高中数学算法初步知识点与题型总结

第十一章算法初步与框图

一、知识网络

算法概念

顺序结构

算

法

初

步

1.算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.

2.程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线与文字说明来表示算法的图形.

3.程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构.

4.算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言.

5.算法的基本特征：①明确性：算法的每一步执行什么是明确的；②顺序性：算法的“前

一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续；③有限性：算法必须在

有限步内完成任务，不能无限制的持续进行；④通用性：算法应能解决某一类问题.

※典例精析

例1.如图所示是一个算法的程序框图，则该程序框图所表示

/输出3/

|结束

解析：首先要理解各程序框的含义，输入a,b,c三个数之后，接

着判断a,b的大小，若b小，则把b赋给a,否则执行下一步，

即判断a与c的大小，若c小，则把c赋给a,否则执行下一

步，这样输出的a是a,b,c三个数中的最小值.所以该程序框

图所表示的功能是求a,b,c三个数中的最小值.

评注：求a,b,c三个数中的最小值的算法设计也可以用下面程

序框图来表示.

例2.下列程序框图表示的算法功能是（）

（1）计算小于1。。的奇数的连乘积

（2）计算从1开始的连续奇数的连乘积

（3）计算从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积大于100时，计算奇数的个数

（4）计算1x3x5x…xnN100成立时〃的最小值

解析：为了正确地理解程序框图表示的算法，可以将执行过程分解，分析每一步执行的结

果.可以看出程序框图中含有当型的循环结构，故分析每一次循环的情况，列表如下：

第一次:S=lx3,i=5;

第二次：S=lx3x5,i=7;

第三次:S=lx3x5x7,j=9,此时S<100不成立，输出结果是7,程序框图表示的算法功能是求

使Ix3x5x…xnNlOO成立时〃的最小值.选D.

评注:通过列表，我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量是怎样变化的,这正是程序运

行的本质所在.本题若要求编写求使Ix3x5x…xnNlOO成立时”的最小值的程序框图或程

序时，很容易弄错输出的结果，应注意.

例3.在音乐唱片超市里，每张唱片售价为25元，顾客如果购买5张以上（含5张）唱片，

则按九折收费，如果购买1。张以上（含10张）唱片，则按八折收费，请设计算法步骤

并画出程序框图，要求输入张数x,输出实际收费y（元）.

分析:先写出），与x之间的函数关系式，有，再利用条件结构画程序框图.

解：算法步骤如下：

第一步，输入购买的张数X,

第二步，判断X是否小于5,若是，计算），=25町

否则，判断工是否小于10,若是，计算尸22.5x;

否则，计算y=20x.

第三步，输出y.

程序框图如下：

评注:凡必须先根据条件做出判断，然后再决定进行

哪一个步骤的问题，在画程序框图时，必须引入判

断框，采用条件结构设计算法.如果变量分三级（或以

上）时,就需要用到条件结构的嵌套，不能忽视结果中“是“、“否”的书写，否则不知道执

行哪一条路径.一般地，分〃段的分段函数，需要引入〃-1个判断框.条件结构有以下两种基

本类型.

例4.画出求的值的程序框图.

分析:这是一个有规律的数列求和问题，每次都进行了相同的运算，故应用循环结构进行算

⑵直到型循

评注：（1）解题关键是选择好计数变量，和累加变量S的初始值，并写出用，表示的数列的通

项公式是；

⑵循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题.在循

环结构中，要注意根据条件，设计合理的计数变量、累加（积）变量以与它们的初始值等，特别

要注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次或少一次循环.

（3）循环结构分为两类：一类是当型循环结构，如下左图所示；另一类是直到型循环结

构，如下右图所示.

术改进后预计以后后每年的年生产总值都比上一年增长5%.设计一个程序框图,输出预期

年生产总值超过300万元的最早年份与2005年到此年份之前（不包此年份）的年生产总值

的和.

分析:本例可用循环结构来实现.（1）确定“循环体”：设a为某年的年生产总值,n为年份,S

为年产值的总和，则循环体为

⑵初始化变量:n的初始值为2005,a的初始值为200,S的初始值为0.

⑶设定循环控制条件：。>300

评注:本问题的关健是设计好循环体，注意S=S+a与〃之间的对应关系.本题若将S=S+a

放在〃=〃+1之后,则输出时须重新赋值〃,否则〃的值为超过30。万的年份的下一年.

本题也可用当型循环结构来表示.

变式训练：设计一个程序框图，求使S=lx2x3x...x〃>5000的最小"的值，并输出此时S的

值.

解：程序框图如下：

※基础自测

一、选择题

1.下列说法正确的是（）

4算法就是某个问题的解题过程；

B.算法执行后可以产生不同的结果；

C.解决某一个具体问题算法不同结果不同；

D.算法执行步骤的次数不可以很大，否则无法实施.

1.解析：选项力，算法不能等同于解法；选项石，例如：判断一个正整数是否为质数，

结果为“是质数”和“不是质数”两种；选项C,解决某一个具体问题算法不同结果应该

相同，否则算法构造的有问题；选项D,算法可以为很多次，但不可以无限次.

2、如图所示的程序框图中，则第3个输出的数是（）

35

A.1B.-C.2D.-

22

2.解析：前3个分别输出的数是1,1,2.故选C.

N=1

I*-

□

N=N+1

3.如图给出的是求的值的一个程序框图，

其中判断框内应填入的条件是（）

A.i>10?B.i<10?C.i>20?D.i<20?

开始

S=0,〃=2,i=l

I*------

□

n=n+2

i=i+\

输出

结束

3.解析：通过列表，我们能清楚了解程序的每一步中的各个变量

是怎样变化的，第一次:，

第二次:，…依此可知循环的条件是i>10?.选A开始

4.阅读右边的程序框图，若输入的〃是100,则输出的变

量S和T的值依次是（）

A.2550,2500

B.2550,2550

C.2500,2500

D.2500,2550

4.解析：依据框图可得

5=100+98+96+...+2=2550,

7=99+97+95+...+1=2500.选A.

5.2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全

月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过

1600元部分需征税.设全月总收入金额为x元，前三级税

率如下左表所示：

级全月应纳税金额税

数X—1600率

1不超过500元部分5%

10

2超过500至2000元部分

%

超过2000至5000元部15

3

分%

....

・・・・・・

开始］

输入X

当工资薪金所得不超过3600元，计算个人所得税的一个算法框图如图.则输出①、输出②

分别为（）.

A.0.05x;O.lxB0.05%;O.lx—185C0.05x-80;O.lx;

D.0.05x-80;0.lx-185

5.解析：设全月总收入金额为x元，所得税额为y元,则)，与x之间的函数关系为

0(0<x<1600)

y=<(%-1600).5%(1600<x<2100)选D.

25+(%-2100).10%(2100<x<3600)

二、填空题

6.执行右边的程序框图，若尸0.8,则输出的刀=..

6.解析:第一次循环后，，此时〃=2;第二次循环后，，此时〃=3;第三次循环后，，此时〃=4,

输出，故填4.

8.如果执行右面的程序框图，那么输出的s=

1开:1

匕=1

s=o

<fc^0?>----查——

s=s+景/输出步

IS-口1

1彳3k=k+\［结束］

第8题8.解析：S=2+4+6+---+100=2550

三、解答题

9.请阅读下面程序框图，说明此程序的功能

_____1宣

(笫9题程序框图)解：程序功能是求s的值.

s=l+2+22+..・+26,并输出s

10.已知函数，请画出程序框图，要求输入自变量x的值,

输出函数值y.

10.解：

11.画出一个计算1X5X10X15X...X100的程序框图.

11解：程序框图如下

直到型循环

第二节算法的基本语句与算法案例

※知识回顾

1.任何一种程序设计语言都包含五种基本

的算法语句，

它们是输入语句，输出语句,赋值语句,

条件语句,循环语句

2.输入语句的一般格式是WPUT”提示内容”;变量;

输出语句的一般格式是PAWT"提示内容”;表达式;

赋值语句的一般格式是变量=表达式;

条件语句的一般格式是或;

循环语句的一般格式是和，.

输入语句、输出语句、赋值语句基本对应于程序框图中的顺序结构；条件语句、循环语

句分别用来表达程序框图中的条件结构和循环结构.

3.常用符号

运算符号：加工，减」，乘;_,除,乘方针3整数取商、,求余数MOD.

逻辑符号：且竺孙或竺，大于壬等于二，小于＜,大于等于三，小于等于三，不等

于

常用函数：绝对值ABS,平方根SQR,取整这

4.算法案例

(1)辗转相除法和更相减损术

辗转相除法和更相减损术都是求两个正整数的最大公约数的方法.

(1)辗转相除法就是对于给定的两个正整数，用大数除以小数,若余数不为0,则将小

数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执行此步骤，直到大数被小数除尽，则

这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.

(2)更相减损术就是对于给定的两个正整数，若它们都是偶数，则将它们反复除以2(假

设进行了k次)，直到它们至少有一个不是偶数后，将大数减小数,然后将差和较小的数

构成一对新数，继续上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等,此时相等的

数再乘以原来约简的2”即为所求两数的最大公约数.

(2)秦九韶算法

秦九韶算法是求多项式值的优秀算法.

设/(x)=aHx"++…+qx+4,

改写为如下形式：

/U)=(•••{anx+an_x)x+an_2)x■­-+a])x+a().

设%=%，匕=%X+4T

这样求n次多项式F(x)的值就转化为求n个二式的值.当多项式中有些项不存在时,

可将这几项看做Oxx”,补齐后再利用秦九韶算法进行计算.对于一个n次多项式，只需做

M次乘法和巴次加法运算即可.

(3)进位制

K进制数的基数为k,k进制数是由0~左-1之间的数字构成的.

将十进制的数转化为k进制数的方法是除k取余法.

把攵进制数a”％…44(°<%<幺04«„-i，…4,4〈人)化为十进制数的方法为

n

=ank++-■■+aik+a0.

※典例精析

例L写出用循环语句描述求S=l-；+…+白-小的值的算法程序.

77JL1717

解：算法程序如下：

(1)当型循环(2)直到型循环

评注：在编写算法的程序时，可先画出程序框图，抓住程序框图表示算法这个核心.注意分

别用当型循环和直到型循环语句编写的程序中，循环条件的区别与联系.

例2、某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量

(zur,“A〃，吨收取的污水处理费y元，运行程序如下所示：

IIFm<=50THEN

y=13*zw

ELSE

IFntv=100THEN

y=5O+15*5?-5O)

ELSE

y=15025*(wr-10O)

ENDIF

ENDIF

END

请写出y与m的函数关系，并求排放污水150吨的污水处理费用.

解：这个程序反映的是一个分段函数

13M(m<50)

y=\50+15(加一50)(50cmV100)

150+25(/??-100)(w>100)

因为机=150>100,所以y=150+25(150-100)=1400,故该厂应缴纳污水处理费1400元.

评注：解决分段函数要用条件语句来处理.本题可画出程序框图帮助理解.

例3.求三个数72,120,168的最大公约数.

解法1：用辗转相除法

先求120,168的最大公约数，

因为168=120x1+48,120=48x2+24,48=24x2

所以120,168的最大公约数是24.

再求72,24的最大公约数，

因为72=24x3,所以72,24的最大公约数为24,

即72,120,168的最大公约数为24.

解法2:用更相减损术

先求120,168的最大公约数，

168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24

所以120,168的最大公约数为24.

再求72,24的最大公约数，

72-24=48,48-24=24

72,24的最大公约数为24,

BP72,120,168的最大公约数为24.

评注:辗转相除法与更相减损术均是求两个正整数的最大公约数的方法，要理解和掌握它们

的最小公倍数的算法程序.

例4.用秦九韶算法求多项式/。)=/+2/+3/++5x+6在x=2时的值.

分析：先改写多项式，再由内向外计算.

/(x)=x5+2x4+3x3+4x2+5x+6

二((((x+2)x+3)x+4)x+5)x+6

%=1,Vj=%x+2=4

v2=VjX+3=ll

匕=%x+4=26

v4=v3x+5=57

v5=V4X+6=120

评注:用秦九韶算法求多项式值，关健是正确将多项式改写，然后由内向外计算求得.

本题也可简写为下式：

123456

2282252114

4112657120

例5.完成下列进制的转化

⑴1()202。)=——。。)(2)1()%。)=_____⑻

42

H：(1)10202(3)=lx3+2x3+2x3°=101(10)

⑵用8反复去除101,直到商为0止，所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的

8进制表示

所以10%0)=145⑻

评注:将女进制的数转化为k'进制的数的方法是先将k进制的数转化为十进制的数，再将这

个数转化为《进制的数.

变式训练：下面是把二进制数11111⑵化为十进制数的一个程序框图,判断框内应填入的条

件是()

A.Z>5?B.z<4?C.z>4?D.z<5?

解：11111⑵=1x24+1x23+1x22+1x2+1,故判断框内应填入的条件，>4.选C.

派基础自测

一、选择题

1.下列给出的赋值语句中正确的是()

A4=MBM=-MCB=A=3Dx+y=0

1.解析:赋值语句的功能.选B

2当x=2时，下面的程序输出的结果是()

INPUTx

WHILEz<=4

5=5*X+1

Z=Z+1

WEND

PRINTs

END

A3B7C15D17

2解析：0x2+1=1,1x2+1=3,3x2+1=7,7x2+1=15.选C

3.运行下列程序:

INPUTm,n

DO

r=mMODn

m-n

n=r

LOOPUNTILr=0

PRINTm

END

当输入56,42时，输出的结果是

A.56B.42C.84D.14

3.解析:该程序的功能是用辗转相除法求正整数九〃（机＞“）的最大公约数，故选D

4下边程序运行后输出的结果为（）

(1=0

7=1

WHILEj<=5

a=(a+j)MOD5

j=j+l

WEND

PRINTa

END

A50B5C25DO

4解析：j=lM=l;j=2,a=3;/=3M=1;/=4,a=0;J=5,a=0.选D

二、填空题

5三个数324,243,135的最大公约数是_________________

5解析：324=243x1+81,135=81x1+54,81=54x1+27,54=27x2.填27

6.阅读下列程序：

(INPUTx

IFx>100ANDx<1000THEN

a=x\100

b=(x-a*100)\10

c=xMOD10

x=100*c+10*6+a

PRINTx

ENDIF

\^NDJ

当程序输入i值为1