2024成都中考数学第一轮专题复习之微专题 与线段最值有关的问题 教学课件

微专题与线段最值有关的问题

考情及趋势分析成都8年高频点考情及趋势分析考情分析类型年份题号题型分值考查内容结合知识点一条线段求最值202127解答题10利用“三角形三边关系”求最小值全等三角形，三角形的中位线20182710利用“垂线段最短”求最小值三角形面积201625B卷填空题4利用“垂线段最短”求最小值图形的折叠，全等三角形，平行四边形的性质考情分析类型年份题号题型分值考查内容结合知识点两条线段求最值202223B卷填空题4求线段差的最大值相似三角形，锐角三角函数，三角形面积2019244求线段和的最小值图形的平移，三角形的中位线【考情总结】1.考情及题位特点：8年5考，常在B卷填空压轴题或解答压轴题最后一问考查；2.设问特点：常结合图形的变化考查，以“利用垂线段最短”方法为主，解题过程中均需作辅助线.一阶

方法突破方法解读如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A，B之间距离的最值．辅助线作法：过点A作AB⊥直线l，此时AB为垂线段，点A到点B的距离最小，最小值为AB.类型一一条线段求最值(8年3考：2021.27，2018.27，2016.25)

例1如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的动点，则线段CD的最小值是________．例1题图例2如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，DE，若AO＝1，AB＝4，连接OE，则OE的最小值是________．例2题图如图，已知点A，B是平面内固定的两点，点C是同一平面内一动点．1．连接AC，BC.在△ABC中，根据三边关系，有AB－BC<AC<AB＋BC；2．当A，B，C三点共线时．(1)如图，当点C在线段AB上时，AC＋BC的值最小，最小值为AB的长；AC的值最小，最小值为AB－BC的长；(2)如图，当点C在线段AB的延长线上时，AB＋BC的值最大，最大值为线段AC的长．方法解读例3

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，AB＝4，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，连接OC，则OC的最大值为____________．例3题图＋2例4如图，平面内三点A，B，C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是________．例4题图如图，两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．辅助线作法：(将军饮马模型)作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P.方法解读类型二两条线段求最值(8年2考：2022.23，2019.24)

例5如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM＋MD的最小值为________．例5题图10方法解读如图，P为∠AOB的OB边上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM＋MN的值最小．辅助线作法：过点P作OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M，N.例6如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F是对角线BD上的一个动点，连接BE，EF，若AB＝5，AD＝10，则BE＋EF的最小值为________．例6题图情况1如图，两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．辅助线作法：连接AB并延长与直线l交于点P.情况2如图，两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．辅助线作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P.方法解读例7如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则BP－EP的最大值为________.例7题图例8

如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是AB的中点，F在边CD上，且CF＝1，P是直线AC上一点，连接PE，PF，则PE－PF的最大值为________．例8题图情况1如图，已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，定点A，B分别在位于直线l1，l2的上方和下方，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小．辅助线作法：将点A向下平移d个单位长度到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1于点M.方法解读情况2如图，在直线l上找M，N两点(M在N左侧)，使得MN＝d，且AM＋MN＋NB的值最小．辅助线作法：将点A向右平移d个单位长度到点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线于点N，将点N向左平移d个单位到点M.例9如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点M，N在AC上，且MN＝1，连接BM，DN，则BM＋DN＋MN的最小值为________．例9题图＋1

一题多解解法一：利用平移求解．解法二：利用菱形的性质求解．例10题图例10

如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F是CD边上的动点(不与点C，D重合)，点E在点F的左侧，且EF＝1，则AE＋EF＋BF的最小值为________．1＋例11

如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，3)，连接AC，BD，则AC＋BD的最小值为________．例11题图线段最值问题①方法解读如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．方法：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；①以定点A为顶点作∠NAP，使sin∠NAP＝k；②过动点P作垂线，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长．例12如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，BD⊥AC交AC于点D，P为线段BD上的动点，则PC＋

PB的最小值为________．例12题图例13

如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠B＝90°，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD＋CD的最小值为________．例13题图如图，P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小．辅助线作法：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于点M，N.方法解读类型三三条线段求最值例14如图，∠AOB＝30°，M，N分别是射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP＝20，则△PMN周长的最小值是________．例14题图20如图，P，Q是∠AOB内部的两定点，M，N分别是OA，OB上的动点，试确定M，N的位置，使得四边形PQNM周长的最小．辅助线作法：作点P关于OA

的对称点P′，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M

，N.方法解读例15如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是AB的中点，若P，F分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPF周长的最小值为________．例15题图

＋3

解题关键点AE的长固定，即求AF＋FP＋PE的最小值，通过作对称，转化所求线段即可．二阶

综合训练1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为________．第1题图

-3

2.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为________．第2题图3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4.M为对角线AC上一点，且CM＝

，N是对角线BD上的一个动点，则MN＋

NB的最小值是________．第3题图34.(2023东营节选)如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.则PM＋PN的最小值为________．第4题图【解析】如解图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°.第4题解图第4题解图∵BF＝CE，∴BC－BF＝DC－CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE＝∠CDF.∵∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAE＋∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD.∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG.∵AG为公共边，∴△AGM≌△AGD(ASA)，∴GM＝GD.∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，∴HM＝HD，当点P与点H重合时，PM＋PN的值最小，此时PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN的最小值是DO的长，第4题解图∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝4，∴DO＝

BD＝2，即PM＋PN的最小值为2.第4题解图【答案】线段最值问题②5.如图，某景区为了增加景点特色，在景区修建了一条两河岸平行的人工河，凉亭A，B位于河两岸，为了游玩通行方便，现计划要在河上造一座桥(桥垂直于河岸)，使凉亭A，B之间的路程最短．已知河宽为100m，凉亭A到河岸MN的距离为800m，凉亭B到河岸PQ的距离为400m，且凉亭A，B的水平距离为1600m，请计算从凉亭A出发经过桥后到达凉亭B