数理统计预习复习题试题习题

教理院计练习题

1.设X1,X2，X3，X4是总体N(〃，。2)的样本，4已知，cr2未知，则不是统计量的是

().

4

(A)X।+5X4;(B)£Xj—〃；

/=1

4

(C)X]-cr；(D).

i=]

解：统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数.

・•・选C.

2.设总体X~6(l,p),X-X2,…,X”为来自X的样本，则().

(A)p：(B)1-/2;

(C)C：pkQ_p)z；(D)C：Q-p)kp『k.

解：Xd2…X〃相互独立且均服从B(l,p)故-Bgp)

i=l

即nX-B(n,p)则P(又J)=p(欣=6=C；p“l—p)T

n

：.选C.

3.设X-X2,…,X”是总体N(0,1)的样本，,和S分别为样本的均值和样本标准差,

则().

(A)X/S~t(n-1)；(B)X~N(O,1)；

(C)(72—1)S"~(n—1)；(D)-J~nX~t(n—1).

一1£一一11一1

解:X=-YxiEX=O,DX=-n=-X~N(0,—)B错

nHnnn

(rt—1)S__2(〃一1)T,

s~Z(n-1)■L7T_LS2=(〃_I)S2~72(〃_I)

crr

—Vn~Z(n-l).；.A错.

选C.

4.设X-X2,…,X”是总体Na，,")的样本，又是样本均值，记S：=

1〃

S：=一£(Xj-〃)2,则服从自由度为〃一1的，分布的随机变量是().

(A)7=X-N(B)

_s"V^TT=^^r

(D)T=」一[

S4/yln

isx「反y

解：上——3---------z2(/?-l)册〜N(O,1)

(J(J

T=i。-------〜t(n-1)

:2对

Vn-1

(X—/z)VnX—〃I-[

T-,=------1〜Z(n-l)

[nS：/n-lS?

选B.

5.设X-X2,…,X6是来自N(〃Q2)的样本，底为其样本方差，则。S2的值为().

Iio?

(A)-<T4;(B)-o-4；(C)-<T4;(D)-<72.

3555

5s2

解：X1,X2，,X6~N(〃,b2),〃=6r~/2(5)

b

由/分布性质：D==2x5=10即。S2=Wb4=2b4

选C.

6.设总体X的数学期望为〃,X1,乂2,…,X”是来自X的样本，则下列结论中正确的

是().

(A)X1是"的无偏估计量；

(B)X1是〃的极大似然估计量；

(C)X,是〃的一致(相合)估计量；

(D)X,不是〃的估计量.

解：EX、=EX=RX|是〃的无偏估计量.

选A.

7.设X1,乂2,…,X”是总体X的样本，EX=H，DX=a2,K是样本均值，S?是

样本方差，则().

(A)X~7V//,—；(B)S?与兄独立；

In)

2

(n-l)52

(C)-------；(D)S?是a?的无偏估计量.

<y'

解：已知总体X不是正态总体(A)(B)(C)都不对.

选D.

8.设X],Xz，…,X“是总体Ng,。?)的样本，则()可以作为a?的无偏估计量.

1n

(A)

19v

(c)不;⑴)士沙.

；；

解：EX]=0,DXiEX_(EXj¥=EX=/

E(-Yxf)=--na2=cy2

n।n

选A.

9.设总体X服从区间[-仇网上均匀分布(6〉0),西，…,为样本,

则。的极大似然估计为()

(A)max{%x“}；(B)min{X1,…,x,J

(C)max{|x|1)(D)min{|x,I,---,|x„|)

—xe[-仇0]

解:/(%)=<ie

o其它

“1

似然正数g,…,x〃；e)=仃/(x,,e)=函7\X:\<0i=l,2,,n

其它

此处似然函数作为。函数不连续

不能解似然方程求解。极大似然估计

L(6)在夕=X(〃)处取得极大值^=X„=max||X1|,--,|X„|)

选c.

10.设总体X的数学期望为〃,X-X2，,X“为来自X的样本，则下列结论中

正确的是

(A)X,是〃的无偏估计量.(B)X)是〃的极大似然估计量.

(C)X|是〃的相合(一致)估计量.(D)X1不是M的估计量.()

解：EX、=〃,所以X1是〃的无偏估计，应选(A).

11.设玉,工2，，%为正态总体N(〃,4)的一个样本，元表示样本均值，则"的

置信度为1-。的置信区间为

(A)(%-Wa/2-y=,X+U

7na/2

(B){x—ux_a/2—j=,x+ua/2

(D)(x—ua/2—,x+ua/2

解：因为方差已知，所以〃的置信区间为

(X-%/23，又+%/2

应选D.

12.设总体X~N(日，。2),其中/已知，则总体均值p的置信区间长度L与置信度1-a

的关系是

(a)当1-a缩小时，L缩短.

(b)当1-a缩小时，L增大.

(c)当1-a缩小时，L不变.

(d)以上说法均错.

解：当。2已知时，总体均值口的置信区间长度为当La缩小时，L将缩短，故应选(a)

13.设总体X~N(川，),Y~N(田，s?),X和Y相互独立，且山，，口，6?均

未知，从X中抽取容量为m=9的样本，从Y中抽取容量为n2=10的样本分别算得样本方差

为

S/=63.86,522=236.8对于显著性水平。=0.10(0<a<1),检验假设

Ho：CTI2=O22Hi:b/WCT22

则正确的方法和结论是[]

(a)用F检验法，查临界值表知Fo.yo(8,9)=0.40,R).io(8,9)=2.47结论是接受Ho

(b)用F检验法，查临界值表知FO.95(8,9)=O.31,FO.O5(8,9)=3.23结论是拒绝H()

(c)用t检验法，查临界值表知"05(17)=2.11结论是拒绝H()

(d)用Z2检验法，查临界值表知/0.10(17)=24.67结论是接受H()

解：这是两个正态总体均值未知时，方差的检验问题，要使用F检验法。在假设Ho：.2=

O22是双侧检验问题，选(b)

14.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为m和m的样本，并且

已知这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是

(a)Ho:日।=日2;Hi:R।W(42

(b)Ho:।=ji2;Hi:।<p2

(c)Ho：ar=O22；H|：OI2^O22

2222

(d)Ho:CT|=C2；H|:CT|<ct2

分析:为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C)

15.在求参数。的置信区间时，置信度为90%是指()

(a)对100个样品，定有90个区间能覆盖。

(b)对100个样品，约有90个区间能覆盖0

(c)对100个样品，至多有90个区间能覆盖。

(d)对100个样品，只能有90个区间能覆盖e

答：选(b)

16.收集了n组数据(x,.,%)，=1,2,…,”画出散布图，若n个点基本在一条直线附近

时，称这两变量间具有()

(a)独立的关系(b)不相容的关系

(c)函数关系(d)线性相关关系

答：选(d)

17.设X1,X2,,XD是总体N(〃,4)的样本，S?是样本方差，若Pg?>0=0.01,

贝ija-.

(注:-7)=334,就005a7)=35.7,^,01(16)=32.0,就005a6)=34.2)

16q2

解：P(S2>a)=P{-^->4a}=0.01

4

即/.储16于血亦即4«=32a=8.

18.设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(〃,cr2),今随机地测量16个零件,

得ZX,=8,EX；=34.在置信度0.95下，〃的置信区间为.

(?005(15)=1.7531,125(15)=2.1315)

解：〃的置信度1一。下的置信区间为

-SS

(X—1)—/=，X+%2(〃一1)—7=

X=0.5,S2=—[^X,2-16X2]=2,S=1.4142,〃=16

15i=i

ZOO25（15）=2.1315.

所以〃的置信区间为（—0.2535,1.2535）.

19.最小二乘法的基本特点是使回归值与的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是

_____O

答：实际观测值；函数的极值原理。

20.某单因子试验，因子A有2个水平，水平A1下进行5次重复试验，在水平A2下进

行6次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（）o

答：10

数理统计的基本概念

1.某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它服从均值为;I的

泊松分布，从产品中抽一个容量为〃的样本X1,X2，,X",求样本的分布.

解样本（X-X2，,X“）的分量独立且均服从与总体相同的分布，故样本的分布为

nn叫

p(x,=kt,x2=k2,,x“=z")=np(x,=()=nh

Aki=0,1,,i=1,2,,n,

kx\k2\kn\'

2.加工某种零件时，每一件需要的时间服从均值为1/zi的指数分布，今以加工时间为

零件的数量指标，任取〃件零件构成一个容量为〃的样本，求样本分布。

解零件的加工时间为总体X,则*~£（4）,其概率密度为

于是样本（X-X2，,X“）的密度为

/（5,工2，,当）=口曲的=<4"e•,x,.>0«=1,2,,n

0,其它.

3.证明若X~/2(〃)，则EX=〃，DX=2n.

证因乂~/(〃)，所以x可表示的x=£x；,其中X-X2，,X〃相互独立，且

/=1

均服从N(O,1),于是

EX=£EX；=X[DX,+(盟)2]=£1=〃

/=1i=l/=1

DX可DX；=-(EX：)?]=-4=3^-l]

/=1/=1i=l”72几

=£(3-1)=2几

i=l

4.已知X~f(〃)，求证X2~F(1,n).

Z,

证X~t(n,则X可表示为X=—其中Z~N(O,1),y~%2(〃)且z,y相

互独立，于是

72

x2=-F(l,n).

Yin

5.设*,X?,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本，

22

X=a(Xt-2X2)+b(3X3-4X4),求常数。涉，使得X~/(2).

Y__2X1

22

解X,-2X2~N(0,20),1「2一N(O,1),—(X,-2X,)~Z(l),

-2V520

3X—4Y1

3X，-4X4~N(0』0)_\一~N(0,l),—(3X-4X)2~Z2(1),

lu10034

所以当a='-,〃=—!—时.

20100

222

X=«(X,-2X2)+^(3X3-4X4)~Z(2)

6.设X-，X“，X,,+”，X"+,”是分布N(0,fy2)的容量为〃的样本，试求下列统计量

的概率分布:

而£X,

(1)i=l(2)■'=1

In+tnn+m

司Zx；

Vi=n+\

fx,~N(0,，，Jfx,~N(0,l),

解

i=l71=1

y2111+in

X,~N(0,。2),—⑴，一

bb/=M+1

所以

而fX,

(1)i=lT(a);

n+m1n+m

Ji=n+]bi=〃+]

1n

4zx；/〃

C2)Y2=n+nt果含--------2〃，〃?)•

〃2X；上工X；lm

i-n+lGi=n+\

_|〃

7.设X，,X“,X”“是来自总体N(〃寸的样本，x=-V,

n

X〃“j十】-X\n—\,,.

S*2」£(X,-N)2,试求统计量T—J——的分布。

nSn+\

x„-X~MOA^CT22

解+12~z(»-i)

nb

于是

X严—X~N(O,1)

'n+1

----ar

n

x“+「x

7=X©二又回J〃+l/〃<7

〜t(n-l)

S几十1吗(〃-1)

(7

8.从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为〃的样本，如果要求样本均值位于区间(1.4,

5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量〃至少应多大？

解0.9军尸(1<L»X,<季杰)5；(3#—①)：］脑。

=20)(乎)一1

即

①(手)>0.975,查正态分表得^y>1.96即n>34.57.

故样本容量至少应为35。

9.求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概

率。

___3-3

解设男和兄为两个独立样本的均值，则xx〜NQ0,—),X2~NQ0,—)

_15--1

于是X,-X2~N(0,—)即X,-X2~N(0,-)

P(|X,-X2|>0.3)=1一P(|兄一X2|<0.3)

...0.3、..—0.3、

=1-6―r)+O(­r)

1/V21/V2

=2-20(0.42)=2-2x0.6628=0.6744.

参数估计

1.对某一距离进行5次测量，结果如下：

2781,2836,2807,2765,2858（米）.

己知测量结果服从NRd）,求参数〃和b?的矩估计.

_1"_

解〃的矩估计为A=又，4的矩估计为＜T2=-y（x,.-x）2=

X=1（2781+2836+2807+2765+2858）=2809.0,

S*?=1x5854.0=1170.84

5

所以

〃=2809,夕=H70.8

2.设总体X具有密度

f（x;。）={0'x>C,

・°，其他.

“，求。的

其中参数0＜。＜1,。为己知常数，且C＞0,从中抽得一个样本，x,,x2,X

矩估计

p+0011

解M=EX='exf>(be

e7

i

------1―LL)------------

。一1\-e

解出。得

从

于是。的矩估计为

6＞=1—£.

X

3.设总体的密度为

(a+l)xa,0<x<l,

f(x;a)=<

0其他.

试用样本X1,X2,,X“求参数a的矩估计和极大似然估计.

解先求矩估计:

//,=EX=f(a+V)xf+'dx="+1xff+2|_a+1

'J0a+2loa+2

解出。得

a=E阴

Ai-1

所以a的矩估计为

1-2X

a=

X-l

再求极大似然估计：

L(X-,X,;a)=fl(a+l)¥=(a+l)"(x/2当尸，

Z=1

n

InL=/?ln(6z+1)+Inxz,

i=\

dlnLn八

-----=-----+>\nx0,

daa+1普i

解得a的极大似然估计：

a=-(l+^T^—)•

Elnxf-

/=1

4.设总体X服从指数分布

邛"功,x>e,

/(x；e)=,

o,其他.

试利用样本x,,x2,,x“求参数。的极大似然估计.

n-2既+""

解L(X1,,X“;e)=ne~(Xi~9}=e,x,.>6,z=l,2,,n.

i=\

\nL=nd-^Xt

i=l

dlnL八

-----=〃wO

d0

由极大似然估计的定义，o的极大似然估计为e=%)

5.设x-X2，,x“来自几何分布

P(X=6=p(l-p)i,Z=l,2,,0<p<l,

试求未知参数p的极大似然估计.

n

n-〃

解L(x,,为"RP廿"AP"一4产)，

i=\

InL=〃Inp+(ZXj-n)ln(l-p),

/=i

______0,

dpp1-p

解似然方程

一〃+£x,

〃_i=l

p1-p'

得p的极大似然估计

1

p=*

6..设X-X2，,X“是来自参数为X的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数人,

统计量kx+(l-k)S2是2的无偏估计量。

证E(kX+(\-k)S2)=kEX+(1-k)ES2=k^+A-kA=A

(此处利用了又是EX的无偏估计，S2是DX的无偏估计)，所以对任意的

忒+(1-幻S?是;I的无偏估计。

7.设总体X~N(〃Q2),X-X,,X3是来自X的样本，试证估计量

131

1XX1

--+X=-X

5-233+-X.+—X.,

+42123

X11012

AI外1

12-A

--+一

362•

都是〃的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效.

131131

证Eu.=—EX]+—EX.+-EX,=(—+—+—)〃=〃

'5102235102

广,115、

"2=(3+^+/〃=〃

L/111、

E〃3=(彳+/+1)〃=〃

3o2

故〃],//2,/z3都是fJ.的无偏估计.

1917Q

Du.=—DX,+—DX,+-DX.—cr2=0.39cr2,

1251100243100

八/125、，50,

DR,=(-+—+——)cr=——a~=0.3474，

2916144144

14,、

—O-2=0.389o-2.

36

所以〃2最有效.

]fl

8.设总体X的数学期望〃=£X已知，试证统计量一Z(X,是总体方差

n,=i

cr2=DX的无偏估计.

证E(—Z(X,一〃)2)=—2>&-〃)2=6：,证毕.

〃,=in,=1

9.从一批钉子中抽取中枚,测得长度(单位:厘米)为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,

2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11,设钉长分布为正态，试在下列情况下，

求总体期望〃的置信度为0.90的置信区间。

(1)已知b=0.01厘米；(2)cr为未知.

解X=2.125,S2=0.0029,5=0.017

(1)4的置信区间为(X—"()05—尸，X+M005—7=)

7ny/n

X=2.125,w005=1.645,cr=0.01,n=16

〃的置信区间为(2.121,2.129)；

(2)〃的置信区间为(又一X+ZOO5(15)4-)

\Jnytn

r0.05(15)=1.7531

〃的置信区间为（2.1175,2.1325）.

10.生产一个零件所需时间（单位：秒）X~N（〃，cr2）,观察25个零件的生产时间,

得又=5.5,5=1.73,试以0.95的可靠性求〃和＜y2的置信区间.

S又+%025(24)4)

解4的置信区间为（区一Go25（24）

五'yjn

其中又=5.5,。025(24)=2.0639,S=1.73,〃=25.

所以〃的置信度0.95下的置信区间为

173173

（5.5-2.0639xm，5.5+2.0639x手)=(4.7858,6.2141)

cr?的置信区间为

"(K-1)S2(n-l)S2"

/2(〃T)'犹a/2(〃T),

2

S=2.9929,君必(24)=39.364,^,975(24)=12.401

所以的置信区间为

(24x2.992924.29929

139.36412.401=(1.8248,5.7922).

11.零件尺寸与规定尺寸的偏差X~N（〃，b?）,令测得10个零件，得偏差值（单位:

微米）2,1,-2,3,2,4,-2,5,3,4,试求〃的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。

_110

解4的无偏估计为X=—=2

10/•=]

1”

的无偏估计为S?=-y%,2-wx4=5.778

QJ'

vL<=i」

〃的置信区间为

(又一功.05(9)^^，又一‘。。5(9)^^)

X=2,5=2.404,r005(9)=1.8331710=3.1623

所以〃的置信度为0.90的置信区间为

94049404

(2-1.8331X-,2+1.8331x,)=(0.6064,3.3935)；

3.16233.1623

ba的置信区间为

"(n-l)S2(〃-西、

/2("T)ZL/2(»-1)?

忌05(9)=16.919,於95(9)=3.325

所以cr?的置信度0.90下的置信区间为

52.00252002、U(3.075,15.6397).

16.9193.325J

12.对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下:

品种A：86,87,56,93,84,93,75,79；

品种B：80,79,58,91,77,82,74,66.

假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产

量之差在置信度为0.95下的置信区间.

解此题是在b：=<7；的条件下求从-4的置信区间.

从-〃2的置信区间为

(N—F一a2(4+n2-25+—，N-P+Q/2(/+^-2)5,P-+^-

)HJ—

_1818

其中X=-^X.=81.625,S；=_(ZX；-8(81.625)2)=145.60

8i=\71•=]

_1818

P=—Z工=75.875,3；=—(£匕2-8x(75.875)2)=102.13

8z=i7i=]

s/(8-1)x145.60+(8-1)x102.131111

o...=J---------------------------=11.129,J—+—=—

V147nl电2

a=0.05,Z0025(14)=2.1448.

所以4的置信度为0.95下的置信区间为

(81,625-75.875-2.1448x11.129x1,81.625-75.875+2.1448x11.129x-)

22

=(-6.185,17.685).

13.设A和B两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电

阻，算得S：=S：=1.07x10-7,s；=S；=5.3x10-6,若A批导线的电阻服从N（4，8）

2

分布，8批导线的电阻服从N（〃2，。；），求与的置信度为0.90的置信区间.

。2

2

解与的置信区间为

's；/s；s；S

3，2（/T，〃2T）耳”2(%—1，”2一1)

其中S；=1.05!Il)52=£.36丘，%,49，=(4

外(4,4)=——!——=0.1565.

小5(4,4)

2

所以出的置信度0.90下的置信区间为

o-；

1.07/531.07/53

=(0.0032,0.1290).

6.39'0.1565

14.从一台机床加工的轴中随机地取200根测量其椭圆度，由测量值（单位：毫米）计

算得平均值又=0.081,标准差S=0.025,求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为

0.95的置信区间。

解因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均桶圆度为〃，由中心极

限定理驾3近似服从N（0,1）,对于给定的a,查正态分布表，求出临界值此,2使

yjrtS

.nX—n/.in/vSr；

1一a=2n/(一"a/2<-<“a/2)=尸(X一〃a/2~~T<〃<X+

\JnS7n

即〃的置信区间为

_c_cnnos()()75

(X—w—j=,X+u—7=)—(0.081—1.96—广，0.081+1.96—产)

4ny/n10V210V2

=(0.0775,0.0845).

15.在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货次品率的

置信区间（置信度近似为0.95）

解设次品率为p,100件产品中的次品数为X,由教材163页知，p的置信区间为

（Pi，小）,其中

19

16

a=103.84,0=35.84,c=2.56

于是p的置信度近似为0.95的置信区间为

(0.101,0.244).

假设检验

1.一台包装机装奶粉，额定标准重量为500g,根据以往经验，包装机的实际装袋重量服

从正态N（〃,cr；）,其中%=15g,为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得奶粉

净重数据如下（单位：g）

497506518524488517510515516

若取显著性水平£=0.05,问这包装机工作是否正常？

解建立假设

“＜）：〃=500；:〃工500

检验统计量为

a

当“0成立时，有U~N（0』），否定域为：Uu\>ua>

.2,

由P“U|>"a=£=0.05,查标准正态分布表，得%=”0.025=196

.2）2

将样本观测值带入计算得M=2.02>1.96

故否定”o,接受认为产品重量均值不再等于500克.亦即认为包装机工作不正常.

2.糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作

是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：

99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5

问该日打包机工作是否正常=0.05；已知包重服从正态分布）？

解又=99.9,S2=1（22（X,.-X）2）=1.47,S=1.21,

8,=i

问题是检验假设"o：〃=1°0

“°的否定域为|f|N%2（8）.

其中

,又一100/-99.98-100„八小

t=-------，9=----------x3=-0.05

S1.21

^（8）=2.306

因为

111=0.05<2.306=b（）25（8）

所以接受"o,即该日打包机工作正常.

3.设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~NRd）,今抽取容量为16的样本，测得

样本均值彳=10,样本方差/=0.16.（1）求〃的置信度为0.95的置信区间；（2）

2

检验假设H0:o-<0.1（显著性水平为0.05）.

（附注）垢5（16）=L746,05（15）=1.753,?0025（15）=2.132,

公05（16）=26.296,Z^05（15）=24.996,总出（⑸=27.488.

解：（1）〃的置信度为1一。下的置信区间为

（XX+%2（〃-1）_4=）

7n7n

X=10,5=0.4,〃=16,a=0.05,Zo025（15）=2.132

所以〃的置信度为0.95的置信区间为（9.7868,10.2132）

2

(2):才40.1的拒绝域为Z2/(〃一1).

15V2

z2=-=15x1.6=24,忌3(15)=24.996

因为/=24<24.996=/05（15），所以接受儿.

4.某批矿砂的5个样品中银含量经测定为X（%）：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25（。=0.01）?

解问题是在。2未知的条件下检验假设“0：〃=3.25

Ho的否定域为

口>%2（4）

_]5_

X=3.252,S2=-（^X,.-5xX2）=0.00017,5=0.013

4；=i

W（4）=4^041

X-3.25后3.252-3.25.»cu

t=--------J5=-----------x2.24=0.345

S0.013

因为

|r|=0.345<4,604l=r0005（4）

所以接受4°,即可以认为这批矿砂的锲含量为3.25.

5.按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素。的含量不得少于21毫克，现从某厂生

产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量（单位：毫克）如下

22,21,20,23,21,19,15,13,16,

23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。（a=0.025）

解设X为维生素C的含量，则X~N（〃，cr2）,X=20,S2=419.625,5=20.485,

n=17.问题是检验假设:

(1)"o:〃之21.

(2)选建统计量，并计算其值：

二J6二型3旧二《2。

S20.485

（3）对于给定的a=0.025查t分布表求出临界值ta（〃）=fog（16）=2.2.

（4）因为Too25（16）=-2.2O<-O.2O=f。所以接受“°,即认为维生素含量合格.

6.某种合金弦的抗拉强度X~N（〃，（T2）,由过去的经验知〃410560（公斤/厘米2）,

今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：

10512,10623,10668,10554,10776,

10707,10557,10581,10666,10670.

问这批弦线⑰抗拉强度是否提高了？(a=0.05)

解又=1063,S?=6558.89,5=80.99,n=10.问题是检验假设

Ho://<10560

(1)Ho:/z<10560.

（2）选统计量并计算其值.

X-10560广10631.4-10560

-------------7n=V10

80.99

=2.772

（3）对于a=0.05,查f分布表,得临界值Q（9）=Da（9）=1533.

（4）因6）5（9）=1-833<2.772=/,故否定即认为抗拉强度提高了。

7.从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得5=0.025,问该批轴料椭圆度的总体

方差与规定的b?=0.0004有无显著差别？（。=0.05,椭圆度服从正态分布）。

解S=0.025S=0.000/6S,,问题是检验假设"0=0.0004.

(1)“0:/=cr；=0.0004.

（2）选统计量力2并计算其值

(“—1»214x0.00065

222.75

z~c^~0.0004

(3)对于给定的a=0.05,查力?分布表得临界值

/,2(14)=万025a4)=26.119,沈a加4)=忌975a4)=5.629.

（4）因为％：975=5.629<22.75=/〈/ms=26.119所以接受儿,即总体方差与规

定的b?=0.0004无显著差异。

8.从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为

42,65,75,78,71,59,57,68,54,55.

问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80?（a=0.05,熔化时间服从正态分

布）.

解又=62.,52=121.82,〃=10,问题是检验假设“0480.

（1）:cr2<80=b；；

（2）选统计量/并