椭圆IIR高通数字滤波器

南华大学电气工程学院数字信号处理课程设计设计题目：椭圆高通IIR数字滤波器专业：10级电子02班学生姓名:王超学号:20104470245起迄日期:2013年12月26日—2014年1月11日指导教师:陈忠泽总体设计思路根据rand函数产生的0-1之间随机值计算数字高通滤波器的技术指标。将数字高通滤波器的边界频率转换成模拟高通滤波器的边界频率。将模拟高通滤波器的的技术指标转换成归一化的椭圆模拟低通滤波器的技术指标。设计归一化椭圆低通滤波器原型GLP(s通过频率转换将GLP(s)转换成过渡的模拟高通滤波器G采用双线性变换法将过渡的GHP（s手工计算完成椭圆IIR数字高通滤波器的初始设计数字高通滤波器的设计指标通带截止频率ωpc阻带截止频率ωsc通带最大衰减ap阻带最小衰减a其中，ω1，ω2为两个用MATLAB的rand函数随机产生的0-1之间的值，且有ω1〔1〕通带截止频率：ωpc=ω2〔2〕阻带截止频率：ωsc=ω1〔3〕通带最大衰减：a〔4〕阻带最小衰减：a将数字高通滤波器设计指标转换成模拟高通滤波器设计指标频率转换关系为：Ω=2Ttan1Ωph=Ωsh=0.aa转换成归一化椭圆滤波器设计指标归一化边界频率椭圆滤波器的归一化低通原型一般选择关于通带边界频率Ωph归一化的低通系数在虚轴上低通到高通滤波器的映射关系为如下频率变换公式λ=-综合上述，得：归一化通带边界频率λ归一化阻带边界频率λ确定椭圆滤波器最小阶数定义频率的选择性因数k为：k=令:q0q=qb2=ε2=椭圆滤波器的最小阶次N可表示为：N≥经计算，最小阶数为N=4。设计归一化椭圆低通滤波器原型GLP(s椭圆滤波器的幅频响应函数公式为：G其中，ε是与通带衰减有关的参数，Ωs为截止频率，EN（Ωε=将λP和λs的几何平均值λ这时通带截止频率的归一化值和阻带截止频率的归一化值分别为：λλ在以λ0：最低阶数N=4通带最大衰减阻带最大衰减a通带边界频率λs=查表可得归一化传递函数：GLP(p)=将归一化椭圆低通滤波器转换为模拟高通滤波器从低通到高通滤波器的映射关系为p=因此，模拟高通滤波器的传递函数为GG模拟高通滤波器转换为数字高通滤波器从Z平面上的一点映射到S平面一点双线性变换为S=因此,数字传输函数HHPZ和原模拟函数GHH检验检验上述变量计算结果为了检验上述变量是否计算正确，我编写了从第一步到第三步所有变量计算的M文件脚本。M文件和计算结果如图1.1和图1.2所示：图1.1M文件脚本图2.2运行结果结论：经检验，手工计算与计算机计算得出的结果完全相符。检验最终得出的数字高通滤波器传递函数根据数字信号处理教材上关于椭圆滤波器的一些介绍，我编写了直接设计椭圆数字滤波器的M文件，源程序和运行结果如图2.3和图2.4所示：图2.3图2.4结论：通过matlab函数直接设计椭圆数字高通滤波器检验，结果与上述手工计算相符。滤波器的不同结构对性能指标的影响利用直接型结构构建数字滤波器在MATLAB中可以利用FDATOOL工具箱构建不同类型的数字滤波器。在此为了使比照效果明显，我们不妨先将将上述初步设计的椭圆数字IIR带阻滤波器的设计参数的字长〔即转移函数中分子、分母各项前的系数〕进行保存小数点后3位的进一步的缩减。缩减后的参数如下:den=[0.051,-0.165,0.235,-0.165,0.051]num=[1.000,1.117,1.347,0.750,0.267]图4.1.1filtercoefficients工具工作界面直接型的结构流图如下图：x(n)0.051y(n)-0.165-1.1170.235-1.347-0.165-0.7500.051-0.267图4.1.2直接型I型结构流图选择filterstructure选项框中的Direct-FormI选项，点击窗口下方的ImportFilter按钮，构建直接1型结构的椭圆高通滤波器，结果如下图：图4.1.3Direct-FormI型结构的滤波器幅频响应图读图可以得Direct-FormI结构的滤波器技术指标〔ws,wp单位为；,,单位为dB〕如表1所示：表Direct-FormI结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标Direct-FormI△ω0.27850.28002930.0015293ω0.54690.5319824-0.01491766059.69624-0.3037611.0206320.020632分析：由图和表4.1.1可以看出，ws上升0.0015293，wp下降了0.0149176，as下降0.30376db，ap上升0.020632db。阻带的幅频响应曲线更加平滑，Direct-FormI造成性能指标的误差很大，不能忽略。2、利用级联结构构建数字滤波器级联型的结构流图如图4.2.1所示：x(n)y(n)α1jα1jβ1jα2jβ2j图4.2.1级联型的结构流图利用matlab信号工具箱提供的tf2sos函数，可以将直接型结构转换到级联型结构，具体操作如图4.2.2和图4.2.3所示：图4.2.2M文件脚本图4.2.3运行结果在importassecond—ordersections选项前打勾，在SOS栏和Gain栏填入上面生成的S和G。filtercoefficients工具工作界面选择Edit下拉菜单中点击ConverttoSecond-orderSections选项，将构建好的Direct-FormI结构的椭圆数字IIR带阻滤波器转换为级联滤波器，结果如图4.2.5所示。图级联型结构的滤波器幅频响应图读图4.2.5可以得级联结构的滤波器技术指标〔fs,fp单位为；,,单位为dB〕如表2所示：表级联结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标级联结构△ω0.27850.28088380.00238838ω0.54690.5319824-0.01491766060.005740.0057410.9999995-0.0000005分析：由图4.2.5和表可以看出，ws上升0.00238838，wp下降了0.0149176，as上升0.00574B，ap下降0.0000005dB。与上面相比误差减小，级联结构造成性能指标误差较Direct-FormI更小，误差可以忽略。3、两种结构滤波器对指标影响比拟与原因分析比拟表4.1.1和表4.2.1发现：在参数字长仅保存了小数点后3位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。但是直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在：直接型ws,wp,和与设计要求相应的性能间的差的绝对值普遍大于级联型。此外，直接型和级联型的幅频响应曲线的通带的波动均不稳定，但是级联型的稳定性要好于直接型。造成这一现象的原因是：直接型滤波器的系数不是直接决定单个零极点，因而不能很好的进行滤波器性能的控制；此外直接型滤波器的极点对参数的变化过于敏感，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，也就是对参数的有限字长运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。相比之下，级联型滤波器每个二阶节系数单独控制一对零、极点，有利于控制频率响应；此外级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型就小。三、参数字长对性能指标的影响在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，那么设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。下面就将以上述性能指标为依据，初始设计的椭圆数字IIR带阻滤波器为例，研究不同参数字长对性能指标的影响。并为适宜参数字长确实定探索规律。运用FDATOOL工具左下侧上数第三个的Setquantizationparameters按钮，在filterarithmetic下拉菜单下选择FixedPoint选项，进入工作界面。通过改变coefficientwordlength的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长。参数字长取2位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为2，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图：图参数字长取2位时的滤波器幅频响应曲线图图中的虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为2位时的滤波器幅频响应曲线。从图中可以看出：字长为2位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，滤波效果很差，远远不能满足设计指标的要求。参数字长取4位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为4，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图8和表3所示：图参数字长取4位时的滤波器幅频响应曲线图表3参数字长取4位时的实际性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构△ω0.27850.30163570.0231357ω0.54690.62048340.07358460**1**由图8和表3可以看出，当参数字长取为4位时，幅频曲线失真度较2位时有明显改良，但仍很明显：通、阻带截止频率分别有较大的偏移，使得截止频率坡度非常平缓，滤波效果很差。通带和阻带波动平缓，最小和最大衰减频率不明显，通带甚至出现了正增益。离设计指标差距仍然很大。参数字长取6位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为6，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图9和表4所示：图4.3.1参数字长取6位时的滤波器幅频响应曲线图表4.3.1参数字长取6位时的实际性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构△ω0.27850.27941890.0009189ω0.54690.53918450.00771556060.557650.5576511.9214430.921443由图和表4.3.1可以看出，当参数字长取为6位时，幅频曲线失真进一步减小，已经初具带阻滤波器的形制。性能指标也明显接近设计要求：通、阻带截止频率与设计要求间的误差已经缩小至0.02的范围内，截止频率的坡度也已经十分陡峭；但是通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是很大，离设计要求距离还是较远。参数字长取8位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为8，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图10和表5所示：图4.4.1参数字长取8位时的滤波器幅频响应曲线图表参数字长取8位时的实际性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构△ω0.27850.28027340.0017734ω0.54690.5440674-0.00283266060.016070.01660711.3030120.303012由图和表可以看出，当参数字长取为8位时，幅频曲线失真进一步减小，但仍可以看出。性能指标与设计要求的差值继续减小，也已不明显；通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是有一定的差距，距离设计要求仍可以进一步接近。参数字长取10位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为10，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图11和表6所示：图参数字长取10位时的滤波器幅频响应曲线图表参数保存小数点后10位时的性能指标一览表性能指标初始设计指标级联结构△ω0.27850.28076170.0022617ω0.54690.54553220.00136786059.71621-0.2837911.1410210.141021由图和表可以看出，当参数字长取为10位时，幅频曲线失真进一步减小，但程度已经很小，失真几乎可以忽略。截止频率已与设计要求相差无几，改善的程度也变得很小；通带最大衰减和阻带最小衰减仍然和设计要求有微小的差距，不可以忽略。参数字长取12位对性能指标的影响将coefficientwordlength的值改为12，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图12所示：图参数字长取12位时的滤波器幅频响应曲线图由图可以看出，当参数字长取为12位及以上时，幅频曲线失真几乎为零，设计的曲线与要求的曲线几乎完全重合。截止频率，同组带衰减也与设计要求几乎完全相同。设计的滤波器各项性能指标到达设计要求。结论总结以上6个步骤发现：参数字长越长，设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性