm/h的速度匀速送达灾区，已知两地公路线

长400km,为了安全，两辆汽车的间距不得小于Ekm,那么这批物资全部到达灾区，最

oUU

少需要h.

V2

50

,800r

解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了-------=7Th,最后一辆汽车走完全

V10

程共需要40干0h,所以一共需要MO匕O+司h,结合基本不等式计算最值，可得40干0+而v22

、呼二1=10(当且仅当驷=5,即y=80时，等号成立)，故最少需要10h.

Vr16vlb)

答案：10

-31Jt-

14.设。>0,若函数f(x)=2sinox在一方，丁上单调递增，则。的取值范围是

nn-

_；若函数/tY)=2sinsx在区间一彳，丁上的最小值是一2,则。的最小值为

O4

JIJIJIJTJIJI

解析：令•一产3XW~T，得一——,则—7—.万；；是函数f(x)=2sin。

乙N乙3ZG)乙3乙3

nJinJI

〉关于原点对称的递增区间中范围最大的，；.一方，=；，则

x(o0)oT4」|_-7Z--5Z73_

4、23,3(3~

《解得oWj,；.3的取值范围是[0,5.要使函数/'(*)=2sin3X(3〉O)在

JIJIN\

-----2-------

I32”

一「兀兀17n3n2nJI6JI3

区间一彳,7上的最小值是一2,贝叮Wp或丁，即^—或解得或

3

326,1・3的最小值为

答案：(°，1]1

15.已知函数g(x)=f(x)+x?是奇函数，当x>0时，函数/Xx)的图象与函数y=logzx

的图象关于直线y=x对称，则g(—1)+g(-2)=.

解析：•.•当上0时，f(x)的图象与函数y=logz”的图象关于直线尸x对称，

.,.当x>0时,f(x)=2X,

当x>0时,g(x)=2JI+x,又g(x)是奇函数，

；.g(—1)+g(—2)=—+⑴+g(2)]=—(2+1+4+4)=-11.

答案：一11

16.已知函数/'(x)=e*+x—2,g(x)=lnx+x—2,且F(a)=g(8)=0,给出下列结论：

(l)a>A,(2)a<b,(3)g(a)<0</'(6),(4)g(a)>0>『(6),(5)a+6=2,则上述正确结论的序号

是.

解析：因为函数旷=/,y=lnx,y=x-2都是增函数，所以/'(x)=e*+x—2,g(x)=

Inx+x—2都是增函数.

/1(0)=e°+0—2=—KO,Al)=e'+l—2=e—1>0,BP0<a<Lg⑴=lnl+l—2=一

KO,g(2)=ln2+2-2=ln2〉0,即"，2,则0〈水"伙2,故(2)正确,⑴错误;

因为因为所以g(为<g(6)=0,f(a)—0<f(t>),所以g(a)〈0<f(6),故⑶正确，(4)错

误；

令f(令=e'+x—2=0,g(x)=lnx+x—2=0,则e"=2—x,Inx=2~x,

由于函数7=6'，y=lnx的图象和函数y=2—x的图象都相交，又了=6、和y=lnx互

为反函数，且图象关于直线y=x对称，函数尸2—x的图象也关于直线y=x对称，函数y

=2—x和y=x的图象的交点为(1,1),如图所示，所以a+b=2,即(5)正确.

答案：(2)(3)(5)

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

_2

3

17.(本小题满分10分)⑴计算：(2+即+21og32-log^-51og259；

sin仔+°)•cosf^--a)

(2)已知角a的终边经过点M(l,-2),求------------------------^的值.

cos(n+(7)

解：⑴原式^+21og：)2—21og：)|-51og53=Qj+2—3=一看

⑵•.•角。的终边经过点."(1,-2),

^2__2小

/.sin

yj1+45

sin仔+a)•cos(子-.乐

[2)I2)cosa•sina2V5

-------------；----i---：==—sma=­r-.

cos(JT十Q)---------—cosa-----------------5

18.(本小题满分12分)设函数f(x)=sin(2x+O)(—Ji<0VO),y=f(x)图象的一

条对称轴是直线x=?.

O

⑴求0;

(2)求函数尸f(x)的单调增区间.

解：(1).."=9"是函数y=f(x)的图象的对称轴，

O

，Ji、nJi

/.sinl2X-+Oj=±l..••7+0=4兀+—,keZ.

3叮

・・・一JIV0VO,J。=一--

4

3n(3哈

(2)由(1)知6=——^,因此y=sin(2x一7)

,一，Ji3nJI

由题意得2kb-—+—,AGZ.

n5n

/.An4-—^%^An+飞一，keZ.

oo

(3nArn5n~

・•・函数y=sin(2x——pj的单调增区间为4五+g,An+~,kH.

19.(本小题满分12分)已知函数/I(x)=f—(a+［)x+l,a>0.

(1)比较a与1的大小：

a

(2)解关于x的不等式/"(x)WO.

./、..1(a+1)(a—1)

解n：(1)・a—=----------------,且a>0,

aa

当0<水1时，一>a；

a

当a>l时，［<a；

当a=\时，a=­.

a

(2),不等式f\x)=(才一：)(才_aW0,

当0<水1时，有;。，

不等式的解集为卜aw/月；

当d>l时，有,《小

a

...不等式的解集为卜IW后卜

当a=l时，不等式的解集为{1}.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-2f+3x.

(1)若函数g(x)=F(x)+0x(〃eR)在［1,2］上的最小值为一8,求加的值；

(2)求函数尸;一f(x),xG(l,+8)的零点个数.

解：(1)函数g(x)=F(x)+0x=-2f+(3+〃x,则g(x)的图象的对称轴为直线x=

3+/〃

丁，

当号W1,即〃在1,即g(x)在［1,2］上递减时，可得g(x).i„=g(2)=-2+2〃=—8,

即勿=-3,成立；

Q_|_

当一122,即心5,即g(当在［1,2］上递增时，可得g(x)min=g(l)=1+/〃=—8,即

加=-9,不成立；

当1〈丁<2,即1〈欣5,g(x)的最小值为g(l)或g(2),

若g(l)=-8,解得勿=—9,此时勿不存在；

若g(2)=—8,解得加=-3,此时力不存在.

综上，加=—3.

(2)令尸/'(x)=2f—3x+9=0,整理得(x—1)•(2x一9一：-1)=0.

11

：.2x--2-1=0.

XX

设力(x)=2x—\__—1,

xx

则有/?(1)=一1<0,A(2)=1>0,

•A(2)<0,

又•・•尸力（X）的图象不间断，尸力（X）在（L2）上有零点.

任取小，生£（1,+8）,且为＜的.

力（小）一力（照）=（小―照）（2+“会;一1、

X\X2y

,乂+照.1

VK^I＜A2,；・小一照＜0,2+-n~-\-—>0,

X\X2X\X2

A(%1)—h{x2)<0,即/?(%!)</?(%2)，

・・”（才）在（L+8）上单调递增,

,・"（X）在（L+8）上有唯一的零点,

・•・函数〃=3—*（才），x£（l,+8）的零点个数为1.

21.（本小题满分12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量。（单位：L）、百

公里耗油量/（单位：L）与速度P（单位：km/h）（40W/W120）的数据关系如下表：

V406090100120

Q5.268.3251015.6

139.25

为描述0与/的关系，现有以下三种模型供选择：仇力=0.5"+/Q{v）=av+b,仇力

=av+bv+cv.

（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数

解析式;

(2)已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围

分别是[60,90),[90,110),[110,120](单位：km/h).问:该型号汽车应在哪个车道以

什么速度行驶时/最小？

解：(1)填表如下：

V406090100120

Q5.268.3251015.6

W13109.251013

由题可得符合的函数模型需满足在40WW120时/都可取，三种模型都满足，且该函

数模型应为增函数，故第一种函数模型不符合，

⑸2=40a+6,

若选择第二种模型，代入(40,5.2),(60,6)得,解得a=0.04,8=3.6,

,6=60a+6,

则。(力=0.04叶3.6,此时。(90)=7.2,0(100)=7.6,0(120)=8.4,与实际数据相

差较大，故第二种不符合；

经观察，第三种函数模型最符合实际，代入(40,5.2),