《数理统计》(浙大四版)-第7章-参数估计

高等学校数学专业课程《数理统计》参数估计第七章数学教研室统计推断估计假设检验非参数估计参数估计点估计区间估计矩法估计极大似然估计对总体的数字特征进行估计对总体分布中的参数进行估计【例如】设X~E(1/

),其中

未知，对

进行估计。前言本章目录§7.1参数的点估计§7.3点估计的评价标准§7.4区间估计§7.5正态总体均值与方差的区间估计§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计§7.7单侧置信区间上一页下一页返回§7.1

参数的点估计§7.1

参数的点估计一、问题的提法二、点估计的求法三、小结1、矩法估计法2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计一、问题的提法设总体X的分布函数形式,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.【引例1】用样本均值来估计总体的均值

E(X).【解】§7.1

参数的点估计点估计问题的一般提法§7.1

参数的点估计如何构造样本的函数〔即统计量〕是解决问题的关键！常用构造估计量的方法:〔矩法估计〕〔极大似然估计〕矩法最大似然法1.矩估计法【引例2】设X~E(

),其中

未知，求

的点估计。【分析】从总体X中取样本X1,X2,…,Xn

，于是可用样本均值替代总体均值即辛钦大数定律则有样本矩总体矩矩法估计§7.1

参数的点估计(X为连续型)(X为离散型)矩估计的一般情形§7.1

参数的点估计1、矩估计依据“辛钦大数定律”有：样本矩作为相应总体矩的估计量；样本矩的连续函数作为相应总体矩的连续函数的估计量.矩估计的基本思想：（K·皮尔逊）（1857-1936）§7.1

参数的点估计1、矩估计Step1:

总体X的

j阶原点矩E(Xj)记为mj,j=1,2,

,k设总体X的分布函数中含有k个未知参数

Step2:

算出

j阶样本原点矩Step3:

令,得关于

1,2,,k的方程（组）Step4:

解上述方程（组），其解记为一般地,mj（j=1,2,

,k）是总体分布中的参数

1,2,,k的函数，记为mj(

1,2,,k),(m=1,2,

,k)矩估计的根本步骤§7.1

参数的点估计1、矩估计【例1】【解】解方程组得到a,b的矩估计量分别为§7.1

参数的点估计1、矩估计解方程组得到矩估计量分别为【例2】【解】§7.1

参数的点估计1、矩估计【解】由矩法,从中解得的矩估计.即为【例3】设总体X的概率密度为是未知参数,其中X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求参数的矩估计.§7.1

参数的点估计1、矩估计【例4】设X~E(

),其中

未知，求

的矩法估计。【解】采用二阶矩，有即

那么有即所以〔选用一阶矩时，见引例2〕

矩法估计的结果不唯一！替换原那么：尽可能采用低阶矩替换。§7.1

参数的点估计1、矩估计矩法估计的优缺点：缺点——当总体类型时，没有充分利用分布提供的信；一般场合下,矩估计量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.优点——简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布§7.1

参数的点估计1、矩估计1922年，英国统计学家费希尔重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质。适用范围：总体分布类型时。1821年，德国数学家高斯首先提出该方法（Gauss，1777－1855）R.A.Fisher费希尔（1890～1962）然而，这个方法常归功于统计学家费希尔2.极大似然估计法§7.1

参数的点估计极大似然法的根本思想【引例1】一只野兔从前方窜过…某位同学与一位猎人一起外出打猎…你认为最有可能是谁打中的呢？只听一声枪响，野兔应声倒下.这个例子所作的推断已经表达了极大似然法的根本思想.2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计【引例2】设总体X~b(1,p），即现已知p=0.8或p=0.2，到底是哪个，需要作出推断（选择）？【分析】取样本(X1,X2)，那么其具有联合分布列设样本值为(1,1)，那么当p=0.8时，(1,1)出现的概率为0.64当p=0.2时，(1,1)出现的概率为0.04若基于(1,1)，则选择p=0.8.参数（p）的选择应对所出现的观察结果最有利，即参数（p）的选择应使观察结果出现的概率最大。【极大似然法的基本思想】2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计设X是离散型总体，其分布律为p(x;)，X1,X2,…Xn是取自X的一个样本，那么其联合分布律为：【极大似然法的根本原理】似然函数：关于

的函数2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计设X是连续型总体，其密度函数为f(x;)，X1,X2,…Xn是取自X的一个样本，那么其联合密度函数为：关于

的函数

人们通常更习惯于由对数似然函数lnL(

)出发寻找

的极大似然估计。

当L(

)是可微函数时，求导是求极大似然估计最常用的方法，对lnL(

)求导更加简单些。即，如果某统计量满足

则称

是

的极大似然估计，2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计极大似然法就是用使达到最大值的作为的估计.【极大似然估计的一般方法及步骤】Step3:

解上述方程或方程组。Step2:

取对数似然函数

，对其求导或偏导数，并令导数或偏导数为0，建立方程或方程组，如Step1:

根据总体分布，构造似然函数或似然方程组似然方程2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计【例5】设X1,X2,…Xn是取自总体

X~B(1,p)

的一个样本，求参数p的极大似然估计。【解】似然函数为:L(p)=f(x1,x2,…xn;p)对数似然函数为：对p求导并令其为0，=0得〔这一估计量与矩估计量是相同的〕2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计【例6】道总体X~N(,2)，和2均未知，求这两个参数的极大似然估计。【解】似然函数为:对数似然函数为:建立似然方程组：解方程组得：〔与矩估计量相同〕2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计【解】其似然函数为：对数似然函数为：似然方程为：解之，得【思考】2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计【例7】总体X~U[

1,

1+

2]，求参数

1,

2的极大似然估计。

【解】X的密度函数为似然函数为：求导方法无法确定函数的极大值一方面，要使

达到最大，要尽可能小另一方面，必须取最大运用极大似然思想确定：2、极大似然估计法§7.1

参数的点估计三、小结两种求点估计的方法:矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法,在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法.§7.1

参数的点估计本章目录§7.1参数的点估计§7.3点估计的评价标准§7.4区间估计§7.5正态总体均值与方差的区间估计§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计§7.7单侧置信区间上一页下一页返回§7.3

点估计的评价标准一、无偏性二、有效性三、相合性§7.3

点估计的评价标准四、小结(2)如何评价多个估计量之间，哪个更“好”？这就需要讨论以下几个问题:(1)“好的”估计量具有什么特性？(3)如何求得合理的估计量？对同一个参数，估计的采用方法不同或方法相同但形式不同，可能导致估计的结果不一。无偏性有效性相合性无偏性有效性§7.3

点估计的评价标准【定义1】估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，即希望其期望值等于未知参数的真值：一、无偏性则称为的无偏估计

.设是未知参数的估计量，若科学技术中，称为系统误差。无偏估计的实际意义就是无系统误差。1、无偏性§7.3

点估计的评价标准【例1】【证明】1、无偏性§7.3

点估计的评价标准于是有【例2】设总体X服从参数为

的指数分,其概率密度为未知,X1,X2,…Xn是取自总体的一个样本,试证明：都是参数的无偏估计量.和【证明】所以是的无偏估计.因为求得可求得的概率密度即也是参数的无偏估计量.于是1、无偏性§7.3

点估计的评价标准§7.3

点估计的评价标准若和都是参数

的无偏估计量，的大小与比较由于如何选择？【定义2】2、有效性二、有效性【定义】一般地，矩法估计量都具有一致性。由大数定律知道，样本均值、样本方差分别是总体均值、总体方差的一致估计量。【定理】§7.3

点估计的评价标准3、相合性三、相合性四、小结对于一个未知参数可以提出不同的估计量,因此自然提出比较估计量的好坏的问题，这就需要给出评定估计量好坏的标准.评定估计量好坏的三个标准:无偏性、有效性和相合性：则称为的无偏估计.§7.3

点估计的评价标准【思考1】设总体X的方差存在，EX=a，DX=

2,(X1,X2)是来自X的样本，试检验以下两个估计量的无偏性和有效性：§7.3

点估计的评价标准【思考2】【参考答案】本章目录§7.1参数的点估计§7.3点估计的评价标准§7.4区间估计§7.5正态总体均值与方差的区间估计§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计§7.7单侧置信区间§7.4

区间估计一、区间估计的概念二、求置信区间的一般步骤§7.4

区间估计三、小结对于一个未知量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需要顾及误差，即要求知道近似值的精确程度〔即所在范围〕。引言对于未知参数，除了求得其点估计外，还希望估计出一个范围（区间），并希望知道这个范围包含参数真值的可信程度。置信区间置信度——区间估计置信区间置信度——以概率表示，通常记为——以样本的函数作为上下限，通常记为例如：估计某个人的年龄，如果估计为30岁——此为点估计如果估计为29岁到31岁之间——此为区间估计.一、区间估计的概念【定义】§7.4

区间估计【关于定义的说明】定义式【解释一】【解释二】假设获得了样本〔X1,X2,…,Xn〕的N个试验值:于是得到N个区间则有

的把握断定，这N个区间中共有个包含参数.§7.4

区间估计二、求置信区间的一般步骤§7.4

区间估计枢轴量给定置信度，求置信区间区间估计问题：【解】【例1】§7.4

区间估计不是随机区间其包含的可信度为95%【问题1】同一置信度的置信区间唯一吗？此时，置信区间为【问题2】上述两个置信区间选哪个更好？不唯一

与计算得两区间的长度分别为√§7.4

区间估计其长度,得数据如下(单位:mm):142,138,150,165,156,148,132,135,160.【解】【例2】§7.4

区间估计你有什么结论？三、小结点估计不能反映估计的精度,故而本节引入了区间估计.§7.4

区间估计§7.1参数的点估计§7.3点估计的评价标准§7.4区间估计§7.5正态总体均值与方差的区间估计§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计§7.7单侧置信区间§7.5

正态总体均值与方差的区间估计本章目录§7.5

正态总体均值和方差的区间估计一、单个正态总体的情形二、两个正态总体的情形三、小结这里我们主要讨论总体分布为正态的情形。假设样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计。§7.5

正态总体均值和方差的区间估计1.标准正态分布2.t分布3.卡方分布4.F分布§7.5

正态总体均值和方差的区间估计一、单个正态总体的情形由上节例2可知:1.§7.5

正态总体均值和方差的区间估计推导过程如下:〔见P143第六章定理三)§7.5

正态总体均值和方差的区间估计【解】有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值的置信度为0.95的置信区间.【例1】解释结果？

估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,这个估计的可信程度为95%.【结果解释】误差的可信度为95%.§7.5

正态总体均值和方差的区间估计推导:〔见P143第六章定理二)§7.5

正态总体均值和方差的区间估计【解】有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体方差的置信度为0.95的置信区间.【例2】代入公式得标准差的置信区间§7.5

正态总体均值和方差的区间估计1、均值之差：

1-

2的区间估计；2、方差之比：

12/22的区间估计.二、两个总体的情况只讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题，即§7.5

正态总体均值和方差的区间估计推导:于是得证.§7.5

正态总体均值和方差的区间估计〔见P143第六章定理四)§7.5

正态总体均值和方差的区间估计【例3】【解】§7.5

正态总体均值和方差的区间估计推导：根据F分布的定义,知§7.5

正态总体均值和方差的区间估计§7.5

正态总体均值和方差的区间估计【解】【例4】§7.5

正态总体均值和方差的区间估计三、小结§7.5

正态总体均值和方差的区间估计§7.5

正态总体均值和方差的区间估计§7.5

正态总体均值和方差的区间估计【思考题2】为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法做实验，结果播种甲品种的8块试验田的单位面积产量和播种乙品种的10块试验田的单位面积产量〔单位：kg〕分别为：甲品种：628583510554612523530615乙品种：535433398470567480498560503426假定每个品种的单位面积产量均服从正态分布且方差相同，试求这两个品种平均单位面积产量差的置信区间〔a=0.05).注：参考数据【思考题1】为了估计一件物体的重量

,将其称了1O次,得到的重量(单位：千克)为:10.l,10,9.8,10.5,9.7,l0.l,9.9,10.2,10.3,9.9.设所称出的物体重量X服从N(

,2)。求:该物体重量

的置信度为0.95的置信区间.注：参考数据本章目录§7.1参数的点估计§7.3点估计的评价标准§7.4区间估计§7.5正态总体均值与方差的区间估计§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计§7.7单侧置信区间§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计一、置信区间公式二、典型例题§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计一、置信区间公式§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计推导如下:因为(0–1)分布的均值和方差分别为因为容量n较大,于是有〔依据中心极限定理〕将上述统计量作为枢轴量，那么有，§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计二、典型例题【例1】设从一大批产品的100个样品中,得一级品60个,求这批产品的一级品率

p的置信水平为0.95的置信区间.【解】一级品率p是(0-1)分布的参数,p的置信水平为0.95的置信区间为§7.6〔0-1〕分布参数的区间估计本章目录§7.1参数的点估计§7.3点估计的评价标准§7.4区间估计§7.5正态总