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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知点(m,8)在幂函数的图象上,设,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b2.如图是国家统计局公布的年入境游客(单位:万人次)的变化情况,则下列结论错误的是()A.2014年我国入境游客万人次最少B.后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C.这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D.前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差3.已知抛物线上一点到焦点的距离为,分别为抛物线与圆上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.4.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,其中左视图中三角形为等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积是()A. B.C. D.5.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年6.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()A.B.C.D.7.椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则的大小为()A. B. C. D.8.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:,,,,下列函数模型中拟合较好的是()A. B. C. D.9.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x10.“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数,如果为偶数就除以2,如果是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的()A.6 B.7 C.8 D.911.已知抛物线:的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,其中点在第一象限,若弦的长为,则()A.2或 B.3或 C.4或 D.5或12.已知函数若对区间内的任意实数,都有,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动,服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目,每人限报其中一项,记事件为“4名同学所报项目各不相同”,事件为“只有甲同学一人报走进社区项目”,则的值为______.14.已知函数是定义在上的奇函数,且周期为,当时,,则的值为___________________.15.函数的定义域是.16.在的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则_______,项的系数等于________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂生产一种产品的标准长度为,只要误差的绝对值不超过就认为合格,工厂质检部抽检了某批次产品1000件,检测其长度,绘制条形统计图如图:(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望;(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取2件,假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时,该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值.18.(12分)已知均为正实数,函数的最小值为.证明:(1);(2).19.(12分)已知函数,它的导函数为.(1)当时,求的零点;(2)当时,证明:.20.(12分)已知函数有两个极值点,.(1)求实数的取值范围;(2)证明:.21.(12分)已知函数.(1)若在处取得极值,求的值;(2)求在区间上的最小值;(3)在(1)的条件下,若,求证:当时,恒有成立.22.(10分)《山东省高考改革试点方案》规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;2020年开始,高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级.参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.选考科目成绩计入考生总成绩时,将至等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到、、、、、、、八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.(1)求物理原始成绩在区间的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,记表示这3人中等级成绩在区间的人数,求的分布列和数学期望.(附:若随机变量,则,,)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

先利用幂函数的定义求出m的值,得到幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,再利用幂函数f(x)的单调性,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知,m﹣1=1,∴m=2,∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故选:B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质,以及利用函数的单调性比较函数值大小,属于中档题.2、D【解析】

ABD可通过统计图直接分析得出结论,C可通过计算中位数判断选项是否正确.【详解】A.由统计图可知:2014年入境游客万人次最少,故正确;B.由统计图可知:后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势,故正确;C.入境游客万人次的中位数应为与的平均数,大于万次,故正确;D.由统计图可知:前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大,所以对应的方差更大,故错误.故选:D.【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解,难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图,分析出对应的信息,对学生分析问题的能力有一定要求.3、D【解析】

利用抛物线的定义,求得p的值,由利用两点间距离公式求得,根据二次函数的性质,求得,由取得最小值为,求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上,准线方程,则点到焦点的距离为,则,所以抛物线方程:,设,圆,圆心为,半径为1,则,当时,取得最小值,最小值为,故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题,涉及到的知识点有抛物线的定义,点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径,二次函数的最小值,属于中档题目.4、C【解析】

作出三视图所表示几何体的直观图,可得直观图为直三棱柱,并且底面为等腰直角三角形,即可求得外接球的半径,即可得外接球的体积.【详解】如图为几何体的直观图,上下底面为腰长为的等腰直角三角形,三棱柱的高为4,其外接球半径为,所以体积为.故选:C【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心的确定.5、D【解析】

根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.6、B【解析】

根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,即判断框内的不等式应为或所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.7、C【解析】

根据椭圆的定义可得,,再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意,,,又,则,由余弦定理可得.故.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的定义,考查余弦定理,考查运算能力,属于基础题.8、D【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.【详解】如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,故选:D.【点睛】本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.9、A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a210、B【解析】

模拟程序运行,观察变量值可得结论.【详解】循环前,循环时:,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,满足条件,退出循环,输出.故选:B.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.11、C【解析】

先根据弦长求出直线的斜率,再利用抛物线定义可求出.【详解】设直线的倾斜角为,则,所以,,即,所以直线的方程为.当直线的方程为,联立,解得和,所以;同理,当直线的方程为.,综上,或.选C.【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时,一般考虑抛物线的定义.12、C【解析】分析:先求导,再对a分类讨论求函数的单调区间,再画图分析转化对区间内的任意实数,都有,得到关于a的不等式组,再解不等式组得到实数a的取值范围.详解:由题得.当a<1时,,所以函数f(x)在单调递减,因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以故a≥1,与a<1矛盾,故a<1矛盾.当1≤a<e时,函数f(x)在[0,lna]单调递增,在(lna,1]单调递减.所以因为对区间内的任意实数,都有,所以,所以即令,所以所以函数g(a)在(1,e)上单调递减,所以,所以当1≤a<e时,满足题意.当a时,函数f(x)在(0,1)单调递增,因为对区间内的任意实数,都有,所以,故1+1,所以故综上所述,a∈.故选C.点睛:本题的难点在于“对区间内的任意实数,都有”的转化.由于是函数的问题,所以我们要联想到利用函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等)来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来,完成了数学问题的等价转化,找到了问题的突破口.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据条件概率的求法,分别求得,再代入条件概率公式求解.【详解】根据题意得所以故答案为:【点睛】本题主要考查条件概率的求法,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.14、【解析】

由题意可得:,周期为,可得,可求出,最后再求的值即可.【详解】解:函数是定义在上的奇函数,.由周期为,可知,,..故答案为:.【点睛】本题主要考查函数的基本性质,属于基础题.15、【解析】解:因为,故定义域为16、81【解析】

根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.【详解】由于所有项的二项式系数之和为,,故的二项展开式的通项公式为,令,求得,可得含x项的系数等于,故答案为:8;1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列,再根据期望公式即可求出;(2)由(1)可知,任取一件产品是标准长度的概率为0.4,即可求出随机抽取2件产品,都不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品,至少有1件是标准长度产品的概率,判断其是否符合生产要求;当不符合要求时,设生产一件产品为标准长度的概率为,可根据上述方法求出,解,即可得出最小值.【详解】(1)由柱状图,该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表:00.010.020.030.04频率0.40.30.20.0750.025所以的数学期望的估计为.(2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4,设至少有1件是标准长度产品为事件,则,故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为,由题意,又,解得,所以符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法,相互独立事件同时发生的概率公式的应用,对立事件的概率公式的应用,解题关键是对题意的理解,意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力,属于基础题.18、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】

(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值,再运用柯西不等式,即可得到最小值.(2)利用基本不等式即可得到结论,注意等号成立的条件.【详解】(1)由题意,则函数,又函数的最小值为,即,由柯西不等式得,当且仅当时取“=”.故.(2)由题意,利用基本不等式可得,,,(以上三式当且仅当时同时取“=”)由(1)知,,所以,将以上三式相加得即.【点睛】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算能力,属于中档题.19、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】

当时,求函数的导数,判断导函数的单调性,计算即为导函数的零点;

当时,分类讨论x的范围,可令新函数,计算新函数的最值可证明.【详解】(1)的定义域为当时,,,易知为上的增函数,又,所以是的唯一零点;(2)证明:当时,,①若,则,所以成立,②若,设,则,令,则,因为,所以,从而在上单调递增,所以,即,在上单调递增;所以,即,故.【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性,单调性,零点的求法.注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用.20、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)先求得导函数,根据两个极值点可知有两个不等实根,构造函数,求得;讨论和两种情况,即可确定零点的情况,即可由零点的情况确定的取值范围;(2)根据极值点定义可知,,代入不等式化简变形后可知只需证明;构造函数,并求得,进而判断的单调区间,由题意可知,并设,构造函数,并求得,即可判断在内的单调性和最值,进而可得,即可由函数性质得,进而由单调性证明,即证明,从而证明原不等式成立.【详解】(1)函数则,因为存在两个极值点,,所以有两个不等实根.设,所以.①当时,,所以在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意.②当时,令得,0减极小值增所以,即.又因为,,所以在区间和上各有一个零点,符合题意,综上,实数的取值范围为.(2)证明:由题意知,,所以,.要证明,只需证明,只需证明.因为,,所以.设,则,所以在上是增函数,在上是减函数.因为,不妨设,设,,则,当时,,,所以,所以在上是增函数,所以,所以,即.因为,所以,所以.因为,,且在上是减函数,所以,即,所以原命题成立,得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点,由导数证明不等式,构造函数法的综合应用,极值点偏移证明不等式成立的应用,是高考的常考点和热点,属于难题.21、(1)2;(2);(3)证明见解析【解析】

(1)先求出函数的定义域和导数,由已知函数在处取得极值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定义域为,分,和三种情况讨论,分别求得函数的最小值,即可得到结论;(3)由,得到,把,只需证,构造新函数,利用导数求得函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由,定义域为,则,因为函数在处取得极值,所以,即,解得,经检验,满足题意,所以.(2)由

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