高中数学必修一必修四知识点总结

皿

数J

学

知

识

点

总

结

高中数学必修1学问点

第一章集合及函数概念

R1.U集合

[1.1.11集合的含义及表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

(2)常用数集和其记法

N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，。表示有理数集，R表

示实耀

(3)集合及元素间的关系

对象。及集合M的关系是aeM,或者aeM,两者必居其一.

只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

(4)集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描绘集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描绘法：｛x|x具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

(5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.

②含有无限个元素的集合叫做无限集.

③不含有任何元素的集合叫做空集(0).把探讨的对象统称为元素，把一些元素组成的

总体叫做集合。

[1.1.2]集合间的根本关系

1、一般地，对于两个集合A、B,假如集合A中随意一个元素都是集合B中的元素，则

称集合A是集合B的子集。记作A=

2、假如集合A=但存在元素xeB,且xeA,则称集合A是集合B的真子集.记作:

A£B.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：。.并规定：空集合是任何集合的子集.

4、假如集合A中含有n个元素，则集合A有2"个子集，2"-1个真子集.

5、子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

(l)AcA

A^B

A中的任一元⑵0cA

(或

子集

素都属于B(3)若且B=则AqC

5")或

(4)若A=B且B=贝ljA=3

AuB(1)0uA(A为非空子集)

*ARB,且B中*

真子

若且贝

(或至少有一元素(2)ANuBWBuC工,ijAuC

集

Bz工>A)不属于A

A中的任一元

集合(1)AQB

A=B素都属于B,B

相等(2)BQA

中的任一元素

都属于A

6、已知集合A有〃(〃21)个元素，则它有2"个子集，它有2"-1个真子集，它有2"-1个非空

子集，它有2"-2非空真子集.

［1.1.3］集合的根本运算

1、一般地，由全部属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A及B的并集.记

作：AU8.

2、一般地，由属于集合A且属于集合B的全部元素组成的集合，称为A及B的交集.记

作：AAB.

3、全集、补集QA={X|XGU,且x任U}

名记

意义性质示意图

称号

(1)Ap|A=A

交A且

(2)AH0=0

集XGB)

(3)GD

(1)AUA=A

并4或

A\JB(2)AU0=A

集xeB}

(3)A\JB^A

AUBqB

补1AD&A)=0

且x纪A}瘩(AnB)=("A)U(3B)

欷AUB)=(〃A)n(”)2AU@A)=U%©

集

［1.2.1］函数的概念

］、函数的概念

设A、B肩F空的数集，假如依据某种确定的对应关系九使对于集合A中的随意一个

数x,在集合B中都有惟一确定的数/(x)和它对应，则就称广为集合A到集合B的

一个函数,记作：y=f(x),xeA.

函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

假如两个函数的定义域一样，并且对应关系完全一样，则称这两个函数相等

[1.2.2]函数的表示法

2、函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.

列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.

图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

3、映射的概念

①设A、8是两个集合，假如依据某种对应法则/,对于集合A中任何一个元素，在集

合8中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A,8以和A到8的对应法则/）

叫做集合A到8的映射，记作%

②给定一个集合A到集合B的映射，且假如元素。和元素。对应，则我们

把元素人叫做元素。的象，元素。叫做元素匕的原象.

K1.33函数的根本性质

[1.3.1]单调性及最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义和断定方法

函数的

定义图象断定方法

性质

假如对于属于定义(1)利用定义

域I内某个区间上的(2)利用已知

随意两个自变量的函数的单调性

值、当

XiX2,X1<X?y*y=f（x）/(3)利用函数

时，都有f♦(♦x・j•v・♦f・(♦x・2•)•,图象(在某个区

f（xj

则就说f(x)在这个区0X,x,X间图

间上是增函数.象上升为增)

(4)利用复合

函数的函数

单调性(1)利用定义

假如对于属于定义(2)利用已知

域I内某个区间上的函数的单调性

随意两个自变量的yy=f（x）(3)利用函数

值、当f（x.）

XiX2,X1<X?图象(在某个区

时，都有

f・(・X・♦i・)>・f・(♦x•2♦・),0x,x,X间图

则就说f(x)在这个区象下降为减)

间上是憾酉数.(4)利用复合

函数

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去

一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.

③对于复合函数y=Gg3)］，令〃=g(x),若y=/(«)为增,»=g(x)为增，则y=/Ig(x)］为

增；若>=/(")为减，"=g(x)为减，贝Uy=/Ig(x)］为增；若>=/(〃)为增，&=g(x)为减,

则y=f［g(x)］为减;若y=/(〃)为减，〃=g(x)为增,则y=〃g(x)］为减•

(2)打函数/(》)=*+々。〉0)的图象及性质

X

/(无)分别在［后一)上为增函数，分

别在［-八,。)、(o,G］上为减函数.

(3)最大(小)值定义

①一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存

在实数M满意：(1)对于随意的"/,都有

fix)<M;

(2)存在,使得/*o)=M.则，我们称M是函数/(x)的最大值,记作利(x)=M.

②一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,假如存在实数加满意：(1)对于随意的xe/,

都有/(x)N根；(2)存在x°e/,使得/(%)=加.贝IJ,我们称加是函数/(x)的最小值，

记作£^(无)=加•

［1.3.2］奇偶性

(4)函数的奇偶性

①定义和断定方法

函数的

定义图象断定方法

性质

假如对于函数f(x)定(1)利用定义

义域内随意一个X,(要先推断定

都有f(-x)=-f(x),

y义域是否关于

函数的(a,f(a))

则函数f(x)叫做奇事-a「一

oax原点对称)

奇偶性

数.(-a,f(~a))(2)利用图象

(图象关于原

点对称)

假如对于函数f(x)定(1)利用定义

义域内随意一个X,(要先推断定

都有1一的=«对,则1义域是否关于

(-a.f(-a))-(a,f(a))

函数f(x)叫做假国二匚原点对称)

-aoax

教.(2)利用图象

(图象关于y

轴对称)

②若函数/(X)为奇函数，且在x=0处有定义，则/(0)=0.

③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性一样，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性

相反.

④在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，

两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数及一个奇函数的积(或商)

是奇函数.

R补充学问】函数的图象

(1)作图

①平移变换

②伸缩变换

③对称变换

第二章根本初等函数(I)

K2.13指数函数

[2.1.11指数及指数骞的运算

1、根式的概念

(1)一般地，假如无”=。，贝Ijx叫做”的〃次方根。其中〃>L〃wN+.

(2)当〃为奇数时，府=a；

(3)当〃为偶数时，后■小广

-a(a<0)

(4)我们规定：

(5)运算性质：

留意口诀：底数取倒数，指数取相反数.

[2.1.2]指数函数和其性质

(4)指数函数

函数名称指数函数

定义函数y=aYa〉0且。声1)叫做指数函数

a>10<。<1

\J=|7

图象

J=1(0,1)

V]J

定义域R

值域(0,+oo)

过定点图象过定点(0,1),即当X=()时，y=l.

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

a'>1(x>0)ax<1(x〉0)

函数值的

ax=\(x=0)ax=1(x=0)

改变状况ax<1(x<0)a'>1(x<0)

。改变对图象在第一象限内，。越大图象越高；在第二象限内，。越大图象

的影响越低.

R2.2U对数函数

[2.2.1]对数及对数运算

(1)对数的定义

①若4=N(a>0,且awl),则x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,其中。叫做底数,

N叫做真数.

②负数和零没有对数.

③对数式及指数式的互化：x=log“N=，=N(a>(),"l,N>()).

(2)几个重要的对数恒等式

(3)常用对数及自然对数

常用对数：lgN,BPlogl07V;自然对数：InN,即log*(其中e=2.71828…).

(4)对数的运算性质假如a>0,a¥l,M>0,N>0,贝

①加法：log“M+log„N=log„(MN)②减法：log”M-log.N=log„果

n

③数乘：nlogflM=logflM(ne7?)④*"”=N

⑤log〃M"=?log,M(b芋0,nGR)⑥换底公式：log。N=粤2S>0,且bH1)

blog%a

⑦倒数关系：log“b="—(a>0,a^i,b>0,b^l).

log/,a

[2.2.2]对数函数和其性质

(5)对数函数

函数

对数函数

名称

定义函数〉=108“道4>0且。/1)叫做对数函数

P71否a＞\()＜。＜1

X=1IX=1

y=logaXyy=iog„*

二(1,0)

11L7(1,0)x0

定义域(0,+oO)

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当X=1时，y=o.

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

logx>0(x>l)log,x<0(x>l)

函数值的fl(

log“无=0(x=l)log“x=0(x=l)

改变状况

logax<0(0<x<1)logax>0(0<x<1)

。改变对图象的在第一象限内，。越大图象越靠低；在第四象限内，。越大图

影响象越靠高.

⑹反函数的概念

设函数y=/(%)的定义域为A,值域为C,从式子y=/(x)中解出x,得式子x=奴)，).假

如对于y在C中的任何一个值，通过式子x=e(y),x在A中都有唯一确定的值和它对应，

则式子x=e(y)表示x是y的函数，函数x=°(y)叫做函数y=/(x)的反函数，记作

%=广3),习惯上改写成"尸(x).

(7)反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=/r(y);

③将x=尸⑺改写成y=⑶，并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

①原函数y=/(X)及反函数y=广|*)的图象关于直线y=X对称.

②函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数^=/共口的值域、定义域.

③若。(。向在原函数y=/(x)的图象上，则PS,。)在反函数.v=_T'(x)的图象上.

④一般地，函数y=/(x)要有反函数则它必需为单调函数.

E2.33寨函数

(1)幕函数的定义

一般地，函数y=x“叫做幕函数，其中x为自变量，a是常数

(2)幕函数的图象

(3)暮函数的性质

①图象分布：骞函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.塞函数是偶函数时,

图象分布在第一、二象限(图象关于)，轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图

象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：全部的骞函数在(0,+8)都有定义，并且图象都通过点(1,1).

③单调性：假如。〉0,则骞函数的图象过原点，并且在0+8)上为增函数.假如。<0,则

幕函数的图象在(0,+8)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴及y轴.

④奇偶性：当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，骞函数为偶函数.当&=2(其

P

中〃国互质，〃和q@Z),若p为奇数q为奇数时,则是奇函数，若〃为奇数4为偶数时，则

是偶函数，若P为偶数9为奇数时，则是非奇非偶函数.

⑤图象特征：骞函数>=6心(0,+8),当。>1时，若()<x<l,其图象在直线y=x下方，若

x>l,其图象在直线y=x上方，当a<l时，若0<x<l,其图象在直线y=x上方，若x>l,

其图象在直线y=x下方.

R补充学问H二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：JO=依2+bx+c(a工0)②顶点式:fM=a(x-h)2+k(a^0)

③两根式：/(x)=a(x-x1)(x-x2)(aw0)

(2)二次函数图象的性质

①对称轴方程为，顶点坐标是(-?,华三).

2a2a4a

②当。〉0时，抛物线开口向上，函数在(-8,_马上递减，在［-9,+8)上递增，当.一二时,

2a2a2a

/*5)=华也；当a<0时，抛物线开口向下，函数在(-8,-二］上递增，在［-二,+00)上递

4。2a2a

减，当x=4时，*(九)=写纥

2。4。

③二次函数/(x)=«x2+必+c(aN0)当△=b2一4ac>0时，图象及x轴有两个交点

(3)—*元二次方程/+》x+c=0(ar0)根的分布

设一元二次方程以2+/?x+c=0(aH0)的两实根为%,工2,且令/(x)=幺2+法+。，

从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：8=③判别式:

A④端点函数值符号.

(4)二次函数/(幻=0^+乐+°(<”0)在闭区间［2，4］上的最值

=g(p+q).

设/(x)在区间［p⑷上的最大值为例，最小值为m，令/=

(I)当a>金时(开口向上)

hhh

①若-不<P,则〃?=/(P)②若〃<-h则加=/(-丁:③若-二>4,则帆=/⑷

2a2a2a

个，一

①若*94则及『/①)、②-=\

7心)4az跳价m向下)类［/,

①若-4=f(p)②若=/(-3③若-二>4,则M=/(q)

2a:八一M)2&2a2a

<

①衫金4/勺=f(q)，则加=f(p)

/1W\/高中信学飞向?问点，

/］&「第/二物二甲

2、角e的顶点及原点重合，角的始边及x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称。为

第几象限角.

第一象限角的集合为{a卜•360<a<h360。+90,&eZ}

第二象限角的集合为{a上360+90<A:-360+180«ez}

第三象限角的集合为［a\k-360+180。<a<h360+270,kez}

第四象限角的集合为{ak360+270。<a<H360+360/ez}

终边在x轴上的角的集合为{a|a=匕180«eZ}

终边在y轴上的角的集合为同a=hl8(T+90,我z}

终边在坐标轴上的角的集合为［a\a=k-90,keZ)

3、及角a终边一样的角的集合为伊忸=匕360+a,ZGZ}

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5、半径为「的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角a的弧度数的肯定值是团=5.

6、弧度制及角度制的换算公式：2万=360，1=名，1=(咽］=573.

7、若扇形的圆心角为a(a为弧度制)，半径为广，弧长为/,周长为C,面积为S,贝必=「同,

C=2r+/,S=-lr=-\a\r2.

2211

8、设。是一个随意大小的角，。的终边上随意一点P的坐标是(x,y),

它及原点的间隔是，贝ljsina=),cosa=-,tana=-(x*0).

rrx

9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，

第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

10、三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11、角三角函数的根本关系：

(3)倒数关系：tanccota=l

12、函数的诱导公式:

口诀：函数名称不变，符号看象限.

口诀：正弦及余弦互换，符号看象限.

13、①的图象上全部点向左（右）平移冏个单位长度，得到函数丁=5由。+0的图象；再

将函数y=sin（x+o）的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的5倍（纵坐标不变），

得到函数y=sin®x+°）的图象；再将函数尸sin（g+0）的图象上全部点的纵坐标伸长（缩

短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数？=人疝（5+0）的图象.

②数y=sinx的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），得到函

CD

数

y=sins的图象；再将函数蚱而⑺的图象上全部点向左（右）平移必个单位长度，得到

0）

函数y=sin3x+°）的图象；再将函数尸sin3x+0）的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）

到原来的A倍（横坐标不变），得到函数旷=人5亩（5+0）的图象.

14、函数y=Asin®x+o）（A>0,69>0）的性质:

①振幅：A;②周期：T=—;③频率：/=1=2；④相位：a）x+（p;⑤

CDT171

初相：（p.

函数y=Asin®x+°）+B,当x=$时，获得最小值为为仙；当x=x2时，获得最大值为ynax,

11T/

则人二日一八汨），B=］（h+Win），万=%2-%（%<%）.

当x=2U+-(左GZ)当x=2k兀(keZ)时

2

时，Nmax=1；Pmax=1；既无最大值也既无最大值也无

最值

当x=2k"；(%eZ)当x=2k冗+冗(丘z)无最小值最小值

时，Nmin=T・时,>min=T・

2万21冗71

周期

性

奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数

性

4^124万——y2.k7T+—

在［2々九■一乃,2人乃］（女cZ）

（旌z）上是增函在（&彳_|■火力+1）

单调上是增函数；在

数；在（keZ）上是增函

性\2k7i,2k7i+乃］（A£Z）上

24加+工,2&万+网

L22J数.

是减函数.

（&£Z）上是减函数.

对称中心

对称中心对称中心对称中心

对称(k/,O)(kGZ)

（丘+，0，&eZ）俘°）仕丘）（容0MZ）

性对称轴

对称轴X=Z;T（Z:GZ）无对称轴无对称轴

x=k7r+^keZ)

第二章平面对量

16、向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

平行向量（共线向量）：方向一样或相反的非零向量.零向量及任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向一样的向量.

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：共起点.

⑶三角形不等式：

MH同力+5卜同+陆

⑷运算性质：①交换律：万+5=5+万;

②结合律：（M+B）+5=a+（B+5）；③1+。=6+万=万.

⑸坐标运算：设M=（x，y）,5=（工2，%），则

a+h=（X|+x2,y]+y2）.

18、向量减法运算:

AC-AB=BC

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设2=（%,X）,5=（%％），贝1」值一行=（%-程,一必）.

设A、B两点的坐标分别为（玉,y）,（孙％），则疝=（5-七，乂72）•

19、向量数乘运算:

⑴实数％及向量G的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作布.

①|祠=风向；

②当4＞0时，然的方向及G的方向一样；当义＜0时，然的方向及M的方向相反；当4=0时,

Aa=6.

（2）运算律：①2（〃汗）=（沏）万；②=+M万；③/l•（。+b）=2。+/lb.

⑶坐标运算:设。=（苍＞）,则Aa=2（x,y）=（/Lx,Ay）.

20、向量共线定理：向量。（万#0）及5共线，当且仅当有唯一一个实数4,使5=

设5=（N，y）,b=（x2,y2）,其中6H。，则当且仅当用%-=。时，向量万、可在力。）共线.

21、平面对量根本定理：假如I、l是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内

的随意向量心有且只有一对实数4、%,使日=4冢+41.（不共线的向量[、W作为这一

平面内全部向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P是线段PF?上的一点，P,＞P?的坐标分别是（程乂），（孙必），

当好=4所;时，点P的坐标是隹+二竽］.（当九=犯寸，就为中点公式。：

23、平面对量的数量积：

⑴无5=同小056（万工。,5。6,0＜夕＜180）.零向量及任一向量的数量积为0.

⑵性质：设。和5都是非零向量，贝U①。，50G石=0.②当〃及5同向时，必看=同可；当

3及B反向时，a-b=-|a||/;|;==忖『或同=后房.③卜4卜同忖.

⑶运算律：①。♦5=53;②（25）石=丸（万石）=无（劝）；（^）［a+b^-c=a-c+b-c.

⑷坐标运算：设两个非零向量4=（X，X）,万=（九2，%），则无方=%9+%%.

2

若a=（x,y）,贝！］同=f+y,或同=Jf+y.设1=（%,乂），^=（x2,y2）,则

a±b0玉工2+X%=0-

设）、B都是非零向量，5=（%,y）,6=（%,%），。是5及5的夹角，则

（3）.平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为n=（x,y,z）.

③求出平面内两个不共线向量的坐标1=（4,4，4），了=（4也也）•

几•a=0

（n-h=0

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

（如图）

1、用向量方法断定空间中的平行关系

⑴线线平行

设直线//的方向向量分别是则要证明3/3只需证明Z//B,即£=肪/CH）.

即：两直线平行或重合Q两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①（法一）设直线/的方向向量是£,平面二的法向量是限则要证明///a,只需证明］，履

即a•〃=0.

即：直线及平面平行Q直线的方向向量及该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条