2024成都中考数学第一轮专题复习之专题五 类型一 线段问题 教学课件

专题五二次函数综合题类型一线段问题(2023.25)二阶

综合训练1.(2023锦江区二诊节选)如图，已知一次函数y＝－x＋3的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点M在直线AB上，设点M横坐标为m.(1)如图①，当m＝3时，求此时抛物线y＝－x2＋bx＋c的函数表达式；第1题图解：(1)在y＝－x＋3中，令x＝3，得y＝0，∴M(3，0)，第1题图∴抛物线y＝－x2＋bx＋c的顶点M的坐标为(3，0)，∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－3)2＋0＝－x2＋6x－9；(2)如图②，当m＝0时，此时的抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝kx＋2相交于D，E两点，连接AD，AE并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究OP·OQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．第1题图(2)OP·OQ为定值，定值为9，理由如下：如解图，第1题解图由m＝0，把x＝0代入y＝－x＋3得y＝3，∴抛物线顶点M的坐标为(0，3).∵直线y＝－x＋3与y轴交于点A，∴A(0，3)，∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋3，联立得－x2＋3＝kx＋2，即x2＋kx－1＝0，∴xD＋xE＝－k，xD·xE＝－1.设直线AD的表达式为y＝k1x＋3，解得

或联立∴xD＝－k1.第1题解图设直线AE的表达式为y＝k2x＋3，解得

或联立∴xE＝－k2，∴k1·k2＝(－xD)·(－xE)＝xD·xE＝－1，在y＝k1x＋3中，令y＝0得x＝－

，∴P(－

，0)，第1题解图同理可得Q(－

，0)，∴OP＝|－

|，OQ＝|－

|，∴OP·OQ＝|－

|·|－

|＝

＝

＝9.第1题解图解：(1)∵直线y＝－2x＋8与抛物线y＝－x2＋bx＋c

交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上，∴令x＝0，则y＝8；令y＝0，则x＝4，∴B(4，0)，A(0，8).将B(4，0)，A(0，8)两点代入y＝－x2＋bx＋c中，2.(2023高新区二诊)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－2x＋8与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．(1)求抛物线的函数表达式；第2题图得解得∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋8；第2题图(2)点C是直线AB上方抛物线上一点，过点C分别作x轴，y轴的平行线，交直线AB于点D，E.①当DE＝

AB时，求点C的坐标；(2)①∵点C是直线AB上方抛物线上一点，且CD∥x轴，CE∥y轴，∴△CDE∽△OBA，∴

＝

.设点

C(t，－t2＋2t＋8)(0＜t＜4)，则点E(t，－2t＋8)，∴CE＝－t2＋2t＋8－(－2t＋8)＝－t2＋4t.第2题图∵A(0，8)，∴OA＝8.∵DE＝

AB，

＝

＝

，∴

＝

，即－t2＋4t－3＝0，解得t1＝1，t2＝3，∴点C的坐标为(1，9)或C(3，5)；第2题图

解题关键点根据CD∥x轴，CE∥y轴，可得到△CDE∽△OBA，再结合给出的等量关系求解．②点M为线段DE中点，当点C，M，O三点在同一直线上时，求

的值．第2题图②由①知，∠DCE＝90°，如图，点M为线段DE的中点，点C，M，O三点在同一直线上，M∴DM＝CM＝EM，∴∠MDC＝∠MCD，∠MCE＝∠MEC.∵CE∥y轴，CD∥x轴，∴∠MCE＝∠MOA，∠MEC＝∠MAO，∠MDC＝∠MBO，∠MCD＝∠MOB，∴∠MOA＝∠MAO，∠MBO＝∠MOB，∴AM＝OM，BM＝OM，∴AM＝BM，∴点M是AB的中点，∴M(2，4)，∴直线OM的函数表达式为y＝2x，整理，得x2＝8，解得x＝±2.设点C(t，－t2＋2t＋8)，则点E(t，－2t＋8)，联立第2题图M∵0＜t＜4，∴t＝2，∴CE＝－t2＋4t＝8－8.∵CE∥y轴，∴△CEM∽△OAM，∴

＝

＝

＝

－1.第2题图M线段问题①3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，C，与y轴交于点B，直线y＝－x＋3经过点A，B，点P为抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数表达式；第3题图解：(1)把y＝0代入y＝－x＋3中，得x＝3，∴A(3，0)，把x＝0代入y＝－x＋3，得y＝3，∴B(0，3).∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，B，∴将A(3，0)，B(0，3)代入y＝x2＋bx＋c中，得

解得

∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；第3题图第3题图∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.∵对称轴∥y轴，∴∠HGA＝∠OAB＝45°.(2)若点P在第一象限内直线AB上方的抛物线上运动，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为点D，作PE垂直AB于点E，当PE＝

PD时，求点P的坐标；(2)如解图①，设对称轴交直线PE于点F，交直线AB于点G，交x轴于点H.第3题解图①∵PE⊥AB，PD⊥对称轴，∴∠HGA＝∠EGF＝∠EFG＝∠DFP＝∠DPF＝45°.∵PE＝

PD，∴点E与点G重合，PD＝DG.∵y＝x2－4x＋3＝

－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，设点P坐标为(m，m2－4m＋3)，则点D的坐标为(2，m2－4m＋3)，∴PD＝m－2，第3题解图①将x＝2代入y＝－x＋3得y＝1，∴G(2，1)，∴DG＝m2－4m＋3－1＝m2－4m＋2，∴m2－4m＋2＝m－2，即m2－5m＋4＝0，解得m1＝4，m2＝1(舍去)，∴点P的坐标为(4，3)；第3题解图①(3)点Q在抛物线对称轴上运动，当点P，Q关于直线AB对称时，求点Q的坐标．第3题图(3)设抛物线的对称轴与直线AB交于点G，与x轴交于点M，连接PG，PQ.如解图②，当点P在直线AB的上方时，第3题解图②∵QG∥y轴，∴∠QGA＝∠OBA＝45°，∵点P与点Q关于直线AB对称，∴AB垂直平分PQ，∴GQ＝GP，GA⊥QP，∴∠PGA＝∠QGA＝45°，∴∠QGP＝90°，∴PG∥OA，在△GAM中，∠MGA＝∠MAG＝45°，把x＝2代入y＝－x＋3中，得y＝1，∴G(2，1)，则MG＝1，∴点P的纵坐标为1，把y＝1代入y＝x2－4x＋3中，解得x1＝2＋

，x2＝2－

(舍去)，∴GP＝GQ＝

，∴QM＝

－1，∴点Q的坐标为(2，1－

).第3题解图②同理，如解图③，当点P在直线AB下方时，∵GM＝1，∴点P的纵坐标为1，把y＝1代入抛物线的解析式y＝x2－4x＋3中，解得x1＝2＋

(舍去)，x2＝2－

，∴GP＝GQ＝

，∴QM＝

＋1，∴点Q的坐标为(2，1＋

).综上所述，点Q的坐标为(2，1－

)或(2，1＋

).第3题解图③

解题关键点分点P在直线AB上方和AB下方两种情况讨论．线段问题②4.(2023金牛区模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与抛物线y＝

x2相交于A，B两点(点A在点B的左侧).(1)如图①，若A，B两点的横坐标分别是－1，2，求直线l的函数表达式；第4题图

解：(1)当x＝－1时，y＝

x2＝

，则点A(－1，

)，同理可得，点B(2，2)，将点A，B的坐标代入直线l的表达式中，得

解得∴直线l的表达式为y＝

x＋1；(2)如图②，若直线l与y轴的交点C(0，－2)，且点B是线段AC中点，求k的值；第4题图(2)设点A，B的坐标分别为(s，

s2)，(t，

t2)，联立y＝kx＋m和y＝

x2并整理，得x2－2kx－2m＝0，则s＋t＝2k，st＝－2m.∵B是线段AC中点，C(0，－2)，则由中点坐标公式，得

由图②可知，k<0，解得

或

(舍去)则s＋t＝(－2)＋(－

)＝2k，解得k＝－

；第4题图(3)如图③，若直线l运动过程中，始终有OA⊥OB，试探究直线l是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．第4题图(3)存在．理由如下：如图，分别过点A，B作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N.∟∟MN∵OA⊥OB，则∠AOM＋∠BON＝90°，∵∠BON＋∠OBN＝90°，∴∠AOM＝∠OBN，∴tan∠AOM