2024成都中考数学第一轮专题复习之专题五 类型二 面积问题 教学课件

第一轮专题复习之专题五类型二面积问题类型二面积问题(8年4考：2020.25，2020.28，2018.28，2016.28)二阶

综合训练1.(2023东营)如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上．设B(t，0)，当t＝2时，BC＝4.(1)求抛物线的函数表达式；第1题图解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝ax(x－10)(a≠0).∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为(2，－4).将点C坐标代入表达式，得2a(2－10)＝－4，解得a＝

，∴抛物线的函数表达式为y＝

x2－

x；第1题图(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？第1题图(2)由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t.当x＝t时，点C的纵坐标为

t2－

t，∴BC＝－

t2＋

t，∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝2[(10－2t)＋(－

t2＋

t)]＝－

t2＋t＋20＝－

(t－1)2＋

.∵－

<0，0<t<10，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为

；(3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．第1题图(3)如解图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ.第1题解图∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P.由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH.∵四边形ABCD是矩形，∴P是AC的中点，∴PQ＝

OA.当t＝2时，点A的坐标为(8，0)，∴CH＝PQ＝

OA＝4，∴抛物线平移的距离是4.第1题解图2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且BO＝CO＝5AO，D是抛物线上的一点．(1)求抛物线的函数表达式；第2题图(1)解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋5与y轴交于点C，∴OC＝5，∵BO＝CO＝5AO，∴AO＝1，BO＝5，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(5，0)，将A(－1，0)，B(5，0)代入y＝ax2＋bx＋5中，得解得

∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x＋5；第2题图(2)如图①，点D在点B右侧，过点D作DP⊥x轴于点P，过点C作CG⊥DP交抛物线于点H，交DP的延长线于点G，求证：PG·DG＝5CG·GH；第2题图(2)证明：由(1)知，OB＝5，设P(m，0)，则OP＝m，∵点P在B点右侧，∴m＞5.∵DP⊥x轴，∴D(m，－m2＋4m＋5)，∴PD＝m2－4m－5.∵∠COB＝90°，GC⊥OC，GP⊥OP，∴四边形COPG为矩形，由(1)知OC＝5，∴PG＝OC＝5，CG＝OP＝m，令y＝5，则5＝－x2＋4x＋5，解得x＝0(舍去)或x＝4，∴H(4，5)，∴CH＝4，∴GH＝CG－CH＝m－4.∵DG＝5＋m2－4m－5＝m2－4m.∴PG·DG＝5(m2－4m)＝5m2－20m，5CG·GH＝5m·(m－4)＝5m2－20m，∴PG·DG＝5CG·GH；第2题图(3)如图②，当点D在直线BC上方时，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，DN，CD，求△CDN面积的最大值．第2题图(3)解：如图，过点D作y轴的平行线，交BC于点M，连接DB，由(1)知，点C(0，5)，点B(5，0)，M根据点C，B坐标易得直线BC的函数表达式为y＝－x＋5，设D(x，－x2＋4x＋5)，则M(x，－x＋5)，∴DM＝－x2＋4x＋5－(－x＋5)＝－x2＋5x，∴S△BCD＝

DM(xB－xC)＝－

x2＋

x.∵抛物线的对称轴为直线x＝－

＝2，∴N(2，0)，∴S△BCN＝

yC(xB－xN)＝

×5×3＝

，S△BND＝

yD(xB－xN)＝－

x2＋6x＋

，∴S△CDN＝S△BCD＋S△BCN－S△BND＝－

x2＋

x＋

－(－

x2＋6x＋

)＝－x2＋

x＝－(x－

)2＋

.∵－1＜0，且0＜x＜5，∴当x＝

时，S△CDN取最大值，最大值为

.第2题图M

解题关键点设出点D的坐标，分别表示出△BCD，△BCN，△BND的面积，通过面积和差关系表示出△CDN的面积，最后根据二次函数的性质求最值．面积问题3.(2022成都B卷25题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx－3(k≠0)与抛物线y＝－x2相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B′.(1)当k＝2时，求A，B两点的坐标；解：(1)当k＝2时，直线的表达式为y＝2x－3，联立

解得或

∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－3，－9)，点B的坐标为(1，－1)；(2)连接OA，OB，AB′，BB′，若△B′AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；(2)设直线与y轴交于点C(0，－3)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则B′(－xB，yB)，如解图①，当k>0时，第3题解图∵S△AOB＝

OC·(xB－xA)，S△B′AB＝

BB′·(yB－yA)，且S△AOB＝S△B′AB，∴

OC·(xB－xA)＝

BB′·(yB－yA)，∵BB′＝2xB，∴

(xB－xA)＝xB·(yB－yA)，则

＝

＝k.∴直线AB的表达式为y＝

x－3，将B(xB，yB)代入，得yB＝

－3＝－

，∵A，B是直线与抛物线的交点，∴－

＝－

，解得xB＝

或xB＝－

(舍去).将B(

，－

)代入y＝kx－3中得，－

＝k·

－3，解得k＝

；第3题解图如解图②，当k<0时，同理可得yB＝－

，把yB＝－

代入抛物线表达式可得－

＝－

，解得xB＝或xB＝－

(舍去)，将B(

，－

)代入y＝kx－3得，－

＝k·

－3，解得k＝－

，综上所述，当S△OAB＝S△B′AB时，k＝

或－

；第3题解图

解题关键点需分k＞0和k＜0两种情况求解．(3)试探究直线AB′是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．(3)直线AB′经过定点(0，3)，设直线AB′的表达式为y＝k1x＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，B′(－xB，yB)，则k1＝

＝＝＝|xA－xB|＝xB－xA，将A(xA，－

)代入y＝k1x＋b，得－

＝(xB－xA)xA＋b，整理得，b＝－xAxB.∵y＝－x2与y＝kx－3交于A，B两点，联立

整理得，x2＋kx－3＝0.则xA＋xB＝－k，xA·xB＝－3，∴b＝－xAxB＝3，∴直线AB′的表达式为y＝k1x＋3，∴不论k1值如何变化，直线AB′恒经过点(0，3).4.(2023遂宁)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝

x2＋bx＋c经过点O(0，0)，对称轴过点B(2，0)，直线l过点C(2，－2)且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M，N，交直线l于点Q，其中点M，Q在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；第4题图解：(1)由题意得

解得

∴抛物线的解析式为y＝

x2－x；(2)如图①，当BM∶MQ＝3∶5时，求点N的坐标；第4题图(2)如图，过点M，Q分别作MD⊥x轴于点D，QH⊥x轴于点H，∟DH∴DM∥HQ，∴△BDM∽△BHQ，∴

＝

，即

＝

，∴DM＝

，∴点M的纵坐标为－

，代入y＝

x2－x中，得－

＝

x2－x，解得x＝1或x＝3，∵点M在抛物线对称轴的左侧，∴x＝1，∴M(1，－

)，设直线BM的解析式为y＝kx＋b1，将点M(1，－

)和点B(2，0)代入，得

解得

∴直线BM的解析式为y＝

x－

，联立

解得

或

∵点N在对称轴的右侧，∴点N的坐标为(6，3)；第4题图∟DH(3)如图②，当点Q恰好在y