数学北师大版八年级下册分式方程的解法

黔西县中学2016-2017学年度春季学期

集体备课教案

课题5.4,分式方程（一）

主备人刘向学参备人罗明阳李俊刘明芝

1.理解分式方程的概念；

2.能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。

教学目标

3.在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成

就感，提高解决问题的能力。

教学重点能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。

教学难点能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义。

教学准备教材三角板多媒体

教学过程个性化设计

第一环节引入新课

活动内容：在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化

家园”的问题。面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一

期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划

多30公顷，结果提前4个月完成计划任务。原计划每月固沙造林多少公顷？

分析：这一问题中有哪些已知量和未知量？

已知量：造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4

个月完成原任务

未知量：原计划每月固沙造林多少公顷

这一问题中有哪些等量关系？

实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷

原计划完成的时间一完成实际的时间=4个月

我们设原计划每月固沙造林X公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个

月，实际完成一期工程用了_______个月，根据题意，可得方程________o

活动目的：为了让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过

程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《分式》中一

个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、

解决问题的能力。

注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生

的情况教师可以给予适当的提示和引导.

第二环节探究新知

活动内容：

甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h,

已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.

(1)你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

(2)如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h,那么x满足怎样的方程？

(3)如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh,那么y满足怎样的方程？

活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过

程，体会分式方程的模型作用，设置了这么一个例题，关键是引导学生努力寻找

问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，通过同学

之间相互讨论，解决问题，同时要注意引导学生理解每一步的实际意义

活动内容：

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知

七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数

比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等.如果设七年级捐款人数为

x人，那么x满足怎样的方程？

活动目的：再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化”的过

程，体会分式方程的模型作用。

注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，此时，每

位同学都有了一定的找等量关系的感觉，先让他们自己完成，再小组讨论

第三环节感悟升华

活动内容：

回顾刚才我们得出的4个方程：

(1)幽一空=4(2)唯一剪=9(3)幽=2.8x幽(4)

xx+30x2.8xyy+9

4800_5000

xx+20

它们和我们以前所碰到的方程一样吗？有什么不一样的地方？

上面所得到的方程有什么共同特点？

方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程。

这就是我们今天要认识的一种新的方程一一分式方程：分母中含有未知数得方程。

分式方程重要特征：

(1)含分母(2)分母中含未知数

分式方程与整式方程的区别：分式方程中分母含有未知数，而整式方程中的分母

不含有未知数。

活动目的：通过让学生通过观察、归纳、总结出整式方程与分式方程的异同，从

而得出分式方程的概念

注意事项：注意引导学生理解分式方程重要特征，分清分式方程与整式方程区别，

第四环节课堂反馈

活动内容：

1.找找看，下列方程哪些是分式方程：

(1)-(x-3)=x(2)—=1(3)---3=—^-(4)---=1

22xx-12—x23

2.“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程.某地规划退耕

面积共69000hm2,退耕还林与退耕还草的面积比为5：3.设退耕还林的面积为

xW,那么x满足怎样的分式方程？

活动目的：通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解.

注意事项：引导学生分析题目中的已知量、未知量、等量关系来解决问题，。

活动内容

王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人

数估计共需费用300元。后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一

共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的

人数是多少？如果设原定是X人，那么X满足怎样的分式方程？

活动目的：由浅入深，出了一道比上题难度大一点的问题。还是为了训练学生找

出问题中的所有等量关系，发展学生分析问题、解决问题的能力。

注意事项：要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，努力寻找

问题中的所有等量关系。

第五环节自我小结

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？

活动目的：通过学生的回顾与反思，让学生感受到在实际问题中，一定要找到它

的等量关系，根据等量关系来列方程。

注意事项：小节最好由同学们讨论，教师只是顺势把学生的话进行一个归纳总结。

关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力，关注学生能否尝试用不同方

法寻求问题中数量关系，并用分式方程表示，能否表达自己解决问题的过程

作业布置习题5.7:第1.2题

5.4.分式方程（一）

引例；做一做：小结；

板书设计

分式方程：练习：

教学反思

一、你一定能选对！（每小题3分，共24分）

1.-5的绝对值和相反数分别是（）

A.-5,5B.-5,-5C.5,5D.5,-5

2.某种药品的说明书上标明保存温度是(20±2)°C,则该药品在()范围内保存

才合适.

A.18℃~20℃B.20℃~22℃C.18℃~21℃D.18℃~22℃

3.已知地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示地球上

的陆地面积约为（）平方千米

A、1.49x10sB、1.49x10sC、14.9x10sD、14.9xl09

4.下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（）

rRU-T-iA-LhLli门1,1ni..1n1

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.下列变形正确的是()

A.由户5=6x-7得X—6A=7-5B.由一2(x—1)=3得一2x—2=3

x—31Ox—30

------=1-----------=10-x+9=—%—3

C.由0.7得7D.由22得2尸一12

ADC

6.如图NAOC和NDOB都是直角，如果NAOB=150度,

那么NDOC=(>

A.30B.40C.50D.600B

7.在下列调查中，适宜采用全面调查的是0

A.了解我省中学生的视力情况

B.了解七⑴班学生校服的尺码情况

C..检测一批电灯泡的使用寿命

D.调查安徽卫视《超级演说家》栏目的收视率

8.下列方程中，属于一元一次方程的是（）

A.xB.3x+4y=2C.x2+3x=x2-lD.x+3xT=8+5x

二、你能填得又快又准吗？（每小题3分，共24分）

9.代数式-2nxy的系数是.

10.计算：90°-42°21'=.

11.用平面去截一个几何体，如果截面是圆，那原来的几何体可能是.

12.已知x=3是方程ax—6=a+10的解，则a=.

13.若x>3与xy是同类项，则"2=,〃=

14.如果（k—l）xZ+kx+8=0是关于x的一元一次方程，

则k=,x=.

15.工人师傅在用方砖铺地时，常常打两个木桩，然后沿着拉紧的线铺砖，这样

地砖就铺得整齐，这个事实说明的原理是.

16.如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB=6cm,BC=4cm,若M,N分

别为AB,BC的中点，那么M,N两点之间的距离为.

三、请你来算一算、做一做，千万别出错哟！（共72分）

17.计算：（每小题4分，共8分）

(1)-21-+3--1-0.25(2)22+2X[(-3)2-34--L]

3432

18.解方程：（每小题4分，共8分）

2元—12x—3

-----------=1

⑴2（7-0.5幻=3（尤一2）(2)34

19.（本小题6分）

先化简，再求值：一9y+6%2+3（＞-]%2）,其中x=2,y=-l.

20.（本小题6分）

如图，是由6个正方体组成的图案，请分别画出它的主视图、左视图、俯视图.

21.（本小题6分）挑战自我!

•・・••••

第一个图形第二图形第三个图形第四个图形

（1）第五个图形有个点；

（2）第n个图形，有个点；

（3）当点数为210时，n为多少.（）

A.第17个B.第18个C.第19个D.第20个

22.（本小题8分）数学与生活！

某电力公司的检修小组乘汽车沿公路检修线路.约定前进为正，后退为负，某天

自A地出发到收工时所走路程（单位:千米）为：+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.

+10.

（1）问收工时距A地有多远？

（2）若每千米耗油0.5升，问从A地出发到收工时共耗油多少升？

23.（本小题10分）

如图，0为直线AB上一点，ZA0C=50°,0D平分NAOC,ZD0E=90°.

（1）请你数一数，图中有多少个小于平角的角；

（2）求出NB0D的度数；

（3）请通过计算说明0E是否平分NB0C.

24.（本小题10分）

从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，车速平均每小时

增加了20千米，只需5个小时即可到达，求甲、乙两地的路程.

25.（本小题10分）问题解决！

某校欲举办“校园基尼斯挑战赛”，为此该校在七年级中随机抽取一个班级进行

了一次“你最喜欢的挑战项目”的问卷调查，已知被调查的班级的学生人数均为

50,根据收集到的数据，绘制成如下统计图表（不完整），

七年级抽查班级”学生最喜欢的挑战项目"

人数扇形妩计图

（1）问该班级中有多少同学喜欢乒乓球，并补充完整条形统计图

（2）计算喜欢挑战“乒乓球”部分占总数的百分比

（3）计算出“其他”项目所对应的圆心角度数.

典型例题

1、右图是一多面体的展开图形，每个面都标有字母，请根据要求回答提问:

（1）如果面A在多面体的底部，那么面_____在上面。

（2）如果面F在前面，从左面看是面B,则面___在上面。

（3）从右面看面C,面D在后面，面在上面。

2、如图1—4,是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体从三个方向看图形得到的形

状，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）

从正而有从左而看从上面看

A.7B.8C.9D.10

第二章有理数及其运算

典型例题

1、已知a、b互为相反数,c、d互为倒数，且|加|=3,则2a—4m2+2b-（cd）20°5=

2、计算：（一—一）4"（一一）+（―2）?X（―•14）

236

3.如图是一个长方体墨水瓶纸盒的表面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数.

(1)填空：a=,b=___,c=；

b

(2)求(a+b)c—(b+c)a+〃+c的值。

4、用科学计数法表示0.000695并保留两个有效数字为一

第三章整式及其加减

2、如图所示是计算机某计算程序，若开始输入x=3,则最后输出的结果是

/输入>4-i—z-21—~,输出/

I行________________________

1131

-x-2(x--y)+(-—x+-y),其中x=­1,y=2；

3、

第四章基本平面图形

典型例题

1、画四边形ABCD,在四边形内找一点0,使得线段A0、B0、CO,DO的和最小。

（画出即可，不写作法）

2、如下图。已知/BOC=2NAOB,OD平分/AOC,/BOD=14。，求NAOB的度数。

第五章一元一次方程

典型例题

1、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）,

这时火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道。求列车的长度.

2、某中学组织初一学生到“德育基地”军训I,基地分配给该校宿舍

若干间。如果每间宿舍住8人，则少12个床位；如果每间宿舍住

9人，却又空出2间宿舍。问该校参加这次军训的学生有多少人?

3、周末小明陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壶和一些茶杯，了解情况后发现甲、乙两家商店

都在出售两种同样品牌的茶壶和茶杯，定价相同，茶壶每把定价30元，茶杯每把定价5元，

且两家都有优惠.甲商店买一送一大酬宾（买一把茶壶送一只茶杯）；乙商店全场九折优惠.小

明的爸爸需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）.

①设购买茶杯4只，若在甲商店购买，需付元钱；若在乙店购买，需付元

钱

（均用含。的代数式表示并化简）.

②当需购买15只茶杯时，爸爸让小明去买，小明应该去哪家商店购买?为什么？

③当购买茶杯多少只时，两家商店付款一样？为什么？

④根据前面问题的解答，当购买茶杯超过20只时，猜想应该到哪家商店购买比较合算？请

直接写出结论，不用说明理由.

第六章数据的收集与整理

典型例题

为扩大内需，国务院实施了“家电下乡”政策.第一批列入家电下乡的产品为彩电、冰箱、

洗衣机和手机四种产品.市区某一家电商场，去年一季度对以上四种产品的销售情况进行了

统计，绘制了如下的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

(1)该商场一季度家电销售的总量是台；

(2)请补全条形统计图；一

(3)在扇形统计图中，彩电对应的圆心角的度数是

甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，

每小时行140公里。

(1)慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？

(2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里?

(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

一元一次方程应用题水箱变高了

一、水箱变高了：圆柱的体积=;rx半径?x高

例1：某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为

减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不

变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？

等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积

解：设水箱的高变为Xm,填写下表：

旧水箱新水箱

底面半径/m

高/m

容积/立方米

根据等量关系，列出方程:

1x()x4="x()xx

解得：x=

答：

变式练习：将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10

厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？

这个问题中的等量关系是：___________________________

解：

例2：用一根长为10m的铁丝围成一个长方形.

(1)使得该长方形的长比宽多1.4m,此时长方形的长、宽各为多少米？

(2)使得该长方形的长比宽多0.8m,此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形

与(1)中所围长方形相比、面积有什么变化?

(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所

围成的面积与(2)中相比又有什么变化？

例3：（1）小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮

他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？

（2）若小明用10米铁线在墙边围成一个长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在宽的一边有一

扇1米宽的门，那么，请问小明围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？

课后练习：

1、用直径为40mm、长为1m的圆钢，能拉成直径为4mm、长为m的钢丝。

2、用一根铁丝可围成一个长24厘米、宽12厘米的长方形。若将它围成一个正方形，则这

个正方形的面积是（）

As81cm2B、18cm2C、324cm2D、326cm2

3、将底面直径为12厘米，高为30厘米的圆柱水桶装满水，倒人一个长方体水箱中，水只占

2

水箱容积的£,设水箱容积为x立方厘米，则可列方程.

3

4、将一个底面直径是10厘米，高为40厘米的圆柱锻压成底面直径为15厘米的圆柱，求它

的高?若设高为x厘米，则所列的方程为.

5、把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形水

杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）

3.填空：

长方形的周长=.面积=.

长方体的体积=________.正方体的体积=

圆的周长=.面积=.

圆柱的体积=.

解决以下问题：

1.将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径

为10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？

假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关

系：锻压前的体积=锻压后的体积.

解：设锻压后圆柱的高为x米，填写下表：

蟆压前锻压后

底面半径

高

体积

根据等量关系，列出方程：______________________________________________

解得x=.

答：高变成了__________厘米.

2.用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.

(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为米，宽为

_________米.

(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为米，宽为

米，它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化？

(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是

米，它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？

例1.请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是)

图5-3-2

A.IT•得)晨=1T•4)’•(X+5)B.,(y)2x=TT•(-£)2,(«-5)

C.TT•82x=IT•62•(x+5)D.IT•8Jx=ir-63x5

【跟踪练习】

1.长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4m,而长减少了5m,那么面积增加

15m2,设长方形原来的宽为xm,则所列方程是()

A.(x+4)(3x-5)+15=3"：B.(x+4)(3x-5)-15=3x2

C.(z-4)(3x+5)-15=3/D.(彳-4)(34+5)+15=3/

2.一块矩形草坪的长比宽多10米，它的周长是132米，求宽x.所列的方程是

()

A.x4-10=132B.2x+10=132

C.2(2x+10)=132D.2(x-10)=132

3.如图5—3—3,把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最

小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积.

解：设正方形A的边长为x厘米，则

正方形B的边长为________厘米；

正方形C的边长为________厘米；

正方形D的边长为________厘米；

正方形E的边长为________厘米.

由题意可得方程：.

解得x=,答：长方形的面积为平方厘米.

【当堂达标】

7.用直径为120mm的圆钢铸造成5.9kg的工件，已知每立方厘米的圆钢重7.8g,

这样需截取圆钢的长是多少mm?解题时，设需要截圆钢的长为xmm,那么下面列

方程正确的是()

78)

X1202-IT-%=5900

A.7.8x1202,IT,x=5.9

「7.81207.8,120.

c-Tooox(zVTT,x=590CnD・丽,(亍)TF,%=5.5

8.为了做一个试管架，在长为〃cm(〃>6cm)的木板上钻3个小孔(如图5—3

-4),每个小孔的直径为2cm,则％等于()

10

「二一6门a+6

L・一cmD.——cm

44

9.已知一个三角形三条边长的比为2：4：5,最长边比最短边长6cm,则这个

三角形的周长为（）

A.21cmB.22cmC.23cmD.24cm

10.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图5—3—8实线所示.小颖

将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图5—3—8虚线所

示.小颖所钉长方形的长、宽各为__________________厘米？

11.要锻造直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯.设需截取边长为6厘米的

方钢x厘米，可得方程为.

12.（2012.山西）图