小学几何五大模型(蝴蝶模型)

任意四边形、梯形与相似模型

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:

①S]:$2=邑：S3或者S]xS3=S2xS4

②40:℃=（岳+邑）:（邑+53）

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例11（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形4比》,被对角线划分成四个部分，△

/如面积为1平方千米，AMC面积为2平方千米，勿的面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【分析】根据蝴蝶定理求得/A8=3x1+2=1.5平方千米，公园四边形ABCQ的面积是1+2+3+1.5=7.5平

方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,

求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC=?

【解析】⑴根据蝴蝶定理，SBGCxl=2x3,那么5\加=6；

⑵根据蝴蝶定理，AG:GC=（l+2）:（3+6）=l:3.（???）

［例2］四边形A8CO的对角线AC与即交于点。(如图所示)。如果三角形A&D的面积等于三角形8。的

面积的L,且AO=2,00=3,那么C。的长度是。。的长度的倍。

3

【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种“不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条

件5.：58必=1：3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已

知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改

造这个"不良四边形”，于是可以作垂直8D于H,CG垂直于G,面积比转化为高之比。

再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使

学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：・.・AO:℃=5AA皿：S①c=l:3，

・・・OC=2x3=6,

：.OC:OD=6:3=2:1.

解法二：作于H,。6,5。于6.

•S^ABD=耳S/D，

AH=-CG

39

・・S^oD=SADOC，

AO=-CO,

3

：.<9C=2x3=6,

：.OC:OD=6:3=2:1.

［例3］如图，平行四边形ABC。的对角线交于。点，ACEF、40EF、尸、/XBOE的面积依次是2、

4、4和6。求：⑴求△OC厂的面积；⑵求AGCE的面积。

【解析】⑴根据题意可知，△8CD的面积为2+4+4+6=16,那么△BC。和AC。。的面积都是16+2=8,

所以△。CF的面积为8-4=4；

(2)由于△BC。的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为8-6=2,

根据蝴蝶定理，EG:FG=S^COE:SACOF=2:4=1:2,所以又0cE：SAGCF=EG:FG=1:2,

112

刃「么S^GCE=］+2SACEF=§*2=§,

［例4］图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【解析】在ABE,CDE中有NAEB=NCED,所以ABE,CDE的面积比为（AExEB）:（CExOE）。同

理有ADE,BCE的面积比为（AExOE）:（BExEC）。所以有S砥EXSCDE=SADEXSBCE，也就是

说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、

下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。即S『ABEX6=S的x7,所以有ABE与■的面积

比为7:6,SOE二——x39=21公顷，S,二——x39=18公顷。

6+76+7

显然，最大的三角形的面积为21公顷。

【例5】（2008年清华附中入学测试题）如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积

为o

【解析】连接AD、CD、BCo

43

则可根据格点面积公式，可以得到AABC的面积为：1+——1=2,AAC。的面积为：3+—-1=3.5,

22

4

A4BD的面积为：2d-----1=3.

2

4412

所以B°：°D=SMBC=2:3.5=4:7,所以加。二鼠;^^=五><3=打.

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1,求三角形A8C的面积。

【解析】因为BD:CE=2:5,且3D〃CE,所以DA:AC=2:5,SMBC=-^—,SADBr=-x2=—.

［例6］（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形A8C3中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG

的面积.

ADAD

【解析】连接EF.

因为BE=2EC，CF=FD,所以5必自尸=gxgxg)S的,n=4S

因为%&,=；S3根据蝴蝶定理，AG-.GF=^=6A,

AGDFMDF

所以SA4G£)=6S=~S=亍XWSABCD=瓦S^CD,

1322

所以SgGE=SME£>_SgGD~SABCD=~^S^cd=~,

9

即三角形AEG的面积是・.

7

【例7】如图，长方形A5co中，BE:EC=2:3,DF:FC=1.2,三角形。尸G的面积为2平方厘米，求长

方形A3c。的面积.

【解析】连接AE,FE.

3111

因为BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,所以SDEF=（;义马义］）S长方形MCD=而§长方形ABCD,

因为长方…，AG6=g4=5:l,所以J=5SG〃=10平方厘米，所以S丽=12平

方厘米.因为SAFD=LS长方形钻⑦，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.

【例8】如图，已知正方形ABC。的边长为10厘米，E为AD中点,R为CE中点，G为斯中点，求三角

形BOG的面积.

BCBC

【解析】设m与CE的交点为。，连接BE、DF.

由蝴蝶定理可知£O:OC=SBE»:SBS，而S—=；S

所以EO:OC=SBE»:Smg=1:2,故EO=LEC.

DCjUD\^L/，

由于歹为CE中点，所以故EO:EF=2:3,FO:EO=1:2.

2

由蝴蝶定理可知S"D：SBE"=W：EO=1：2，所以lSBED=JS的⑦，

2o

那么皿=[Ss=210x10=6.25（平方厘米）.

Zlolo

［例9］如图，在AABC中，已知M、N分别在边4C、BC上，5M与AN相交于。，若AAOM、AABO和

ABON的面积分别是3、2、1,则AMNC的面积是.

【解析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解.

根据蝴蝶定理得SWON="EBON=1T1=1

SAAC®22

设S^MON=X，根据共边定理我们可以得

3+

23+2

,解得光=22.5.

q

°kMBCXi+'x

2

【例101（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形A4AAAA的面积是2009平方厘米，耳线与用为线分别

是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.

【解析】如图，设线4与耳A的交点为。，则图中空白部分由6个与AA2a一样大小的三角形组成，只要求

出了A40A,的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.

连接44、线4、B6A3.

设AA,B,B6的面积为”1“，则AB他6面积为”1"，面积为“2",那么必4线面积为线

的2倍，为”4"，梯形AAAA的面积为2x2+4x2=12,MAA的面积为”6“，的

面积为2.

根据蝴蝶定理，^0=40=5^,s=1:6,故5小办3=»-，S明令=U,

121

所以S^强：与形A傥4=7：12：1：7，即AA0A的面积为梯形A4AA面积的7，故为六边形

113

A&A3A4AA面积的q，那么空白部分的面积为正六边形面积的值x6=］,所以阴影部分面积为

2009xh-1

1148（平方厘米）.

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:

22

@S1:53=a:/>

②S]:S3：S2：S4=a2:b2:ab:ab;

③S的对应份数为(a+6)2.

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结

论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）

求梯形的面积.

22

【解析】设Si为/份，S3为，份，根据梯形蝴蝶定理，S3=4=b,所以6=2；又因为Sz=2=axb,所以

a=\■那么耳=。2=1,S4=axb=2,所以梯形面积S=+昆+S3+S4=1+2+4+2=9,或者根

据梯形蝴蝶定理，S=（O+Z?）2=（1+2）2=9.

【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCD的A5平行于CQ,对角线AC,BD交于0,B

知△AOB与ABOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是

平方厘米.

2

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=a:ab=25:35,可得a:b=5:7,再根据梯形蝴蝶定理，

S狈与心二片方=52:7?=25:49，所以S=49（平方厘米）.那么梯形ABC「的面积为

25+3X324殳1（平方厘米）.

【例12】梯形ABCD的对角线AC与血交于点。，已知梯形上底为2,且三角形AB。的面积等于三角

形80C面积的—，求三角形AOD与三角形80C的面积之比.

3

AD

2

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SBOC=ab:b=2-.3,可以求出〃:。=2:3,

2222

再根据梯形蝴蝶定理，S.:SBOC=a:Z?=2:3=4:9.

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千

辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论.

【例13]（第十届华杯赛）如下图，四边形ABCD中，对角线4c和瓦）交于。点，已知AO=1,并且

三角形的面积3

那么0C的长是多少？

三角形C8£）的面积

【解析】根据蝴蝶定理,三答丝空禁■=也，所以者=3,又AO=I,所以co=*

三角形的面积COCO53

【例14]梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是95？，问三角形A。。的面积是多少？

【解析】根据梯形蝴蝶定理，。：6=1:1.5=2:3,S^iS^=a2:b2=22:32=4:9,

所以SAA（»=4（cnr）.

【巩固】如图，梯形ABCD中，KAOB,ACOZ）的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.

2

【解析】根据梯形蝴蝶定理，SAOB:SACOD=cr：b=4-.9,所以。力=2:3,

23

S^D:SAOB=ab:a=b:a=3:2,S^D=5C0B=1.2x—=1.8,

样招

S■VP/O/lOCZJ=L2+L8+1.8+2.7=7.5.

【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形AOG的面积是“，三角形8CH

的面积是23,求四边形EGFH的面积.

【解析】如图，连结所，显然四边形ADEB和四边形BCE尸都是梯形，于是我们可以得到三角形EFG的面

积等于三角形AOG的面积；三角形8CH的面积等于三角形EFH的面积，所以四边形EGFH的面积

是11+23=34.

【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2

的面积为36,则三角形1的面积为.

【解析】做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形2分成左右两边，其面积正好等于三角形1和三角

45

形3,所以1的面积就是36*------=16,3的面积就是36x-一=20.

4+54+5

【例16]如图，正方形ABCZ）面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.

【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC=1:2,根据梯形蝴蝶定理可以知道

S^AMG''S^ABGS&MCG鼠皿=F：（1x2）:（1x2）:2?=1:2:2:4,设S^AGM=1份,则/“⑺=1+2=3份，

所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，S阴影=2+2=4份，所以S阴影：S正方形=1:3,所以S阴影=1

平方厘米.

【巩固】在下图的正方形中，£是边的中点，AE与加相交于口点，三角形BEF的面积为1平

方厘米，那么正方形48。面积是平方厘米.

【解析】连接DE,根据题意可知皿：4£>=1:2,根据蝴蝶定理得/形=（1+2）2=9（平方厘米），SAECD=3（平

方厘米），那么S=12（平方厘米）.

【例17]如图面积为12平方厘米的正方形ABC。中，E,尸是QC边上的三等分点，求阴影部分的面积.

【解析】因为瓦歹是。C边上的三等分点，所以M:4B=1:3,设入0。=1份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

=S/XOFB=3份，SAAOB=9份，5AADE=S^BCF=Q+3）份，因此正方形的面积为4+4+（1+3了=24

份，S阴影=6，所以S阴影：S正方形=6:24=1:4，所以S阴影=3平方厘米，

【例18]如图，在长方形ABC。中，42=6厘米，4）=2厘米，AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

BA

CD

【解析】方法一：如图，连接DE,OE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形A£D的面积为

2x6+3+2=2平方厘米.

3

由于EF:£>C=1:3,根据梯形蝴蝶定理，SDEO:SEFO=3:1,所以S.=工5班尸，而S.=$=2

方法二：如图，连接。E,FC,由于E尸：。C=l:3,设S△谢=1份，根据梯形蝴蝶定理，S^OED=3

份，S梯形皿=（1+3）2=16份，S4ADE=%BCF=1+3=4份，因此S长方形筋⑺=4+16+4=24份，

S阴影=4+3=7份，而S长方形诋。=6x2=12平方厘米，所以S阴影=3.5平方厘米

【例19]（2008年“奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,三角形ODE的

面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AC.

由于ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,所以CE:AD=2:3,

22

根据梯形蝴蝶定理，AOC:S^-.SAOD=2:2x3:2x3:3=4:6:6:9,所以S=6（平方厘

米），SAOO=9（平方厘米），又AC»=6+9=15（平方厘米），阴影部分面积为6+15=21（平

方厘米）.

【巩固】右图中ABC。是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是平方厘米.

ADAD

【分析】连接AE.

由于AD与8C是平行的，所以AECD也是梯形，那么又。e=.

根据蝴蝶定理,SAOCDxSAOAE=SAOCExSAOAD=4x9=36,故Sag/=36,

所以S“ocD=6（平方厘米）.

【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCC是梯形，AB即是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单

位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【解析】连接AE.

由于AD与8c是平行的，所以AECD也是梯形，那么SAOCD=SAOAE.

根据蝴蝶定理，S&OCDxSAOAE=S.OCEx5AOAD=2x8=16,故4℃J=16,所以乂火。=4（平方厘米）.

另解：在平行四边形皿中，Sw?小=卜16+8）=12（平方厘米），

所以5AAOE=S^E—S.c®=12-8=4（平方厘米），

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8x2+4=4（平方厘米）.

【例20]如图所示，BD、C尸将长方形A8C。分成4块，ADEF的面积是5平方厘米，ACE。的面积是

10平方厘米.问：四边形4诙的面积是多少平方厘米？

【分析】连接3尸，根据梯形模型，可知三角形8EF的面积和三角形DEC的面积相等，即其面积也是10平

方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE的面积为10x10+5=20（平方厘米），所以长方形的面积为

（20+10）x2=60（平方厘米）.四边形ABEF的面积为60-5-10-20=25（平方厘米）.

【巩固】如图所示，BD、C尸将长方形A8CD分成4块，ADEF的面积是4平方厘米，ACED的面积是6平

方厘米.问：四边形?的面积是多少平方厘米？

【解析】（法1）连接班1,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形80^的面积和三角形DEC的面积

相等，即其面积也是6平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形8CE的面积为6x6+4=9（平方厘米），

所以长方形的面积为（9+6）x2=30（平方厘米）.四边形形石下的面积为30-4-6-9=11（平方厘

米）.

FF4?FDFF?

（法2）由题意可知，—,根据相似三角形性质，所以三角形3C石的面积为：

EC63EBEC3

2

6+*=9（平方厘米）.则三角形面积为15平方厘米，长方形面积为15x2=30（平方厘米）.四

3

边形ABE厂的面积为30-4一6—9=11（平方厘米）.

【巩固】（98迎春杯初赛）如图，A8CD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54,。£）的长是16,OB

的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？

【解析】因为连接ED知道△A3。和△E£＞。的面积相等即为54,又因为。£＞：=16：9,所以△AOD的面积

为54+9x16=96,根据四边形的对角线性质知道：△BEO的面积为：54x54+96=30.375,所以四

边形OECD的面积为：54+96-30.375=119.625（平方厘米）.

【例21】（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形A8C。被CE、£＞厂分成四块，已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形。的面积为平方厘米.

【解析】连接。E、CF.四边形成）C尸为梯形，所以5.。。=5八℃，又根据蝴蝶定理，

=

S\EOD-SAFOC=SgOF'^ACOD,所以^AEOD'^AFOC^AEOF-1^ACOD=2x8=16,所以$庄OD=4（平方厘米），

SAECD=4+8=12（平方厘米）.那么长方形48cp的面积为12x2=24平方厘米，四边形OF8C的面

积为24-5-2-8=9（平方厘米）.

【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形A8C。中，A08是直角三角形且面积为54,。〃的长是16,OB

的长是9.那么四边形OE。的面积是

【解析】解法一：连接DE,依题意S=』*80><40=!><9*49=54,所以AO=12,

AOB22

则S=-xDOxAO=-xl6xl2=96.

AOnDn22

13

又因为S,B=SDOE=54=5X16XOE,所以OE=61,

1133

得S哂=-xBOxEO=-x9x6-=30~,

BOE2248

35

所以SOECD=5—^5BOE=S.一SBOE=（54+96）—30—=119—.

解法二：由于S\OD：SAOB=OD：O3=16：9,所以SAOD=54X£=96,而=$AOB=54,根据

3

蝴蝶定理，AOD^SAOBxS所以SBOE=54x54+96=30石，

o

35

所以SOECD=s^-sBOE=S^-SBOE=（54+96）-30-^119-.

【例23]如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CO相交于K点.已知正方形

OEFG的面积48,AK:KB=1:3,则ABKD的面积是多少？

【解析】由于DEPG是正方形，所以ZM与BC平行，那么四边形AD8C是梯形.在梯形4DBC中，MDK和

AACK的面积是相等的.而AK:KB=1:3,所以AACK的面积是AA8C面积的——，那么ABDK

1+34

的面积也是AABC面积的’.

4

由于AABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且

AM=DE,可见AABA/和AACM的面积都等于正方形OE尸G面积的一半，所以AA8C的面积与正

方形DEFG的面积相等，为48.

那么ABDK的面积为48x1=12.

4

【例24]如图所示，ABC。是梯形，A4DE面积是1.8,AABR的面积是9,A8C尸的面积是27.那么阴

影AAEC面积是多少？

（等积变换），所以可得

【解析】根据梯形蝴蝶定理，可以得到%相XS^FC=S^FDXS.c,而SMFB=S.C

o_S\AFBXS^CDF_9x9_

SMFD_Z-.7_3,

7

并且5AA斯=S"-S^E。=3-L8=L2，而S3B：SABFC=小：FC=9:27=1:3,

所以阴影AAEC的面积是：5^=SAA£FX4=1.2X4=4.8.

【例25]如图，正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少？

【解析】连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积§x6=§.

183

【例26]如图，已知。是BC中点，E是CD的中点，尸是AC的中点.三角形A8C由①〜⑥这6部分

组成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？

【解析】因为后是八。中点，F为AC中点，有AD=2EE■且平行于AD,则四边形AfiEF为梯形.在梯形

ADEF中有③=④，②义⑤二③、④，②：⑤二人犷：FE2=4.又已知②-⑤=6,所以⑤=6+(4-1)=2,

②:⑤x4=8,所以②义⑤=④义④=16,而③=④，所以③=@=4,梯形AQEF的面积为②、③、④、

⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有CEF与ADC的面积比为CE平方与CQ平方的比，

444

即为1:4.所以ADC面积为梯形人£生厂面积的一=-,即为18x—=24.因为。是BC中点，所

4-133

以ABD与ADC的面积相等，而A8C的面积为ABD,4DC的面积和，即为24+24=48平方

厘米.三角形A8C的面积为48平方厘米.

【例27]如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，

现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分

的面积为.

【解析】本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定

理来解决一般情况.

解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5,

因此空白处的总面积为6x1.5+2x4+2x2=22,阴影部分的面积为6x6-22=14.

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2,下底都为6,

上底、下底之比为2:6=1:3,根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

Q

比为F:1X3:1X3:32=1:3:3:9,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的二，阴影部分的面

16

77

积占该梯形面积的,，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,，那么阴影部分的面积为

1616

7

—x(62-2?)=14.

【例28]如图，在正方形ABC。中，E、R分别在BC与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接3尸、

DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形MGQA和PCNG,设正方形MGQA的面积为

S、,正方形PCNG的面积为S?,则.

【解析】连接BD、EF.设正方形A8CD边长为3,则CE9=2,BE=DF=1,所以，EF2=22+22=8,

BD2=32+32=18.因为所2•HP=8x18=144=12、所以EF-BD=12.由梯形蝴蝶定理，得

217

SL人Xl「jt尸Lr尸：SLAXrIJRDU„:SLX人L…Kjr：Sno„ljrr!F,=EF:BD:EF-BD:EF-BD=8:18:12:12=4:9:6:6,

9

=4+9+6+6%形如E=石5梯形BDFE,因为^ABCD=3x34-2=—,SACEF=2x2-？2=2,

所以S梯形BDFE=S/^BCD-SMEF=：，所以，％GE=[x:='|.

由于△BGE底边3E上的高即为正方形PCNG的边长，所以0V=3x2+1=。，ND=3-§=2,

5555

所以AM:CN=DN:CN=3:2,则5:邑=AM2:CN2=9:4.

【例29]如下图，在梯形A8C。中，Afi与C。平行，且8=248,点E、尸分别是AD和8c的中点,

已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米.

【解析】连接砂，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积.

13

设梯形A5CD的上底为距总面积为S.则下底为2〃，EF=j(a+2a)=ja.

33

所以AB:斯=〃：一々=2:3,EF:DC=-a:2a=3:4.

22

由于梯形ABF石和梯形ETC。的高相等，所以