2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 微专题 对角互补模型 练习课件

微专题对角互补模型1.问题呈现：已知等边△ABC边BC的中点为D，∠EDF＝120°，且点E，F分别在AB，AC上，现要探究线段BE，CF与BC之间的数量关系．【特例研究】(1)如图①，当DE⊥AB，DF⊥AC时，请直接写出BE，CF与BC之间的数量关系：_______________；第1题图①BE＋CF＝BC【类比探究】(2)如图②，当∠DEB≠∠DFC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由；第1题图②(2)成立．

证明：如图，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，∟G∟H∵∠B＝∠C，∠BGD＝∠CHD＝90°，BD＝CD，∴△BDG≌△CDH(AAS)，∴BG＝CH，DG＝DH.∵∠A＝60°，∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH＝120°.∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH，∴△DGE≌△DHF(ASA)，∴EG＝FH，DE＝DF，∴CF＋BE＝CH＋FH＋BE＝CH＋EG＋BE＝CH＋BG.由(1)可得，CH＋BG＝(CD＋BD)＝BC，∴BE＋CF＝BC，即(1)中结论仍然成立；第1题图②∟G∟H【拓展应用】(3)若等边△ABC的边长为4，当∠FDC＝45°时，求BE的长和此时△BDE的面积．第1题图②(3)如图，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，过点F作FM⊥BC于点M.∟G∟H∟M∵点D是线段BC的中点，∴BD＝CD＝BC＝2.∵∠FDM＝45°，∴DM＝FM.∵∠FCM＝60°，∴CM＝FM.∵CD＝DM＋CM＝FM＋FM＝2，∴FM＝3－

，∴CM＝

－1，CF＝2CM＝2

－2.由(2)可知，BE＝BC－CF＝2－(2

－2)＝4－2

，∵DG＝DH＝CD＝

，∴S△BDE＝BE·DG＝2

－3.第1题图②∟G∟H∟M2.

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，点P为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E.(1)如图①，求证：PD＝

PE；第2题图①(1)证明：如图，分别过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N.∟N∟M∵四边形ABCD是矩形，∴∠MAN＝90°，∴四边形PMAN是矩形，∴∠MPN＝90°＝∠DPE，∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN，∴∠DPM＝∠EPN.∵∠DMP＝∠PNE，∴△DPM∽△EPN，∴∠PDA＝∠PEB，.∵PN∥BC，∴，∴，∴，即PD＝PE；第2题图①∟N∟M

解题关键点过点P分别作AD，AB的垂线，得到一对相似三角形，再结合平行线分线段成比例求解；(2)如图②，当点P为AC的中点时，连接DE，求证：DE⊥AC；第2题图②(2)证明：∵P是AC的中点，∠ADC＝90°，∴DP＝AP＝PC.∵tan∠DAC＝，∴∠DAC＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴AD＝DP.在Rt△DAE和Rt△DPE中，，∴Rt△DAE≌Rt△DPE(HL)，∴∠ADE＝∠PDE，∴DE⊥AC；(3)如图③，若PA平分∠DPE，求PE的长．第2题图③(3)解：如图，过点D作DF⊥AC于点F，∟F∵∠DAC＝60°，∴DF＝AD＝2

.∵PA平分∠DPE，PE⊥PD，∴∠DPA＝∠APE＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形，且DF＝FP，∴DP＝