2024成都中考数学二轮复习专题 二次函数-矩形和正方形专项训练（含答案）

2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--矩形和正方形专项训练（学生版）目标层级图

课中讲解一.矩形的存在性问题内容讲解例题：抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是对称轴上一点，点Q为平面内任意一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由。类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：定线段AC为边②定线段AC为对角线。由矩形的性质可知，矩形的四个角都是直角，结合这一特性，可以考虑使用“两线一圆”（参考直角三角形存在性问题）的构图方式，准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解。1.当AC为边时，利用“两线”构图方式准确确定点P位置，此时图形中出现“斜直角”，可考虑“改斜归正”，构造相似，利用相似三角形性质转换线段OA、OC长，得出点P坐标，进而利用平移得出点Q坐标；（这里还有其它解决办法，不再叙述，请思考）当AC为对角线时，利用“一圆”构图方式准确确定点P位置，图形之中仍有“斜直角”的存在，利用“改斜归正”的方法构造相似，结合相似三角形的性质，把A、C、P三点坐标转化线段长并建立方程，然后解方程可得点P坐标，再次利用点的平移求出点Q坐标。矩形存在性问题的这种解决思路，方法比较简单，需要在平行四边形基础上利用“两线一圆”构图，然后设计求解方案。

题型一：固定一条边，设点坐标和K型相似列方程例1．如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．

过关检测1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；（2）点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值；（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，以点P、B、D、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；题型二：固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件例2.已知抛物线经过点，顶点为，对称轴是直线．（1）求抛物线的函数表达式和顶点的坐标；（2）如图1，抛物线与轴交于点，连接，过作轴于点，是线段上的动点（点不与，两点重合）；若直线将四边形分成面积比为的两部分，求点的坐标；如图2，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．过关检测1.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．（1）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；（3）在（1）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成平行四边形时，求点的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标．

题型三：矩形相关的代数问题例3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为．（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值；过关检测1.如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）点在抛物线上，且点的横坐标为．轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值.

二．正方形存在性问题由于正方形比较特殊，其中相等的角、边太多，所以解决有关正方形的题目，多采用几何论证方法，最主要围绕这个思路展开：添加辅助线，充分利用正方形的等边或等角，构造全等三角形，依全等性质解题。例题：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP为边在图示一侧作正方形BPMN，当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求出对应的点P坐标。【解法分析】正方形是最完美的四边形，它的四条边相等、四个角是直角，把它放置在二次函数问题中与平面直角坐标系结合就会出现“斜直角”。而“斜直角”的处理方式通常为“改斜归正”（斜转直），因此可以结合正方形四条边相等的特性去构造三角形全等。（K型全等）1、当点M落在抛物线的对称轴上时，可通过过点P作PM⊥直线x=1于点E，作PF⊥x轴于点F，构造△PME≌△PBF，进而利用点P坐标表示线段PE、PF建立等量，解方程可求点P坐标；2、当点N落在抛物线对称轴上时，可通过过点P作PF⊥x轴于点F，设对称轴交x轴于点G，构造△PBF≌△BNG，结合点B坐标及对称轴表示线段BG，进而根据PF=BG得出点P纵坐标，代入抛物线解析式求得点P横坐标即可。上述方法是解决正方形存在性众多问题的一种，其它类型不再一一讲解，希望这种解决问题的方法能为同学们带来启迪，在今后解决正方形存在性问题时能很好的结合正方形的特殊性质顺利解决问题。

题型一：根据正方形的基础边角性质讨论存在性问题例1.（18·成华二诊）如图，抛物线与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

过关检测1.如图，点是轴上的点，线段轴，是的中点，连接并延长交轴与点，二次函数的图象经过，，的三点，与轴的另一交点为．（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）求二次函数的表达式；（3）在线段上有动点（不与，重合），过作轴交直线于，以为边在的右侧作正方形，当点在抛物线上时，求点的坐标．

2.如图，矩形的两边在坐标轴上，点的坐标为，抛物线过点，两点，且与轴的一个交点为，点是线段上的动点，设．（1）请直接写出、两点的坐标及抛物线的解析式；（2）点是轴上的动点，过点作，交于点，作，交于点，当四边形为正方形时，求的值．

题型二：确定一个点，其余点有限制，结合正方形四条边相等的特性去构造三角形全等例2.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）若点是轴上方抛物线上的动点，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点或恰好落在轴上时，请直接写出点的横坐标．

过关检测1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，已知点，，．（1）求此抛物线的解析式．（2）点是直线上方的抛物线上一动点，（不与点、重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点．①动点在什么位置时，的周长最大，求出此时点的坐标；②连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的点的坐标．（结果保留根号）

例3.给定一个函数，如果函数的图象上存在一个点，它的横、纵坐标相等，那么这个点叫做给定函数的不动点．（1）求一次函数的不动点坐标；（2）如图1，二次函数的两个不动点分别为、（点在点的左侧），将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（3）如图2，二次函数的两个不动点的坐标分别为，．①求，的值；②若为一次函数的不动点，以线段为边向下作正方形．当，两点中只有一个点在二次函数的图象上时，直接写出的值．

过关检测1.如图，已知二次函数的图象经过点，顶点为，一次函数的图象交轴于点，是抛物线上一点，点关于直线的对称点恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与轴交于点．（一定两限制）（1）求二次函数的表达式；（2）求点的坐标；（3）若点是第二象限内抛物线上一点，关于抛物线的对称轴的对称点是，连接，点是线段上一点，点是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点的坐标．

例4.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

过关检测1.如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点、点，抛物线经过点．（1）求点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点与点（点、除外）使四边形为正方形？若存在求出点、两点坐标，若不存在说明理由．

学习任务1.如图，已知点、，是轴的负半轴上一点，且，抛物线经过、、三点．

（1）此抛物线的关系式．抛物线解析式：

（2）是对称轴右侧的抛物线上一点，是平面内一点，是否存在这样的点、使以、、、所构成的四边形是以为边的矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图1，已知直线，分别与轴、轴交于点、两点，为在一象限内的一点，且，抛物线过、两点，且与轴的另一交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若抛物线的顶点为，为直线上的一动点，当值最大时，求此时点的坐标及的最大值；（3）如图3，若点为轴上一点，点为平面内一点，且满足以点、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．

3.已知二次函数的图象经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求该二次函数的解析式；（2）作轴的平行线，交于，两点（点在点的左边），过，两点作轴的垂线，垂足分别为点，．当以，，，为顶点的四边形是正方形时，求点的坐标．

4.（18·天府新区二诊）如图，在平面直角坐标系xOy中，把抛物线y＝x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为M；（1）写出h、k的值以及点A、B的坐标；（2）点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P的坐标．（不写过程）

5.（17·金牛一诊）如图，在正方形OABC中，OC＝4，点D为边AB的中点，分别以OC、OA所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，DE⊥CD，交y轴与点E，连接CE．（1）求经过O、C、D三点的抛物线的表达式；（2）平移（l）中的抛物线，使抛物线的顶点P始终在直线CD上，平移后的抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点M在y轴，点N在平面直角坐标系中，当以P、Q、M、N四点为顶点的四边形是正方形时，求此时M点坐标．2024成都中考数学二轮复习专题二次函数--矩形和正方形专项训练（解析版）目标层级图

课中讲解一.矩形的存在性问题内容讲解例题：抛物线与x轴交于A、B两点，（点A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是对称轴上一点，点Q为平面内任意一点，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由。类比平行四边形存在性问题的解法，解决问题时仍考虑分两类情况：定线段AC为边②定线段AC为对角线。由矩形的性质可知，矩形的四个角都是直角，结合这一特性，可以考虑使用“两线一圆”（参考直角三角形存在性问题）的构图方式，准确做出图形，然后依据图形特征设计方案求解。1.当AC为边时，利用“两线”构图方式准确确定点P位置，此时图形中出现“斜直角”，可考虑“改斜归正”，构造相似，利用相似三角形性质转换线段OA、OC长，得出点P坐标，进而利用平移得出点Q坐标；（这里还有其它解决办法，不再叙述，请思考）当AC为对角线时，利用“一圆”构图方式准确确定点P位置，图形之中仍有“斜直角”的存在，利用“改斜归正”的方法构造相似，结合相似三角形的性质，把A、C、P三点坐标转化线段长并建立方程，然后解方程可得点P坐标，再次利用点的平移求出点Q坐标。矩形存在性问题的这种解决思路，方法比较简单，需要在平行四边形基础上利用“两线一圆”构图，然后设计求解方案。题型1：固定一条边，设点坐标和K型相似列方程例1．如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．解：（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．设抛物线的解析式是，则，解得，所以所求抛物线的解析式是．（2）由（1）可计算得点，．过点作，垂足为．当运动到时刻时，，．根据中心对称的性质，，所以四边形是平行四边形．所以．所以，四边形的面积．因为运动至点与点重合为止，据题意可知．所以所求关系式是，的取值范围是．（3），．所以时，有最大值．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形能形成矩形．由（2）知四边形是平行四边形，对角线是，，所以当时四边形是矩形，所以．所以，所以．解之得，（舍．所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．过关检测1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；（2）点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值；（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）令，则，解得，点在点的左侧，，如图1，作轴于，，，，，，，点的横坐标为4，代入得，，，把、坐标代入得，解得，直线的函数表达式为．（2）如图1，过点作轴于点设点，，，则，解得：，，，，，有最大值，；（3）令，即，解得，，，，抛物线的对称轴为，设，①若是矩形的一条边，由知，可知点横坐标为，将代入抛物线方程得，，则，四边形为矩形，，，，，，即，，，．②若是矩形的一条对角线，则线段的中点坐标为，，，，则，四边形为矩形，，，，，，，解得，，，．综上可得，点的坐标为，．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BD，点P在抛物线的对称轴上，以Q为平面内一点，以点P、B、D、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由；【解答】解：（1）由题意，解得，抛物线的解析式为．（2）如图1中，当为矩形的边时，直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，可得，．当为矩形的对角线时，设，的中点，由，可得，解得或，，或．，要使四边形能成为矩形，满足条件的点坐标为或．．综上所述，满足条件的的坐标为或或或．．（3）设，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，．①点在第二象限显然不可能，当点在第三象限时，如图2中，作于．，，，，，或0．或（舍弃）②当点在轴上时，可得；③当点在第一象限时，同法可得，整理得：，或（舍弃），，，④当点在第四象限时，不存在，综上所述，满足条件的点坐标或或，．题型2：固定一个点，其他两个点或者三个点有限制条件例2.已知抛物线经过点，顶点为，对称轴是直线．（1）求抛物线的函数表达式和顶点的坐标；（2）如图1，抛物线与轴交于点，连接，过作轴于点，是线段上的动点（点不与，两点重合）；若直线将四边形分成面积比为的两部分，求点的坐标；如图2，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线经过点，对称轴是直线，，解得：，抛物线的函数表达式为：，，顶点的坐标为；（2），时，，则点的坐标为，，，，四边形是矩形，设点的坐标为，直线的函数表达式为：，直线交轴于点，如图1所示：则，解得：，直线的函数表达式为：，令，则，点的坐标为，直线将四边形分成面积比为的两部分，点在线段上，点不与点重合，，，，，，，，，，，分两种情况：①，即，解得：，点的坐标为：，；②，即，解得：，点的坐标为：，；综上所述，点的坐标为：，或，；存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上；理由如下：由题意得：满足条件的矩形在直线的下方，过点作于，则，如图2所示：设点的坐标为：，则，，四边形与四边形都是矩形，，，，，，，，，，在和中，，，，，即，，，，，，，即，整理得：，解得：或0，当时，点与点重合，舍去，，当点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上，此时的长为．过关检测1.已知：直线与轴和轴分别交于、两点，抛物线经过点、，点是抛物线与轴的另一个交点．

（1）求抛物线的解析式及的坐标；（2）在（1）的条件下，直线与抛物线交于、两点，问：平面内是否存在一点，使得以、、、四点构成的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．2.在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形．（1）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；（2）在（1）的情况下，点是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时的坐标；（3）在（1）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、、、构成平行四边形时，求点的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标．解：（1）平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形，且点的坐标是，点的坐标为：，点、的坐标分别是、，抛物线经过点、、，设抛物线的解析式为：，，解得：，此抛物线的解析式为：；（2）连接，设直线的解析式为：，，解得：，直线的解析式为：，设点的坐标为：，则，当时，的面积最大，最大值，的坐标为：；方法二：过点做轴垂线和交于一点，把分成两个共底三角形，然后以为底，可以得出的长就是点纵坐标减去点纵坐标，即题目当中的，另外两个三角形的高之和就等于4，这是一种面积问题的常用方法．（3）设点的坐标为，当，，，构成平行四边形时，平行四边形中，点、的坐标分别是、，点的坐标为，点坐标为，为抛物线上一动点，为轴上的一动点，①当为边时，，，，，当时，解得：，，，；当时，解得：，，，，，；②当为对角线时，，，此时与，重合；综上可得：点的坐标为：，，，，，；如图2，当这个平行四边形为矩形时，点的坐标为：或．

题型3：矩形相关的代数问题例1．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，顶点坐标为．（1）求抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）如图1，点为抛物线上一点，点不与点重合，当时，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，作轴与点，得到矩形，求矩形的周长的最大值；解：（1）抛物线轴交于，两点抛物线表达式为：，顶点坐标．（2）点为抛物线上一点，且对称轴为直线，轴①当时，在左边，当时，最大值②当时，在右边，当时，最大值综上所述，矩形周长的最大值是（3）存在满足条件的点．①若，则点，直线解析式为：直线解析式为：当时，②若，则直线解析式为：当时，③若，取中点，连接，设解得：，或综上所述，使以点、、为顶点的三角形是直角三角形的点坐标有，，，过关检测1.如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴、轴分别交于点和点，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）点在抛物线上，且点的横坐标为．轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图2）．若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值.解：（1）直线经过点，，直线的解析式为，直线经过点，，抛物线经过点和点，，解得，抛物线的解析式