新人教A版高中数学必修2直线与圆同步质量检测(一)

新人教A版高中数学必修2直线与圆同步质量检测(一)

新人教A版必修2同步质量检测

直线与圆(1)

一、选择题

1.[2013•长春模拟]己知点A(l,-1),B(—1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是

()A.x2

+y2

—2B.x2

4-y2

=2C.x2+y2=lD.x2+y2=4

答案：A

解析：圆心为(0,0)2,应选A项.

2.[2013•吉林模拟]圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则

a-b的取值范围是()

A.(—8,4)B.(—8,o)C.(—4,+°°)D.(4,+=°)

答案：A

解析：由题意，得圆心(1,一3)在直线y=x+2b上，得b=-2,由圆成立的条件可得

(-2)2+62—4X5a>0,解得a<2,.\a-b<4,故选A.

3.过点M(l,2)的直线1将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线

的方程是()

A.x=lB.y=lC.x—y+l=0D.x—2y+3=0

答案：D

解析：设圆心为C,当CMJ_1时，圆截1的弦最短，其所对的劣弧最短，又kCM=-2,

.•.kl=12

直线1的方程为y-2=1

2

(x—1),即x—2y+3=0.

4.[2013•安徽淮北模拟]若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和

x轴都相切，则该圆的标准方程是()

A.(x—2)2+(y—1)2—1B.(x—2)2+(y—3)2—1C.(x—3)2+(y—2)2—1D.(x—

3)2+(y-l)2=l答案：A

解析：设圆心坐标为(a,b),由题意知a>0,且b=l.又•.♦圆和直线4x—3y=0相切，

|4a-3|

5

—1,即14a—31=5,Va>0,.".a—2.

所以圆的方程为(x—2)2+(y—1)2=1.

5.[2013•海淀检测]点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()

A.(x-2)2+(y+l)2=lB.(x-2)2+(y+l)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+

2)2+(y-l)2=l答案：A

x4+x

解析：设圆上任一点为Q(x0

，y0

),PQ的中点为M(x,y),则2

解得0=2x—4,

y—2+y

y0

=2y+2.

2

x因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x20+为0=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,即

(x—2)2+(y+l)2

1.

6.[2013•金版原创]若圆0的半径为3,直径AB上一点D使AB-=3AD-

,E、F为另一直径的两个端点，则DE-・DFf

=()

A.-3B.-4C.-6D.-8

答案：D

解析：依题意得，DEf,DF-*—(DO->+OE-*),(DO-*+0F—*)—(DO->H_OE—*),(DO-*

-0E->

)=1-9=一8,故选D.7.[2012•辽宁高考]将圆x2+y2-2x-4y+l=0平分的直线

是()A.x+y—1=0B.x+y+3=0C.x-y+l=0D.x-y+3=0

答案：C

解析：本小题主要考查直线与圆的位置关系.解题的突破口为弄清平分线的实质是过圆

心的直线，即圆心符合直线方程.

圆的标准方程为(x-l)2

+(y-2)2

=4,所以圆心为(1,2),把点(1,2)代入A、B、C、D,不难得出选项C符合要求.8.

[2013•玉湖月考]圆(x+l)2+(y—4)2=1关于直线y=x对称的圆的方程是()A.(x-

l)2+(y+4)2=lB.(x-4)2+(y+l)2=lC.(x+4)2+(y-1)2=1D.(x-l)2+(y-

4)2=1答案:B

解析：已知圆的圆心为(-1,4),它关于y=x的对称点是(4,-1),即为对称圆

心.二、填空题

9.[2013•东北四校模拟]已知圆C过点A(l,0)和B(3,0),且圆心在直线y=x上，则

圆C的标准方程为.

答案：(x-2)2+(y-2)2=5

解析：由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的标准方程为(x—a)2+(y—a)2=r2,

/.1-a2+a2=r2

3-a2+a2=r2解得a=2r2=5

故圆C的标准方程为(x-2)2+(y—2)2=5.

10.已知圆C的圆心与点M(l,-1)关于直线x—y+l=0对称，并且圆C与x—y+l=

0相切，则圆C的方程为.

答案：(x+2)2+(y-2)2=9

2

解析:所求圆的圆心为(一2,2),设圆的方程为(x+2)2

+(y-2)2

=r2

(r>0),则圆心(一2,2)到直线x-y+1=0的距离为r,得r=9

2,故圆C的方程为(x+2)2+(y—2)2=2

11.[2013•温州模拟]若直线2ax+by—2=0(a,b为正实数)平分圆x2+y2—2x—4y—

6=0,则2

a+

1

b

.答案：3+22

解析:圆心为(1,2),代入直线方程得a+b=l,则2a+lb=(2a+lb)(a+b)=3+a2b

ba23+22.等

号成立的条件为a=2—2,b2-l.

12.[2013•金版原创题]若圆的方程为x2+y2+kx+2y+k2=0,则当圆的面积最大

时，圆心为.

答案：(0,-1)

方程为x2

+y2

+kx+2y+k2

=0化为标准方程为(x+k23k2解析：2

2)+(y+l)=l-4

2

3k2

Vr=14

Wl,.•.k=0时r最大.

此时圆心为(0,-1).三、解答题

13.已知圆的方程为(x-m)2+(y+m—4)2=2.(1)求圆心C的轨迹方程；

(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(0为坐标原点).

解析：(1)设C(x,y),则x=m,

y=4—m.

消去m,得y=4—x.

圆心C的轨迹方程为x+y-4=0.

⑵当|0C|最小时，0C与直线x+y—4=0垂直，直线0C的方程为x—y=0.

由x+y-4=0,

得x=y=2.

x—y=0,

即|0C|最小时，圆心的坐标为(2,2),•••mnZ.圆C的方程为(x—2)2+(y—2)2=2.其

一般方程为x2+y2—4x—4y+6=0.

14.[2013•吉林实验中学模拟]已知以点P为圆心的圆经过点A(—1,0)和B(3,4),线

段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD1=410.

(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程.

解析：(1)直线AB的斜率k=l,AB的中点坐标为(1,2),直线CD的方程为y—2=—

(x—1),即x+y—3=0.

(2)设圆心心a,b),则由P在CD上得a+b—3=0.①又直径|CD=410,A|PA=

210,(a+l)2+b2=40.②由①②解得a=-3,a=5,b=6或b

=-2.

二圆心心一3,6)或P(5,-2).

...圆P的方程为(x+3)2+(y—6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.15.已知点P(x,y)

是圆(x+2)2+y2=l上任意一点.(1)求x-2y的最大值和最小值；(2)求y—2

X—1

的最大值和最小值.

解析：(1)设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=l有公共点.-2

-1|

1+21.5—2Wt<5—2.tmax=5—2,tmin=-2—5.

⑵设k=y—2

kx—y—k+2=0与圆(x+2)2+y2x—l=l有公共点，

|—3k+21k+1

1.3-333

妹W4.

.\k3+3max=

4k3—3min=4

.16.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+l)2+y2=4上运动，求线

段AB的中点M的轨迹.

解析：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是(xO,yO),由于点B的坐标是(4,3),且

点M是线段AB的中点.所以xx0+4y0+3

2y=2

x0=2x—4,y0=2y—3.①

因为点A在圆(x+l)2

+y2

=4上运动，所以点A的坐标满足方程(x+1)2

+y2

=4,即(xO+1)

2

+y20=4.②

把①代入②，得(2x-4+l)2+(2y-3)2=4,整理，得x-33

22+y-22=l.所以，点M的轨迹是以3322为圆心，半径长是1的圆.

17.[2013•绍兴模拟]已知圆C经过P(4,-2),Q(—1,3)两点，且在y轴上截得的线

段长为3,

半径小于5.

(1)求直线PQ与圆C的方程；

⑵若直线1〃PQ，且1与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求

直线1的方程.

解析：(1)直线PQ的方程为：x+y-2=0,设圆心C(a,b),半径为r,由于线段PQ

的垂直平分线的方程是yl3

2=x—2

，即y=x—l,所以b=a—L①又由在y轴上截得的线段长为43,知(a+l)2+(b-

3)2=12+a2.②由①②得：a=l,b=0或a=5,b=4.当a=l,b=0时，r2=13满足

题意当a=5,b=4时，r2=37不满足题意，故圆C的方程为(x—l)2+y2=13.⑵设

直线1的方程为y=—x+m,A(xl,m—xl),B(x2,m—x2),

由题意可知OA_LOB,即kOA・kOB=-LA

m-xlm-xlx2

xl.2

整理