第二章 2．1-教案课件-人教版高中数学必修第一册

第㈡章一元二次函数、方程和不等式

DIERZHANG2.1等式性质与不等式性质

标BLL±±J(教师独具内容)

课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能

运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际

问题.

教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.

教学难点：用作差法比较代数式的大小.

核心概念掌握

【知识导学】

知识点一等式的性质

(1)如果a=b,那么a+c=b+c.

(2)如果a=b,那么ac=bc或2=g(cWO).

(3)如果a=b,b=c,那么Q=C.

知识点二作差比较法

(1)理论依据：回〃—；逗［q—b=0-a=b；画a—b<Oga〈b.

(2)方法步骤：①蚂作差;②暨整理;③蚂判断符号;④蚂下结论.

知识点三两个实数大小的比较

(1)«>/?<=>回q-h>0；

⑵a=ga—(园=0；

(3)圆a<b^a—b<Q.

知识点四不等式的性质

(1)如果。>人，那么人<〃；如果/?<〃，那么回a>b,即国a>bQb<a.

(2)如果a>/?,且b>c,那么画a>c,即a>Z?,b>c=国Qc.

(3)如果a>h,那么a+c圆明+c.

(4)如果a>。，c>0,那么ac国*c；如果a>。，c<0,那么ac回:1c.

(5)如果a>b,c>d,那么a+c幽次+”.

(6)如果a>b>0,c>d>Q,那么ac圆沙d；

如果a>b>0,c<d<0,那么ac园pd.

⑺如果a>0>0,那么相回沙(“GN,”22).

⑻如果园a乂>>0,那么%>g^(〃6N,422).

【新知拓展】

1.关于不等式性质的理解

两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如a>A,c>d不能推出a—c>b—

d.

2.常用的结论

(l)a>b,ab>00:</

,11

⑵。<0<a=>?"

(3)a>b>0,c>d〉O今》，；

a+机aa-mbb+mbb-m

(4)右a>b>0,m>0,则大乙工；7<T(Z>—7n>0)；­<,；->(b—m>0).

bb+mbb-maa+maa-m

3.比较大小的方法

比较数(式)的大小常用作差与0比较.

作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为

“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二

者并用.

4.利用不等式求范围应注意的问题

求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具

有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避

免改变代数式的取值范围.

评价自嬲

1.判一判(正确的打“，错误的打“义”)

(1)若/=0,贝Ux20.()

(2)两个实数a,b之间，有且只有a>。，a=b,三种关系中的一种.()

(3)若a>b,则ac2)｝好.()

(4)若a>b>0,贝心>(.()

(5)若x>l,则2+2x与x2+2的大小关系为r+ixAd+Z』)

答案(1)V(2)V(3)X(4)X(5)J

2,做一做

(1)已知a+b>0,b<0,那么a,b,~a9—b的大小关系是()

A.a>b>-b>——aB.a>-b>——a>b

C.a>—h>h>—aD.a>b>—a>~b

⑵设。<Q,d<c,则下列不等式中一定成立的是()

A.a-c>h—dB.ac>hd

C.a+c>h+dD.a+d>b+c

(3)已知xvl,则f+2与3x的大小关系是.

答案(1)C(2)C(3)f+2>3x

I核心素养形成I

题型一作差法比较大小

例1比较下列各组中两数的大小：

(1)已知a,b为正数，且比较〃+护与苏匕+加卷

⑵已知x<l,比较丁一1与浮一2人；

•一114

(3)已知x,y均为正数，设m=(+］,〃=百不比较m与〃的大小.

［解］(1)(苏+护)一(〃2。+加2)

=苏+匕3­〃2。一〃匕2

=/(〃~b)———b)

=(a—8)(〃2——从)

=(a-b)2(a+b).

Va>0,b>0且aW/?,(a—b)2>0,a+Z?>0,

/.(^3+Z?3)-(«2Z?+^2)>0,即a^+b^h+ab2.

(2)/—1—(2X2—2X)=X3-2JC2-1-2X—1

=(^—X2)—(X2-2X+l)=x2(x-1)—(%—I)2

=(x—IXx2—x+l)=(x-1).

Vx<l,J.x—1<0.又Q-，2+［>o,

(x—1)1%—<。，•'••X3—1<2幺-2x.

__11_4_x+y_4_(x+y)2_4ry_(x_y)2

().m〃一彳十yx+y~xyx+y~~孙(x+y)-xX^+y)>

又x,y均为正数，

Ax>0,y>0,xy>0,x+y>0,(%—y)220.

...相一〃>0,即m2〃(当x=y时，等号成立).

［变式探究］若将本例⑵中“广1”改为“x£R”，则x3-1与2^-2%的大小

又如何呢？

解由例题知x3—1—(2f—2x)=(x—1)(%―，)2+(，二•1—0之++乂)，

・••当x—1<0,即xvl时，%3-1<2JT—2x；

当x—1=0,即x=l时，X3—1=2x1—2x；

当x—1>0,即尤>1时，%3—1>2^—2x.

金版点睛

作差比较法的四个步骤

[跟踪训练1](1)比较r+6x与f+6的大小;

(2)已知a,x=a3~b,y=c^b~a,试比较了与y的大小.

解(l)(x3+6x)—(x2+6)=x(x2+6)—(^+6)=(^—l)(x2+6).

Vx2+6>0,

当x>l时，X3+6X>JC2+6；

当x=l时，X3+6X=X2+6；

当x<\时，A3+6X<JT+6.

(2)x^y=ai-b—crh+a=a2(a—h)+a—h

=(。一力(。2+1).

当时，x—y>0,所以x>y；

当a=Z?时，x—y=O,所以x=y；

当a〈Z?时，x—yVO,所以xVy.

题型二不等式的性质及应用

例2下列命题正确的是

且c>O^a>h；

@a>b且c>d^ac>bd\

③〃泌>0且c>d>O0

b、,

尸。泌.

[vI]

[解析]①ab，=>-<^;当a<0,抗>0时，满足已知条件，但推不出。泌,

lc〉O、’‘

二①错误.

②当a=3,h=l,c=—2,d=-3时，命题显然不成立....②错误.

③U/X）今a武b>°今7[丁ci/成[b立.，③_正确.

④显然/>0,.,.两边同乘以0?得a>8..,.④正确.

[答案]③④

金版点睛

解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所

需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结

论，也可举出一个反例予以否定.

[跟踪训练2](1)判断下列命题是否正确，并说明理由：

①若色弓，则ad>bc-,

②设a,为正实数，若a—><。一"，则a<b.

⑵若a<XO,分别判断下列式子是否成立，并简述理由:

解⑴①由臀，所以：一30,

ad-he”,ad~bc>0,ad~bc<0,

即~^°，所以或

cd>0cd<0.

即ad>bc且cd>0或ad<bc且cd<0,故不正确.

②因为〃一一<。一"，且〃>。，。>。，所以—b<ab1—a^c^b—ab2~b+a<0

^ab(a-b)+(a~b)<O=>(a—b)(ab+1)<0,所以a~b<0,即a<b正确.

(2)①成立.由a<b<0得a<a~b<0,

［1

所以a-b^a'

②成立.因为中。<0,所以a+〃<〃<0,

所以*4

题型三利用不等式的性质证明不等式

例3(1)已知e>f,c>0,求证：f—ac<e-bc\

(2)已矢口c<d<G,求证：~^~<ja,；

a-cb-d

、八一a+Z7/+d

(3)已知be—a43儿/>0.求证：W《/.

［证明］c>0,ac>bc.

-ac<—hc.

,:卜e,:•于一ac<e——be.

(2)c<d<0,/.-c>—d>0.

又a>b>0f，a—c>b—d>0.

.11_八,ha

・・0<----<7―^再由・・---<7-

a-cb—da-cb-a

⑶・"c-a心0,:.adWbc,又•：bd>0,

•«<£.£|<£|•a+bc+d

++丁w

金版点睛

利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧

(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成

立的条件.

(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结

构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.

［跟踪训练3］⑴已知c>aM>0,求证：，-〉々；

c-ac-b

11Yv

(2)已知a,b,x,y都是正数，且犬>p，求证：不上

证明⑴:。〉〃，/.—a<—b,又c>a>〃>0,0<c—a<c—b,

--~>-^>0.又a>h>0,「・a>b

c-ac-bc-ac-b

⑵Ta,b,x,y都是正数，且悬，心》「J小故则£+1彳+屋即

Xy.

题型四利用不等式的性质求取值范围

例4(1)已知2<aW5,3〈b<10,求a—b,称的取值范围;

(2)已知一畀冰”芍，求因斐，气粗的取值范围.

［解］(l)V3^<10,・・・-10<一"W—3.

乂2<nW5，/.——8<。——

1111a5

又<w-<V-

-3-5g、3

10

兀

兀

一

2一2

两式相加得一

河嗡牛一然

，■=.TI_a—fin

两式相加得一

pa-B?t一a—0

又a<£,；.一%匕<0,/.—-^-j-<0.

［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求a+江必的取值范围.

解由2«zW5,3W0V10得

2+3<a+/?<5+10,2X3<aZ?<5X10,

即5<a+h<l5,6<ah<50.

金版点睛

利用不等式的性质求取值范围应注意的问题

本题中不能直接用a的范围去减或除人的范围，应严格利用不等式的性质去

求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的

"范围”间的联系.如已知20Vx+y<30,15Vx—yV18,要求2x+3y的范围，

不能分别求出x,y的范围，再求2x+3y的范围，应把已知的“x+y”“x-y”

视为整体，即2x+3y=*x+y)—g(x—y),所以需分别求出界+y),—g(x—y)的范

围，两范围相加可得2x+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，

一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找

到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.

［跟踪训练4］已知l，-bW2,且2Wa+bW4,求4a—2b的取值范围.

解令a+/?=〃，a~b=v,

则2W〃W4,1，W2.

//+u

由解得1

a-b=v,

「2•

,、，U~\~VU-V

因t为4〃-2/?=4芦］--2・广一

=2〃+2。­〃+0=4+3。,

而2W〃W4,3W3oW6,

所以5W〃+3oW10.

所以5W4a—2bW10.

随堂水平达标

1.若m=f—1,n=2(x+1)2—4(x+1)+1,则m与〃的大小关系是()

A.m<nB.m>n

C.m^nD.mW几

答案D

解析n—m=x2^O,:.n》m.

2.设a,b,c,JGR,贝lj()

A.a>b,c=cic^bd

—ab、f

cc

C.。历>o=>l<工

ab

11

9202_