2024成都中考数学二轮复习微专题 利用两点之间线段最短解决最值问题（含答案）

2024成都中考数学二轮复习微专题利用两点之间线段最短解决最值问题模型一“一线两点”型(一个动点＋两个定点)类型一线段和最小值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：将两定点同侧转化为异侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P′.模型应用1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6eq\r(3)，BD＝6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD＋PE的最小值为________．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是矩形内一动点，满足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，则PA＋PB的最小值为________．第2题图模型迁移3.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A(3，5)、B(a，－3)两点，与x轴交于点C.第3题图(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)若点P为y轴上的动点，当PB＋PC取最小值时，求△BPC的面积．4.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．第4题图类型二线段差最大值问题模型分析问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即AB的长，连接AB并延长，与直线l交于点P，点P即为所求．模型演变问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题，同“模型分析”即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′并延长与直线l交于点P.模型应用5.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，点P是EF上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．第5题图6.如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，点E是AD的中点，点P是AC上一动点，则BP－EP的最大值为________．第6题图7.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一动点，则PM－PN的最大值为________．第7题图模型迁移8.已知抛物线y＝x2－2x－8与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P是抛物线对称轴上的一个动点，当|PB－PC|有最大值时，求点P的坐标．模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)类型一两条线段的和最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM＋MN的值最小．解题思路：要使PM＋MN的值最小，设法将PM、MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短即可解决．作点P关于OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M、N.模型应用9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ的最小值为________．第9题图10.如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠A＝120°，点M，N分别为BD，CD上的动点，则CM＋MN的最小值为________．第10题图类型二周长最小值问题模型分析问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小．解题思路：要使△PMN的周长最小，即PM＋MN＋PN的值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可解决．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″交OA、OB于点M、N.模型应用11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AB上一定点，点E，F分别为边AC，BC上的动点，当△DEF的周长最小时，则∠FDE＝________．第11题图12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上，且AD＝4，点E，F分别为边AC，AB上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第12题图模型三“一定长＋两定点”型类型一异侧线段和最小值问题(“造桥”问题)模型分析问题：已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小．解题思路：要求AM＋MN＋NB的最小值，MN为定值，即要求AM＋NB的最小值，通过平移构造平行四边形，将AM、NB转化到同一条直线上．将点A向下平移d个单位到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1于点M.模型应用13.如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ＝2eq\r(41).在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA＋AB＋BQ最小，则PA＋BQ＝________．第13题图类型二同侧线段和最小值问题(平移型问题)模型应用14.如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E，F在对角线AC上(点E在点F的左侧)，且EF＝1，则DE＋BF的最小值为________．第14题图15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，BC＝12，∠ABC＝60°，点E、F是AD边上的动点，且EF＝2，则四边形BEFC周长的最小值为________．第15题图模型迁移16.如图，已知点A(3，1)，B(1，0)，PQ是直线y＝x上的一条动线段，且PQ＝eq\r(2)(点Q在点P的下方)，当AP＋PQ＋QB取得最小值时，求点Q的坐标．第16题图参考答案1.3eq\r(3)【解析】如解图，连接DE，则PD＋PE≥DE，设DE交AC于点M，当点P与点M重合时PD＋PE取得最小值，且最小值为DE.∵在菱形ABCD中，AC＝6eq\r(3)，BD＝6，∴AO＝3eq\r(3)，OD＝3，AC⊥BD，∴AD＝eq\r(OA2＋OD2)＝6，∴AD＝BD＝AB，∴∠BAD＝60°，∵点E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴DE＝AD·sin60°＝3eq\r(3).第1题解图2.eq\r(41)【解析】如解图，设△PAB底边AB上的高为h，∵S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,3)AB·AD，∴h＝2，即h为定值，在AD上截取AE＝2，作EF∥AB，交CB于点F，故点P在直线EF上运动，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，交直线EF于点P，此时PA＋PB最小，即为A′B的长．由对称得AA′＝2AE＝4，∴A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝eq\r(42＋52)＝eq\r(41)，即PA＋PB的最小值为eq\r(41).第2题解图3.解：(1)把点A(3，5)代入y＝eq\f(m,x)可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(15,x)，把点B(a，－3)代入y＝eq\f(15,x)，可得a＝－5，∴B(－5，－3)．把点A(3，5)，B(－5，－3)代入y＝kx＋b，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3k＋b＝5,－5k＋b＝－3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝1,b＝2))，∴一次函数的表达式为y＝x＋2；(2)∵一次函数的表达式为y＝x＋2，令y＝0，则x＝－2，∴C(－2，0)，如解图，作点C关于y轴的对称点C′，则C′(2，0)，即CC′＝4，连接BC′交y轴于点P，此时PC＋PB有最小值，最小值为BC′，设直线BC′的表达式为y＝k′x＋b′，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5k′＋b′＝－3,2k′＋b′＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k′＝\f(3,7),b′＝－\f(6,7)))，则BC′的表达式为y＝eq\f(3,7)x－eq\f(6,7)，∴P(0，－eq\f(6,7))，即OP＝eq\f(6,7)，此时S△BPC＝S△BCC′－S△PCC′＝eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×4×eq\f(6,7)＝eq\f(30,7).第3题解图4.解：当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A坐标为(－3，0)，点B坐标为(1，0)．当x＝0时，y＝3，∴点C坐标为(0，3)．∵△PBC的周长为PB＋PC＋BC，BC为定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．∵点A，点B关于抛物线的对称轴l对称，∴连接AC，交l于点P，点P即为所求的点．∵AP＝BP，∴PB＋PC＋BC＝AC＋BC.∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC＝3eq\r(2)，BC＝eq\r(10)，∴△PBC周长的最小值为3eq\r(2)＋eq\r(10).5.3【解析】如解图，延长BA交EF于P′，当点P位于P′处时|PA－PB|的值最大，∴|PA－PB|的最大值为AB＝3.第5题解图6.eq\r(7)【解析】如解图，连接BE并延长交AC于点P′，此时BP－EP取得最大值为BE，在等边△ABC中，AD是中线，∴BD＝DC＝2，∴AD＝BD·tan60°＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，∵E为AD的中点，∴DE＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3).∴在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝eq\r(22＋（\r(3)）2)＝eq\r(7)，∴BP－EP的最大值为eq\r(7).第6题解图7.2【解析】如解图，以BD为对称轴作点N的对称点N′，连接MN′并延长交BD于点P，连接NP，根据轴对称性质可知PN＝PN′，∴PM－PN＝PM－PN′≤MN′，当P，M，N′三点共线时，PM－PN取得最大值，最大值为MN′的长，∵正方形的边长为8，∴AC＝eq\r(2)AB＝8eq\r(2)，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝4eq\r(2)，∵N为OA中点，∴ON＝2eq\r(2)，∴ON′＝CN′＝2eq\r(2)，∴AN′＝6eq\r(2)，∵BM＝6，∴CM＝AB－BM＝8－6＝2，∴eq\f(CM,BM)＝eq\f(CN′,AN′)＝eq\f(1,3)，∵∠MCN′＝∠BCA，∴△CMN′∽△CBA，∴∠CMN′＝∠CBA＝90°，∵∠N′CM＝45°，∴△N′CM为等腰直角三角形，∴MN′＝CM＝2，即PM－PN的最大值为2.第7题解图8.解：如解图，连接PA，则PA＝PB，当x＝0时，y＝x2－2x－8＝－8，则C(0，－8)，当y＝0时，x2－2x－8＝0，解得x1＝－2，x2＝4，则A(－2，0)，B(4，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴|PB－PC|＝|PA－PC|≤AC(当点A、C、P共线时取等号)，延长AC交直线x＝1于点P′，设直线AC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，把A(－2，0)，C(0，－8)代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2m＋n＝0,n＝－8))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4,n＝－8))，∴直线AC的解析式为y＝－4x－8，当x＝1时，y＝－4－8＝－12，即P′(1，－12)，∴当|PB－PC|有最大值时，点P的坐标为(1，－12)．第8题解图9.eq\f(24,5)【解析】如解图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ＝PM，∴PC＋PQ＝PC＋PM＝CM，根据垂线段最短可知，此时PC＋PQ有最小值，即为CM，∵AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CM＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CM＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(6×8,10)＝eq\f(24,5).第9题解图10.3eq\r(3)【解析】如解图，过点A作CD的垂线，垂足为N，与DB的交点记为M，∵四边形ABCD为菱形，∴点A与点C关于对角线BD对称，∴AM＝CM，∴CM＋MN＝AM＋MN＝AN，根据垂线段最短可知，此时CM＋MN有最小值，最小值为AN.∵AB＝6，∠A＝120°，∴∠ADC＝60°，AD＝6，∴AN＝AD·sin60°＝3eq\r(3)，∴CM＋MN的最小值为3eq\r(3).第10题解图11.90°【解析】如解图，作D关于AC的对称点D′，关于BC的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交BC于点F，此时，△DEF的周长最小，最小为D′D″，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝45°，DD′⊥AC，DD″⊥BC，∴∠BDD′＝45°，∴∠D′DD″＝135°，∴∠D′＋∠D″＝45°，∵ED′＝ED，DF＝D″F，∴∠D′＝∠D′DE，∠D″＝∠D″DF，∴∠D″DF＋∠D′DE＝45°，∴∠FDE＝90°.第11题解图12.4【解析】如解图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于点E，交AB于点F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝30°，∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝∠D′AC，∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，∵AD′＝AD，AD″＝AD，∴AD′＝AD″，∴△AD′D″是等边三角形，∴D′D″＝AD′＝AD＝4，∴△DEF的周长的最小值为4.第12题解图13.10【解析】如解图，过点P作PF⊥b交a于点E，交b于点F，在PF上截取PC＝4，连接QC交b于点B，过点B作BA⊥a于点A，此时PA＋AB＋BQ最短．过点Q作QD⊥PF于点D.在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝2eq\r(41)，PD＝10，∴DQ＝eq\r(PQ2－PD2)＝8，CD＝PD－PC＝6，∵AB＝PC＝4，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA＝BC，∴PA＋BQ＝CB＋BQ＝QC＝eq\r(DQ2＋CD2)＝10.第13题解图14.eq\r(10)【解析】如解图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于点F，连接BD，∵DM∥AC，∴∠BDM＝90°，∵DM＝EF，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE＋BF＝FM＋FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE＋FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3，在Rt△BDM中，BM＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，∴DE＋BF的最小值为eq\r(10).第14题解图15.14＋2eq\r(37)【解析】如解图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B′，作点B′关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F