高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (24)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（24）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.在三棱锥P-4BC中，AB=BC=5,AC=6,「在底面ABC内的射影。位于直线AC上，且

AD=2CD,PD=4.设三棱锥P-4BC的每个顶点都在球。的球面上，则球Q的半径为（）

ABQ5■口5任

*8686

2.如图，在边长为2的菱形ABC力中，^DAB=60°,现将△BCD沿8。折叠到△8PD的位置，若

三棱锥P-48。的外接球的表面积为^凡则三棱锥P-ABD的体积为

A更B.2C.迥D.立

2226

3.已知正方体的棱长为1,平面a过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等,

则该正方体在平面a内的正投影面积是（）

学

A.B.V3C.V2D.乎

4.图为某几何体的三视图，则该几何体是（）

A.五面体

B.六面体

C.八面体

D.十面体

5.棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2,则此棱锥的高被分成的两

段之比为（）

A.1：2B.1：4C.1：（V2+1）D.1：（V2-1）

6.己知四棱锥P-4BC。,底面ABC。为矩形，侧面PC。_L平面4BCQ，BC=26,CD=PC=PD=

2V6.若点〃为PC的中点，则下列说法正确的个数为（）

（1）PC1平面ADM（2）四棱锥M-4BCD的体积为12

（3）B.W//平面PAD（4）四棱锥M-4BCD外接球的表面积为36兀

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为

A.（V2-1）/?B.（V6-2）/?C.（3-V2）RD.（V3-V2）/?

8.如图，已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心。到平面

ABC的距离为1,点E是线段AB的中点，过点E作球。的截面，则截面面

积的最小值是（）

7

A.-7T

4

B.27r

9

C.-It

4

D.3兀

二、多项选择题（本大题共6小题，共24.0分）

9.在棱长为1的正方体4BCD—ABiGDi中，已知点P为侧面BCGB】上的一动点，则下列结论正

确的是（）

A.若点P总保持P41BD,则动点P的轨迹是一条线段；

B.若点P到点A的距离为独，则动点P的轨迹是一段圆弧；

3

C.若尸到直线AQ与直线CC1的距离相等，则动点尸的轨迹是一段抛物线；

D.若P到直线BC与直线GO1的距离比为1:2,则动点P的轨迹是一段双曲线.

10.如图，在正方体ABCD-AiBiGDi中，点P在线段BQ上运动，则

下列判断中正确的是（）

A.平面PBi。_L平面AC。1

B.&P||平面AC%

C.异面直线公尸与所成角的取值范围是（0孝

D.三棱锥久-APC的体积不变

11.如图，在矩形ABC。中，M为BC的中点，将m4MB沿直线4M翻折成

SAB.M,连接当。，N为占。的中点，则在翻折过程中，下列说法正确

的是（）

A.存在某个位置，使得CN_L48i

B.CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM1BXD

D.若4B=BM=1,当三棱锥4-AMD的体积最大时，三棱锥电-AMO的外接球的表面积是

47r

12.我国古代仇章算术少中将上、下两个面为平行矩形的六面体成为刍童.如图刍童ABCD-

EFGH有外接球，且4B=5,AD=上，EF=4,EH=2,平面A8CZ）与平面EFGH的距离为

I,则下列说法中正确的有（）

AB

A.该刍童外接球的体积为36兀

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC、EG在一个平面内

D.该刍童中二面角B——H的余弦值为?

13..如图，矩形ABC。中，M为BC的中点，将Z1ABM沿直线4M翻折成太

AABrM,连结N为BiD的中点,则在翻折过程中，下列说法中/|\/?

所有正确的是（）.A/Y1

A.存在某个位置，使得CNJ.4B1A-WC

B.翻折过程中，CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM1BAD

D.若AB=BM=1,当三棱锥&-AMO的体积最大时，三棱锥当-AMD的外接球的表面积是

47r

14.如图，在矩形ABC。中，M为3c的中点，将AAMB沿直线AM翻折

成AABiM,连接Bm,N为的中点，则在翻折过程中，下列说法

正确的是（）

A.存在某个位置，使得CN_L4Bi

B.CN的长是定值

C.若AB=BM,则AM1BXD

D.若4B=BM=L当三棱锥当-4M0的体积最大时，三棱锥当一4M。的外接球的表面积是

4TT

三、填空题（本大题共16小题，共80.0分）

15.在棱长为6的正方体ABCD-&B1GD1中，M是BC的中点，点P是面OCG5所在的平面内的

动点，且满足乙4PZ）=NMPC,则兽=，三棱锥P-BCD的体积最大值是

16.已知四边形A8CZ）是边长为5的菱形，对角线BD=8（如图①）,

现以AC为折痕将44BC折起，使点B到达点P的位置，棱AC,

P。的中点分别为E,F,且四面体P4C。的外接球球心在四面

体内部（如图②），则线段E尸长度的取值范围为

17.在平面四边形ABCC中，AB=CD=1,BC=V2,AD=2,AABC=90s,将A/IBC沿AC折

成三棱锥，当三棱锥B-ACD的体积最大时，三棱锥外接球的体积为.

18.在菱形A8C£»中，^DAB=60°,将这个菱形沿对角线折起，使得平面。AB1平面BCC,若

此时三棱锥力-BCD的外接球的表面积为5兀，则AB的长为.

19.如图正方体4cl中，M为AB中点，N为BC中点，尸为线段CQ上一动点（不含C）,过M,N,P与

正方体的截面为a,则下列说法正确的是.

①当言行时，a为五边形②截面a为四边形时，a为等腰梯形③截面a过。1时，言=：④a为

六边形时在底面投影面积品,a为五边形时在底面投影面积52，则Si>52

20.已知点尸是正方体力BCD-4/1601的底面ABC。上一动点，且满足|PA|=2|PB|,设PD1与平

面A8C。所成的角为仇贝岭的最大值为.

21.如图，已知点M,N分别为平行六面体4BCD-&B1C1D1的棱当好的中点，设ZkAMN的

面积为S「平面AMN截平行六面体4BC。-所得截面面积为S,五棱锥力-BMNQC的

体积为匕，平行六面体4BC。一久8也也的体积为匕则?=,.

D.

22.如图，已知点仞，N分别为平行六面体48。。一公a6。1的棱8为，B1G的中点，设A4MN的面

积为品，平面AMN截平行六面体ABCO-&当65所得截面面积为S,五棱锥4-BM/V/C的

体积为匕，平行六面体48。。-4避1口。1的体积为匕则/=,*=.

23.如图，已知点M,N分别为平行六面体ABCD-a/iGDi的棱&G的中点，设44MN的面

积为Si，平面AMN截平行六面体力BCD-所得截面面积为S,五棱锥A-BMNqC的

体积为匕，平行六面体ABCD-4B1C也的体积为匕则/=,*=.

24.平行六面体力BCD-48传1。1中，底面ABC。是边长为1的正方形，=yfl,^AD=

441AB=120°,则对角线BO】的长度为

25.如下图，正四面体4一BC。的棱长为2,点E、尸分别是棱B。、8c的中

点，则该正四面体的内切球半径为；平面AEF截该内切球所得

截面的面积为.

26.已知圆锥的母线与圆锥的底面所成的角为60。，该圆锥内有两个不同的球，半径较小的球靠近该

圆锥的顶点，且与该圆锥的侧面以及大球相切，半径较大的球与该圆锥的底面和侧面均相切.若

该圆锥的母线长为4g,则这两个球的体积之和为.

27.已知球。与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为,表面积为.

28.如图，在三棱锥P-4BC中，侧面PAB垂直于底面ABC,AABC与APAB上一

都是边长为2国的正三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为3c

29.已知正方体4BC。-4/165的棱长为a,点E,凡G分别为棱AB,AAt,6名的中点.下列

结论中，正确结论的序号是.

①当。1〃平面EFG-.

②BO】平面力CBi；

③异面直线E尸与BA所成角的正切值为产；

④四面体力CBiA的体积等于：。3；

⑤过E,F,G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形.

30.半径为2的球O内内置一圆锥,则此圆锥的体积最大值为

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的外接球的结构特征，以及线面垂直的性质的应用，属于中档题.

解：•••AB=BC,

4BC外接圆的圆心M在B。上，设此圆的半径为r,

vBO—4,

A(4-r)2+32=r2,解得r=

8

■.■OD=OC-CD=3-2=1,

DM=Vl2+(4-r)2=竿，

设QM=a,易知QM1ABC,贝i]QM〃PD,

vQP=QB,

.・・1(PD-a)2+DM?=>ja24-r2,即(4-Q)2+詈=a2+詈，

解得a=l，

•••球Q的半径R=QB=yja24-r2=遐

8

故选A.

2.答案：A

解析：

本题考查空间中的翻折问题、空间几何体的结构特征和三棱锥的外接球的性质，属较难题.

要求出三棱锥P-48。的体积，需要求点尸到平面A3。的距离，及△AB。的面积，需要认清三棱锥

P-ABC的结构特征，先依据已知条件可求出球的半径，进一步探究球心位置，认识三棱锥的特征，

可求出“E4可得点P到直线4E的距离，即三棱锥P-ABD的高，从而问题得解.

解：取BQ的中点E,连接AC,PE,菱形ABC。中，ADAB=60°,

则4。8。和4ABD是全等的正三角形，

••三棱锥P-48。的外接球的表面积为可，

•••外接球的半径R=叵.

3

设球心为O,△PBC初△ABD的夕卜心分另IJ为M、N,

则依据球的性质有

OM±平面PBDON±平面4BD,ME=NE=：PE=^-,0B=R=华•

又BM=苧，［OM=0N=1,OE=誓,/MEN=2/OEM=120°.于是“EC=60°.

.••点P到直线AE的距离等于PEsin/PEC=V3xsin60°=|,

即三棱锥P—ABD的高为I，

则三棱锥P-4BD的体积为工x-xix^x4=-.

32222

故选A.

P

解析：

本题考查了平面投影的形状与面积的计算问题，是中档题.

正方体4BC0-4816历三个面在平面a内的正投影是三个全等的菱形，

可以看成两个边长为企的等边三角形，由此求出正方体在平面a内的正投影面积.

解：棱长为1正方体4BCD-48iGDi的三个面

在平面a内的正投影是三个全等的菱形（如图所示）

可以看成两个边长为鱼的等边三角形，

所以正方体2BCD在平面a内的正投影面积是

S=2x之xV2xV2x1=V3.

故选8.

e

4.答案:C

解析：

本题考查三视图，属于基础题.关键是将三视图还原出原几何体.

解：由三视图可知，该几何体是由一个正方体挖掉四个三棱锥,所以面共有6+2=8（个）.

故该几何体为八面体.

故选C.

同

5.答案：D

解析:

本题考查的知识点是棱锥的几何特征，其中根据相似的性质，及截面面积与底面面积之比得到相似

比是解答的关键，属于基础题.

由截面与底面为相似多边形，可得小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为1:夜，由此可得原棱锥的侧棱

被分成的两部分之比.

解：•••截面与底面为相似多边形，且截面面积与底面面积之比为1：2,

二小棱锥侧棱与大棱锥侧棱之比为1:e，

.••原棱锥的侧棱被分成的两部分之比为1:企-1.

故选D.

6.答案：C

解析：

本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，线面平行的判断，四棱锥的体积求法，以及四棱锥的外

接球的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，逻辑推理能力与数学运算能力.

作出图象，根据相关知识即可判断各命题的真假.

解：作出图象，如图所示：

对于(1),因为侧面尸CD1平面力BCZ),而底面/BC力为矩形,

所以平面PCO，即有

而⑦:/^:二2/^点加为产0的中点，所以。MlPC.

因为ADCtDM=D.AD.DMu平面ADM，

所以PCI平面力(1)正确；

对于(2),因为侧面PCD1平面48c。，CD=PC=PD=276-

所以点P到平面48CD的距离为2nsin60"=3及.

而点M为PC的中点，所以点P到平面ABCD的距离为迪，

2

故四棱锥材一/BCD的体积为1XH1X2#X2百=12,(2)正确；

32

对于(3),取尸。中点N，连接MN,所似MN//DC，且MN=，£)C,

2

而。C=48,故MN//AB,且MN=TAB,

因此四边形为梯形，所以8M与4N■的延长线交于一点，

故直线6〃与平面P4O相交，所以(3)不正确；

对于(4),根据四棱锥〃-/BCD的侧面COM为直角三角形，底面13CD为矩形，结合球的几何

特征可知，四棱锥M-43CO的外接球的球心在过底面的外心O且与底面垂直的直线上,

同样，四棱锥必-/BCD的外接球的球心在过侧面QW的外心(CO的中点)且与侧面SW垂直

的直线上，

所以四棱锥〃一/BCD的外接球的球心即是底面48C。的外心O，

外接球半径为。/=；J(2@+(2可=3,

故四棱锥必-/BC。外接球的表面积为36%，(4)正确.

故选C.

7.答案：B

解析：

本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个

小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键.由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与

大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r,该正四面体的中

心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论.

解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大.

以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r,该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心

该正四面体的高为J4r2_（第y=竽，

22

设正四面体的外接球半径为X,则然=（竽_x）+（竽），

2

y/6r

nFr,

R=--2----

r=（V6-V2）/?.

故选民

8.答案：C

解析：

本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积.着重考查了

勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题.

设正△ABC的中心为。】，连结OiA根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，可求出AE,

而经过点E的球。的截面，当截面与0E垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，

由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值.

解：设正△ABC的中心为。口连结0送

「。1是正AABC的中心，A、B、C三点都在球面上，

3。1平面ABC,

••,球的半径R=2,球心0到平面ABC的距离为1,得。1。=1,

Rt△。必中，=yJOA2-OOl=V3.

又为AB的中点，△ABC是等边三角形，

:.AE=力O]Cos30°=三

2,

・••过E作球。的截面，当截面与0E垂直时，截面圆的半径最小，

・•・当截面与0E垂直时，截面圆的面积有最小值.

此时截面圆的半径r=2,

2

可得截面面积为S=nr2=空.

4

故选C.

9.答案：ABD

解析：

本题考查了命题的真假判断与应用，考查了圆锥曲线的定义和方程，考查了学生的空间想象能力和

思维能力，是中档题.

由8。1上面力BiC,可得「在面4B1C和面BCGBi的交线上判断4正确；由平面截球面轨迹是圆判断B

正确；建立空间坐标系，由|PF|=|PG|列式求出动点P的轨迹说明C错误；由双曲线定义说明。正

确.

解：对于A,BDrLAC,BDy1ABX,且ACnAB1=A,

所以BO】_L平面ZBiC,平面ABiCCl平面BCC/i=BiC,故动点尸的轨迹为线段/C,所以A正确；

对于8,点P的轨迹为以A为球心、半径为平的球面与面BCGB1的交线，叩为一段圆弧，所以8

正确；

对于C,作PE1BC,EF1.AD,连接PF；作PQ1CCX.

由|PF|=|PQ|,在面BCG/内，以C为原点、以直线CB、CD、Cg为x,y,z轴建立平面直角坐

标系，如下图所示：

设P(x,O,z),则无不N=I尤I，化简得/-z2=l,则P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错

误.

对于D,由题意可知点P到点Cl的距离与点P到直线BC的距离之比为2:1,

结合c中所建立空间直角坐标系，可得靠=所以翳=:,代入可得立妥空=+化简可得绰__

9

—=1,故点尸的轨迹为双曲线，所以。正确.

3

综上可知，正确的为ABD.

故选ABD.

10.答案：ABD

解析：

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判

定，要注意使用转化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结DB,容易证明，平面ACDi,从而可以证明面面垂直；连接4B,力传】容易证明平面B&C"/

平面ZCDi，从而由线面平行的定义可得；分析出4P与ZD1所成角的范围，从而可以判断真假

；VD1_APC=VP_AD1C,P到平面的距离不变，且三角形4D1C的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于A,连结。B,因为正方体中，_L平面ABC。，AC在平面ABC。内，所以8当_1_4。，

又因为DB1AC,DB,BBi为平面DBBi内两条相交直线，所以AC_L平面CBB1，因为。在平面

内，所以4C,同理可得DB114D1，AD1、4c为平面ZCDi内两条相交直线，可得Da1平面

ACDltOB1在平面PBi。内，从而平面PBi。_L平面AC。1，A正确；

对于3,连接&G，A^Z/AC,&G不在平面AC%内，AC在平面ACDi内，所以&G〃平面

ACDr,同理BC]〃平面又4iQ、BCi为平面B&Ci内两条相交直线，所以平面〃平面AC2,

4P在平面84G内，所以&P〃平面AC。1，故B正确；

对于C,4P与A%所成角即为4P与BG的所成角，&B=BG=4iCi，当P与线段BC1的两端点重

合时，&P与所成角取最小值热当P与线段BQ的中点重合时，&P与A%所成角取最大值看故

A】P与4D1所成角的范围是椁，5,故C不正确；

对于。，由选项B得BC]〃平面4£>iC,故BCi上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为

顶点，平面ADiC为底面，则三棱锥「一4。传为的体积不变，又力「/Pc=%c，所以三棱锥以一

4PC的体积不变，故。正确.

故选ABD.

11.答案：BD

解析：

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于4,取4。的中点为E,连接CE交MD于点凡如图1,

则NE〃A8i，NF//MB1

如果CNIAB],则ENJ.CN,

由于4%"1"当，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于B,如图1,由NNEC=4MABI，

S.NE=^ABltAM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得:

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

图2

取AM中点为O,=即4B[=则4M1/0,

若AM1B】D,由于当0nBi。=B],

且u平面0DB「

AM_L平面ODu平面OOBi，

ODLAM,则AD=MD,

由于AD和M。大小关系未知，故4MJ.B1D不成立，故不正确;

对于D，根据题意知，只有当平面BiAM，平面AMQ时，

三棱锥&-AM。的体积最大，取AO的中点为E,

连接OE,B】E,ME,如图2,

•••4B=BM=1,则佃==1,

且ABilBiM,平面BiAMCl平面AMD=4M,

当。1AM,Bi。u平面

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD,

B]01OE,

则4M=&,BIO="M=*，

OE=-DM=-AM=—，

222

从而飒=J囹+囹=],

易知EA=ED=EM=1,

.•.4。的中点E就是三棱锥&-AMO的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4”，故£＞正确;

故答案为：BD.

12.答案：AD

解析：

本题考查几何体的外接球体积的求法、二面角、棱台的性质、面面平行的性质定理，考查空间想象

能力，找到球心是关键，属于较难题.

对于4,假设。为刍童外接球的球心，连接HF，EG交于点。「连接AC,OB交于点。2，由球的几

何性质可知。,01，。2在同一条直线上,。。1ABCD,0011平面EFGH,OXO2=1,设。。2=r,

利用勾股定理和球的半径相等的条件列式，求出r的值，进而求出外接球的半径，即可求出体积；

对于B,由棱台的性质可得结论；对于C,利用反证法，由等角定理与实际结论矛盾可判定；对于Q,

直接构建二面角的平面角/QP02计算可得结论.

解：对于4假设。为刍童外接球的球心，连接"F,EG交于点。1，连接AC,交于点。2，

由球的几何性质可知0,。「。2在同一条直线上，

由题意可知，。。1ABCD,。/JL平面EFGH,0v02=1,

设。。2=r,

在RtAOGOi中，0G2=0。/+O】G2,

在矩形EFGH中，EG=y/EF2+FG2=V16T4=2而，。道=中=V5,

A0G2=0。/+0忑2=(r+1产+5，

在RtZXOSO?中，OB2=。外？+OzB?，

22

在矩形ABCD中，。8=ylAD+AB=存不7=4VL02B=^-=2近,

2222

OB=002+02B=r+8,

设外接球的半径0G=OB=R,(r++5=/+8,解得r=1,

则R=OB=Vl24-8=3,则该刍童外接球的体积P==36TT,故A正确；

对于3,因为器=%M=g所以由察工警可得，该刍童不是棱台，故8错误；

AD77AB5ADAB

对于C,由题意、面ABCD“而EFGH,旦面ABCDC面ABFE=AB,面EFGHC面ABFE=EF,所以

AB//EF,若AC,EG在同一个平面内，同理可得4C〃EG,

由同角定理可得/C4B=4GEF或/CAB+NGEF",

又因为RtACRA中，tan/C4B=V=&RSGFE中，tanzGEF=啜=；,这与两角相等或互补

AB5EF2

矛盾，所以AC,EG不在同一个平面内，故C错误；

对于£»,过为作OiQlEH且相交于点。，过。2作。2「工AD且相交于点P，连接P。，易得/QP02即

为二面角8-4D—H的平面角，在直角梯形QPO2O1中，（?。1=拶=2,P02=^-=|.。1。2=1，

PO2-QO11V5

所以C0S“P02=

PQ=痣=三，

故。正确.

故选AD.

13.答案：BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题，对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取AO的中点为E,连接CE交于点F,如图1,

图1

则NE〃AB「NF//MBr

如果CN14B1，则ENJLCN,

由于ABilMBi，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点，

故这是不可能的，故不正确；

对于8,如图1,由NNEC=ZJVL4Bi，

S.NE=^ABltAM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

对于C,如图2

图2

取AM中点为O,TAB=BM,即贝ijAM_LB1。

若ZMJLBi。，由于Bi。Cl8山=Bi，

且u平面。

•••AM_L平面00B「ODu平面OOBi，

•••ODVAM,则AD=MD,

由于/WKMD,故不成立，故不正确：

对于D根据题意知，只有当平面/AM，平面AM。时，

三棱锥当-4M。的体积最大，取A。的中点为E,

连接。E,BiE,ME,如图2

•••AB=BM=1,则AB】=fijM=1,

月SB11BW，平面CI平面AMD=AM

：.BQ1AM,B10u平面B遇M

/.Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

Bi。J_OE,

则=BIO="M=4，

从而岫=J囹+囹=1，

易知£;4=ED=EM=1,

.•.4D的中点E就是三棱锥旦-4如）的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4”，故。正确;

故答案为：BD.

14.答案：BD

解析:

本题考查几何体的翻折问题，考查空间中直线与直线的位置关系，球的表面积计算，考查空间想象

能力，属于中档题。

对选项逐一判断其正确性即可.

解：对于A,取A。的中点为E,连接CE交于点凡如图1,

图1

则NE〃4B「NF"MB\

如果CNIABi，则ENJLCN,

由于4/1MB1，则EN1NF,

由于三线NE,NF,NC共面且共点,

故这是不可能的，故不正确；

对于8,如图1,由/NEC=4M481，

且NE=^ABltAM=EC,

.•.在△CEN中，由余弦定理得:

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正确；

图2

取AM中点为O,=即4B[=则4M1/0,

若AM1B】D,由于当0nBi。=B],

且u平面0DB「

AM_L平面ODu平面OOBi，

ODLAM,则AD=MD,

由于AD和M。大小关系未知，故4MJ.B1D不成立，故不正确;

对于D，根据题意知，只有当平面BiAM，平面AMQ时，

三棱锥&-AM。的体积最大，取AO的中点为E,

连接OE,B】E,ME,如图2,

•••4B=BM=1,则佃==1,

且ABilBiM,平面BiAMCl平面AMD=4M,

当。1AM,Bi。u平面

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD,

B]01OE,

则4M=&,BIO="M=*，

OE=-DM=-AM=—，

222

从而飒=J囹+囹=],

易知EA=ED=EM=1,

.•.4。的中点E就是三棱锥&-AMO的外接球的球心，球的半径为1,表面积是4”，故£＞正确;

故答案为：BD.

15.答案：2；24

解析:

本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可.

解：•••在棱长为6的正方体48。0-41/6。1中，M是8C的中点，点P是面。CC15所在的平面内的

动点，且满足乙4PD=NMPC,

4npn

SAPDfRgMPC,,・.黑=会=2,

MCPC

即PD=2PC,过户作POJ_DC于。，设。。=X，P0=h,

・•・V%2+h2=2,(6-%)2+九2,

化简得：3F=-3x2+48x—144,,

根据函数单调性判断：x=8时，3层最大值为48,

%大=4,

•••在正方体中P。J■面BCD,

三棱锥P-BCO的体积最大值：ix|x6x6x4=24,

故答案为2；24.

16.答案：（学,4）

解析：

本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属

难题.

由题意可知△4PC的外心。］在中线PE上，设过点3的直线％1平面APC,△4DC的外心。2在中线

DE上,设过点G的直线％，平面AOC,由对称性知直线L，%的交点O在直线或7上，则点。为四

面体APC。的外接球的球心.由题意得E4=3,PE=4,由勾股定理及。送+0透=/^=4求得

0rE=（令乙PEF=6,得EF=PEcosd=4cos9<4,再由c。令=.=舞,得。E-EF=0rE•PE=3

结合0E<EF,求得EF>巫,从而得到线段EF长度的取值范围.

2

解：如图，由题意可知AAPC的外心。1在中线PE上，

设过点。1的直线。1平面APC,可知ku平面PED,

同理A40C的外心。2在中线OE上，设过点。2的直线4平面AQC,

则％u平面PED,由对称性知直线L，%的交点O在直线后尸上.

根据外接球的性质，点。为四面体APCD的外接球的球心.

由题意得E4=3,PE=4,而。1屁=0送2+EA2,0IA+0IE=PE=4,

・・.0iE=7

令乙PEF=e,显然0<。<去:EF=PEcosd=4cos8<4.

vcosd=竺=竺，0E•EF=OiE-PE

PEOE12

又0E<EF,「.EF?*即EF>且.

22

综上所述，且<EF<4.

2

••・线段EF长度的取值范围为（当,4）.

故答案为：（”,4）.

解析：

本题考查了简单组合体及其结构特征，球的表面积和体积，余弦定理，线面垂直的性质和面面垂直

的性质，属于较难题.

利用简单组合体及其结构特征得当三棱锥8-4C。的体积最大时，平面4BC1平面ACD,在平面ABC

内过B作BH1AC,交AC于H,利用面面垂直的性质得1平面4CZ),取4。的中点01，利用平

面几何知识得。1是△4CD的外接圆圆心，且半径为r=l,过0i作直线/垂直于平面AC。，利用简单

组合体及其结构特征得三棱锥B-AC。的外接球球心。在直线/上，连接HO1，利用线面垂直的性质

得4H1HOI和。0i1HO1，再利用余弦定理得H因=[,设0。1=x(x>0),三棱锥B—4CD的外接

球半径为R,解三角形得R=l,最后利用球的体积公式，计算得结论.

解：如图(1)：

在平面四边形ABC。中，AB=CD=1,BC=V2,AD=2,/.ABC=90s,

则AC=A/3，

因此在△ACD中，/.CAD",Z.ACD).

将△ABC沿AC折成三棱锥B-ACD,如图(2)：

B

当三棱锥B-ACO的体积最大时，平面4BC1平面ACD

在平面ABC内过B作BH_L4C,交AC于H,

而平面ABCn平面力CD=AC,因此BH，平面ACD.

取的中点0「则01是△4CD的外接圆圆心，且半径为r=1,

过01作直线/垂直于平面ACQ,

则三棱锥B-4CD的外接球球心。在直线/上.

连接〃。1，因为“。1<=平面ACD,

而BHJ•平面A8,/垂直于平面AC£),

所以4H1H0r,。。11H0「

设。0i=x(x>0),三棱锥B-ACC的外接球半径为R.

在RtZk/13「中，8"=处空=学=渔，

ACy/33

2

AUAB1V3

i4CV33

2

在^AH01中，HOl=AH+AOl-2AH-AO^osZ.HAOy

1「rW八、W1

=—+1—2x—x1x—=一•

3323

因此R2=ool+。1。2=(BH±。。1)2+H01.

由00/+。102=(BH±001)2++1=(当士X)+?

HO2^X2

解得x=0,因此R2=1,即R=1,

-lyr

因此三棱锥B-4C0的外接球的体积为；.

故答案为.

18.答案：V3

解析:

本题考查了棱锥的外球的半径，属于中档题.

取8。的中点M,连接AA/，CM,由题意知△ABD,△BCD都是等边三角形，确定棱锥外接球半径,

利用外接球的表面积求a.

解：

①②

如图①所示，取8。的中点M,连接AM,CM,由题意知△ZBD,△BCD都是等边三角形，设边长

为a.

如图②，由题意知A4MC为等腰直角三角形，在RtAAMC中，P,Q分别是CM,AM上靠近M的

三等分点，

0C即为三棱锥A-BCD外接球的半径.在Rt△OPE，,ax1)2+弓。x—=工.解得a=V3.

故答案为

19.答案：②③

解析：

本题考查了面面平行的性质定理，考查了截面问题，考查了空间想象能力，属于较难题.本题的难点

在于求各个情况的截面形状.逐项分析得解.

解：作CD，GDi，4iBi的中点RS,T,则平面AfRST〃平面BCQ%,

设a与SR交点为Q,

连接MN,NP,PQ,MQ,由面面平行性质可知，PN//MQ,

作PC=PC

由三角形的中位线定理可得PN〃BC'//MQ,则BMQC'共面，

又面ZBBMi〃面DCG5，所以BM〃QC

即MBC'Q是平行四边形，MQ=BC,

所以PN=：MQ,PC=^QR,

CPCP1

当P。的延长线过时，贝IJCP+DC1=2QR=4CP,所以万方=/=5，③正确；

当CP=PG时，即此时S,Q重合，截面如图所示，此时截面为六边形，在底面投影如图,

当截面为五边形时，在底面投影如图，则S1<S2,故①、④不正确；

当尸与G重合时，a为平面MNQ&,因为MN7A4C〃./。，

不妨设正方体棱长为2a,

则舟=C[N，所以a为等腰梯形，则②正确.

故答案为：②③.

20.答案：£

4

解析：

本题考查求直线与平面所成角的最大值问题，考查空间想象能力，属于较难题.

以点A为原点，A3为x轴，AO为y轴，建立直角坐标系，利用|P4|=2|PB|,得到P点的轨迹方程,

即可得到答案.

解：不妨记正方体ABC。-AiBiGDi的棱长为2,

在平面A8CD内，以点A为原点，AB为x轴，AQ为y轴，建立直角坐标系，

设PG,y),由|PA|=2|PB|,4(0,0),B(2,0),

所以5久2+y2=2,(%-2)2+y2,

EP(x-|)Z+y2=^

延长AB到。使得BQ=|,

即点P在平面ABC。内的轨迹是以Q为圆心，g为半径的圆在正方形A8CO内的圆弧，

若要PDi与平面A8C。所成角最大，

当点P为。。与圆弧的交点时，。尸最小，即PDi与平面ABC。所成的角。最大，

陷嬴=］令+22-；2,

所以在RtAROP中，tanJ=^,

所以。的最大值为8=

故答案为李

21•答案：勒

解析：

本题考查空间几何体的结构特征，考查几何体的体积求法，属中档题.

依题意，求出五边形BMNCiC的面积与平行四边形BCGB1的面积的关系，根据平行六面体ZBCD-

48传也与五棱锥4-BMNCiC等高，即可求得票，延长DiN/M交于。，则M,N为AQ,2Q的中

点，AMNQsdADiQ,即可求得费.

解：点、M,N分别为棱SB】，B1G的中点，得五边形BMNGC的面积为平行四边形BCC/i的面积的

O

设A到面BCCSi的距离为d,则匕；；'"x'"'"BM.VCC7(

*dS国彩Bec加24

如图：平面AMV截平行六面体48CD-力道£。1所得截面为四边形MN，4,

其中MN〃D】A,且延长DIN,4M交于。，

则M,N为AQ,DiQ的中点，4MNQs4AQD1，得四边形”2。源的面积S=354财政，

又AM=MQ,所以SI=S4MNQ,所以W'

O*5

故答案为~>~-

243

22.答案:盘弓

解析：

本题考查空间几何体的结构特征，考查几何体的体积求法，属中档题.

依题意，求出五边形BMNGC的面积与平行四边形BCGBi的面积的关系，根据平行六面体ABCD-

ABIGA与五棱锥4-BMNGC等高，即可求得?，延长AN,4M交于Q,则M,N为AQ,5Q的中

点，AMNQ-AADrQ,即可求得?.

解：点M,N分别为棱BB],BiG的中点，得五边形BMNGC的面积为平行四边形BCQBi的面积的:，

设4到面BCC$i的距离为d,则J「八、个产"317,

I'dS四功杉ucc向24

如图：平面AMV截平行六面体48CD-力道£。1所得截面为四边形MN，4,

其中MN〃D】A,且延长DIN,4M交于。，

则