2024成都中考数学第一轮专题复习之专题一 反比例函数与一次函数综合题 教学课件

专题一反比例函数与一次函数综合题1.(2023南充)如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(－1，6)，B(

，a－3)，与x轴交于点C，与y轴交于点D.(1)求反比例函数与一次函数的解析式；第1题图解：(1)设反比例函数、一次函数的解析式分别为y＝

(n≠0)，y＝kx＋b(k≠0).将点A(－1，6)代入y＝

中，得，n＝－6，∴反比例函数的解析式为y＝－

.∵点B在反比例函数的图象上，∴

(a－3)＝－6，第1题图解得a＝1，∴B(3，－2).∵点A(－1，6)，B(3，－2)在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴解得∴一次函数的解析式为y＝－2x＋4；(2)点M在x轴上，若S△OAM＝S△OAB，求点M的坐标．第1题图(2)设点M(m，0)，由(1)得，一次函数的解析式为y＝－2x＋4，交x轴于点C(2，0).S△OAB＝S△OAC＋S△OCB＝

×2×6＋

×2×2＝8，∴S△OAM＝

×|m|×6＝8，解得m＝±

，∴点M的坐标为(

，0)或(－

，0).2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝

(x＜0)的图象交于A(－2，1)，B(n，2)两点．(1)求反比例函数的表达式和n的值；第2题图

解：(1)把点A(－2，1)代入y＝

中，得1＝

，解得k＝－2，∴反比例函数的表达式为y＝－

，将点B(n，2)代入y＝－

中，得n＝－1；第2题图(2)将直线y＝x＋b向下平移m个单位，当平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点时，求m的值．(2)将点A(－2，1)代入y＝x＋b中，解得b＝3，∴直线的表达式为y＝x＋3，将直线向下平移m个单位长度得新直线表达式为y＝x＋3－m.当平移后的直线与反比例函数图象只有一个交点时，联立得第2题图即x＋3－m＝－

只有一个解，∴x2＋(3－m)x＋2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(3－m)2－4×1×2＝0，解得m＝3－2或m＝3＋2(舍去)，∴m＝3－2.3.(2023双流区二诊节选)如图，已知直线y＝x－2与x轴交于A点，与y轴交于B点，P(m，n)为双曲线y＝－

(x＞0)上一动点，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D，射线PC交直线AB于点E，射线PD交直线AB于点F.(1)当DF＝PC时，求m的值；第4题图(1)解：由题意得，点P(m，－

)，则点F(2－

，－

).∵DF＝PC，x>0，可知m>0，即2－

＝

，解得m＝2；第4题图(2)连接OE，OF，求证：∠EOF的度数为45°.(2)证明：∵点E，F在直线AB上，设点P(m，n)，∴点E，F的坐标分别为(m，m－2)，(n＋2，n)，由点O，E，F，P的坐标得，OF2＝(n＋2)2＋n2＝2n2＋4n＋4，EF＝

＝

(m－n－2)，∵点A，B为y＝x－2与x轴，y轴的交点，点P(m，n)在反比例y＝－

图象上，第4题图∴A(2，0)，B(0，－2)，∴OA＝2，OB＝2，mn＝－2，AF＝

＝

×|n|，则EF·AF＝

(m－n－2)××|n|＝－2n(m－n－2)＝2n2－2mn＋4n＝2n2－2×(－2)＋4n＝2n2＋4n＋4＝OF2，即

＝

.∵∠OFA＝∠EFO，∴△OFA∽△EFO，∴∠FOE＝∠FAO.第4题图∵OA＝OB，∠BOA＝90°，∴∠FAO＝45°，∴∠EOF的度数为45°.5.在平面直角坐标系xOy中，设函数y1＝k1x＋2＋k1，函数y2＝

(k1，k2是常数，k1≠0，k2≠0).(1)若函数y1和y2的图象相交于点A(－1，m)，B(2，n)，①求函数y1，y2的表达式；解：(1)①函数y1＝k1x＋2＋k1的图象过点A(－1，m)，将A(－1，m)代入y1中，得m＝2，∴点A(－1，2).∵函数y2＝

的图象过点A(－1，2)，∴k2＝－1×2＝－2，∴反比例函数的表达式为y2＝－

.当x＝2时，y＝－1，∴点B(2，－1).把点B(2，－1)代入函数y1＝k1x＋2＋k1中，得2k1＋2＋k1＝－1，∴k1＝－1，∴一次函数的表达式为y1＝－x＋1；②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；②∵一次函数的表达式为y1＝－x＋1，反比例函数的表达式为y2＝－

，y1与y2的图象相交于点A(－1，2)，点B(2，－1)，∴当y1＜y2时，x的取值范围为－1＜x＜0或x＞2；(2)若点C(1，p)在函数y1的图象上，点C先关于x轴对称得点C′，再向左平移2个单位长度得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求p的值．(2)∵C(1，p)，∴点C关于x轴对称得点C′(1，－p)，再向左平移2个单位长度得点D(－1，－p).∵点D恰好落在函数y1的图象上，∴－p＝－k1＋2＋k1，∴p＝－2.6.如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝

的图象交于点A(a，2)，C，与x轴交于点B(2，0)，点P为x轴上一动点．(1)求b和k的值；第6题图解：(1)将点B(2，0)代入函数y＝x＋b中，得0＝2＋b，解得b＝－2，则一次函数的表达式为y＝x－2；将点A(a，2)代入y＝x－2中，得2＝a－2，解得a＝4，即点A(4，2).将点A(4，2)代入y＝

中，得k＝4×2＝8，即反比例函数的表达式为y＝

，即b＝－2，k＝8；(2)连接AP，CP，OA，OC，若S△APC＝4S△AOC，求点P的坐标；第6题图∟∟DE(2)如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E.联立

，解得

或

∴A(4，2)，C(－2，－4)，∴CD＝4，AE＝2.设P(x，0)，第6题图∟∟DE∴PB＝|2－x|.∵S△APC＝4S△AOC，即S△APB＋S△CPB＝4(S△AOB＋S△BOC)，∴

PB·(AE＋CD)＝4×

OB·(AE＋CD)，∴

PB＝2OB，即

×|2－x|＝4，解得x＝－6或x＝10，∴点P的坐标为(－6，0)或(10，0)；7.(2023高新区二诊)在平面直角坐标系xOy中，P是反比例函数y＝

(x＞0)在第一象限图象上的一点．(1)如图，过点P的直线y＝

x＋1分别与x轴，y轴交于点A，B，且AB＝BP.①求反比例函数的表达式；第7题图∟C解：(1)①如图，过点P作PC⊥x轴于点C.∵PC⊥x轴，OB⊥OA，∴PC∥OB，∴△AOB∽△ACP.第7题图∟C∵AB＝BP，∴

＝

＝

＝

.∵点A，B是直线y＝

x＋1分别与x轴，y轴的支点，∴A(－2，0)，B(0，1)，∴OA＝2，OB＝1，∴PC＝2OB＝2，AC＝2OA＝4，∴OC＝AC－OA＝4－2＝2，∴P(2，2).将P(2，2)代入反比例函数y＝

，得k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝

；②点D为x轴正半轴上一点，点E在反比例函数图象上，若以点B，D，E，P为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标；②由①可得B(0，1)，P(2，2)，设D(a，0)，E(

，b)，当点B，D，E，P组成平行四边形BDEP时，∵yB＋yE＝yD＋yP，∴1＋b＝0＋2，∴b＝1，∴E(4，1)；当点B，D，E，P组成平行四边形BDPE时，第7题图∟C第7题图∟C∵yB＋yP＝yD＋yE，∴1＋2＝0＋b，∴b＝3，∴E(

，3).综上所述，点E的坐标为(4，1)或(

，3)；(2)过定点P的直线y＝mx－3m＋2交反比例函数在第一象限的图象于另一点Q，交y轴于点M，连接OP，OQ，设△POQ的面积为S1，△MOP的面积为S2，若2S1＝S2，求m的值．第7题图(2)∵直线y＝mx－3m＋2＝m(x－3)＋2过定点(3，2)，∴点P的坐标为(3，2)，代入反比例函数y＝

，得k＝6.①如解图②，当点Q在线段MP上时，作QK⊥y轴于点K，PL⊥y轴于点L.第7题解图②∵S△MOP＝2S△POQ，∴MQ＝PQ.第7题解图②∵QK⊥y轴，PL⊥y轴，∴QK∥PL，∴△MKQ∽△MLP，∴

＝

＝

，∴KQ＝

PL＝

，即xQ＝

，将x＝

代入y＝

中，得y＝4，∴Q(

，4)，将Q(

，4)代入直线y＝mx－3m＋2，得m＝－

；第7题解图③②如解图③，当点Q在线段MP的延长线上时，作QK⊥y轴于点K，PL⊥y轴于点L，∵S△MOP＝2S△POQ，∴MP＝2PQ，∵QK⊥y轴，PL⊥y轴，∴QK∥PL，∴△MKQ∽△MLP，∴

＝

＝

，∴KQ＝

PL＝

，即xQ＝

，第7题解图③将x＝

代入y＝

中，得y＝

，∴Q(

，

)，将点Q(

，

)代入直线y＝mx－3m＋2，得m＝－

.综上所述，m的值为－

或－

.

解题关键点根据题干条件画出解图后，需注意点Q的位置，点Q在MP上或者在MP的延长线上．8.(2023锦江区二诊)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x＋b的图象与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数y＝

(x＞0)交于点B(1，m).(1)求反比例函数的表达式；第8题图解：(1)将点A代入y＝2x＋b中，得0＝－4＋b，解得b＝4，∴一次函数的表达式为y＝2x＋4，当x＝1时，y＝2x＋4＝6，则点B(1，6)，将点B代入y＝

(x>0)中，得k＝1×6＝6，即反比例函数的表达式为y＝

；(2)点M为反比例函数在第一象限图象上异于点B的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y＝2x＋b图象于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；第8题图(2)设点N的坐标为(t，2t＋4)，则点M(t，

).∵△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在