高中数学-【课堂实录】教学设计学情分析教材分析课后反思

基本不等式（一）教学设计

一、教材分析

本节内容选自人教版必修五第三章第四节，是在前面学习了不等关系、一元

二次不等式以及二元一次不等式（组）的基础上继续引领学生探讨的，通过古

代数学家赵爽的弦图引出，让学生深感中国数学历史源远流长，而它在今天的

高中数学中又有着很大的用处，是后面解决函数最值除了导数以外一个很有用

的工具。数学基本不等式的推导蕴含着一般到特殊、数形结合的数学思想，而

证明中用到的分析法也为后面在选修2-2中学习推理证明打下了基础。

二、学情分析

学生熟知（a-6）220,也在初中学习了直径所对圆周角为直角，半径，弦长

与直角三角形的射影定理，所以在重要不等式的证明，以及基本不等式的几何

解释方面理解起来很容易。但在用分析法证明时是陌生的，尤其是分析的格式

是学生头一次接触。当认知了基本不等式之后，应用基本不等式解题主要在“和”

与“积”之间转换与周旋，变形中经常用到不等式的性质，而如何利用基本不

等式的变形达到目的应该是学生应用过程的一个难点。

三、教学目标

1、学会由重要不等式导出基本不等式，了解如何用分析法证明基本不等式，

理解基本不等式的几何意义

2、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，从中领略基本不等式的变形

在解决最值问题中的魅力。

四、教学重、难点

教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等

式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.

教学难点：如何将基本不等式变形求最值；基本不等式中等号成立的条件

五、教学过程设计

第一个环节：引入主角

1、由赵爽弦图引出重要不等式

PPT显示赵爽弦图，简单介绍下最初赵爽的弦图是用来证明数学中一个重要

的定理一一勾股定理。

问：弦图中有哪些关于面积的关系？（找关系时提醒学生考虑关于“面积”的

关系）

问题1、比较正方形ABCD的面积S和里面的四个小三角形面积之和S'的大小，看

可以得到怎样的不等关系？

目的：由形到数，从面积关系中得到重要不等式的代数形式：a2+b2>2ab

>0,b>0,当且仅当a=加寸取等）

问：a、方的范围可不可以扩大到R?怎样证明？

引出重要不等式：cr+b2＞2ab（«,此旦当且仅当。=胡寸取等）

2、由一般到特殊，引出基本不等式

问题2、在重要不等式中，用右代替3代替可以得到什么数学结论？

一弓他基本不等式：倔,等（.＞。,人。，当且仅当a=丽取等）

代数解释：几何平均数不大于算术平均数

问：|4。|=凡|3。|=》如何用。、方表示|。。|与|CD|?

问：D点是动点，在什么位置时等号成立？

几何解释：半径大于等于半弦长

目的：以数构形，让学生在实际图形中感受基本不等式的几何解释。

3、探究基本不等式的证明

证明：用“分析法”证明:

要证*2疝(1)

2

只要证a+b>2\[ai>(2)

要证（2）,只要证a+b-2yfab>0(3)

要证（3）,只要证(Va-V^)2>0(4)

显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立.

（学生的思路可能比较多，可以作差，也可以在第二步中把两边平方等）

4、数学建构：回忆重要不等式与基本不等式，对两个不等式进行区别

从两个不等式的适用范围、文字描述、取等条件三个方面让学生对两个不等式进行比

较区别，在思维上形成知识框架，方便后面的应用。

第二个环节：基本不等式的应用

5、例题解析

例1、（1）已知。＞0,/?＞0,。6=36,求a+6的最小值。

（2）已知。〉0,人＞0,。+8=18,求应》的最大值。

这两道题的设计目的是让学生直接利用基本不等式的两个简单变形

Q+人2属用I次74（色电尸进行解题，要学会公式的正用、逆用、变形用。

2

例2四个问题的设计目的是让学生掌握使用基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相

等

(1)已知％<0,求函物(x)=x+，的最大值。

x

方法指导：负值转化为正值

(2)若%>3,函数丁=尤+，；，当x为何值时，函数有最力值，并求其最小值。

x—3

方法指导：配凑出积为定值

(3)若0<x<g,求函数y=x(l-2x)的最大值。

方法指导：配凑出和为定值

练习：设0<x<],求函数y=4x(3-2x)的最大值。

本练习题的设计目的是对(3)中所涉及方法的进一步巩固与体会。

(4)函数/。)=疗11+能否用基本不等式求最小值？

G+2

方法指导：不要忽略检验等号是否能够取得，若不能取得，可利用对勾函数的单

调性解题。

设计意图：通过上述几道题的应用与讲解，进一步加深了学生对基本不等式的内

涵及外延的理解，培养了学生发散的思维能力。

第三个环节：课堂总结，知识点播，思维升华

1、重要不等式与基本不等式的内容

重要不等式：a2+b2>2ab(a.eR,当且仅当a=〃时取等)

基本不等式：beR,当且仅当/=Ml寸取等)

2

2、基本不等式的使用条件：一正二定三相等

3、基本不等式的应用：求最值

第四个环节：学习效果测评及布置作业

基本不等式(一)学情分析

学生在前面几节中刚学习了不等式的性质、一元二次不等式以及简单的线性

规划问题，对不等关系已有了一定的了解，不等式的思维已经渐渐进入学生脑海。

而本节的学习内容学生也都有一定的知识基础，像学生熟知(。-6)220,也在初

中学习了直径所对圆周角为直角，半径，弦长与直角三角形的射影定理，所以在

重要不等式的证明，以及基本不等式的几何解释方面理解起来很容易。但在用分

析法证明时是陌生的，尤其是分析的格式是学生头一次接触。当认知了基本不等

式之后，应用基本不等式解题主要在“和”与“积”之间转换与周旋，变形中经

常用到不等式的性质，而如何利用基本不等式的变形达到目的应该是学生应用过

程的一个难点。包括后面在应用基本不等式时要注意应用的三个条件反映了学习

数学知识的一个严谨性，关于这点的把握在教学中也是通过例2的几个例子来让

学生认知、并加深印象，使学生掌握应用基本不等式要注意的事项，尤其是三相

等，是后期学生在运用基本不等式时最容易漏掉的解题环节，所以，学数学必须

要有严谨的精神态度。

基本不等式（一）效果分析

本节是新授课，上课前印发了导学提纲给学生进行预习，所以整堂课学生能跟上老师的

节奏，并在教学过程中不断修改自己提纲中的错误，说明学生的预习在听了老师的讲解之后

纠正了一些错误的认识，学到了新知。本节课的设计不管是例题还是后面的测评，难度都比

较容易，适合这个班级的学生，容量也不是特别大。关于基本不等式的引出、证明以及几何

解释，学生理解的都不错，设计的问题也都在教学过程中发挥了该发挥的作用，让学生感受

到知识的潜移默化。知识建构完成后,通过几个例题让学生体会运用基本不等式的应用条件,

并做适当的方法总结和停顿，这些都会使学生的学校效果得到消化。

后面5道检测题，学生前三题做的不错，第1题要琢磨其他选项到底为什么不行，不是不

满足一正就是等号取不到，第2题用到对数的运算法则，第3题跟前面例题2（2）属于一

个类型。难点的设计是在第4题跟第5题上，第4题首先第一步要把函数解析式变形，而如

何变，以及怎样变形才漂亮考验学生的能力，并不是每个学生都能做出来，本题是选了一名

学生在黑板上演示自己的做法，确实能变出来，但变形并不漂亮。第5题是一道实际应用问

题，学生是不擅长处理应用题的，如何设？单位是否统一？怎样列式？如何作答？所以本题

是教师在黑板上给学生板书做题步骤。

通过本节课的学习，学生掌握了基本不等式以及使用条件，也理解了基本不等式可以用来

处理最值问题。

基本不等式（一）教材分析

本节内容选自人教版必修五第三章第四节，是在前面学习了不等

关系、一元二次不等式以及二元一次不等式（组）的基础上继续引领

学生探讨的，通过古代数学家赵爽的弦图引出，让学生深感中国数学

历史源远流长，而它在今天的高中数学中又有着很大的用处，除了承

接前面不等式的性质、解不等式之外，还为后面不等式的证明（后面

在选修2-2中讲学习推理证明）以及解决函数最值、值域问题奠定了

基础，是除了导数以外处理函数最值一个很有用的工具。基本不等式

是高考必考内容，其重要性不言而喻。

【教学重点】用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索

基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题.

【教学难点】如何将基本不等式变形求最值；基本不等式中等号成立

的条件

基本不等式（一）评测练习

一、选择题

1、下列不等式正确的是（）

2jj

x2+1>-2xB>y/x+—r=>4(x>0)C>x+—>2D>sinx+-......>2(xk/r)

Jxxsinx

2、设x>0,则y=3-3x-4的最大值为（）

X

A、3B、3-3&C>3-26D、-1

3、设若石是3°与3"的等比中项，则,的最小值为（）

ab

A.8B.4C.1D.-

4

4、设x,yeR,且x+y=5,则3'+3,的最小值是（）

A.10B.6GC.45/6D.186

5、已知M是AABC内的一点，且4949行，

若△MBC,AMCA和△MAB

—,x,y

的面积分别2"”,则的最小值是（）

A.9B.18C.16D.20

空三个数的大小顺序是（）

6、a、b是正数，则竺而,

2a+b

a+bt—r2ab「i—ra+b2ab

A.----<y/ab<----B,y/ab<----<----

2a+b2a+b

2ahf—ra+h

C.----<yjah<----D.而

a+b2a+b2

7、已知函数/（幻=『+屹一'2-1口+“+"是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵

坐标的最大值为()A.行B.2C.4D.-2

8.某产品的产量第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,设这两年平均增长率为x,则

有()

A.B.C.x<…D.壮皿

2222

二、填空题

9、函数y3的最大值为.

10、若正实数羽y,满足2x+y+6=孙，则孙的最小值是

11、在等比数列｛例｝中，4>0,且qq=16,则4+%的最小值为—

三、解答题

12、设〃,b,c£(0,4~oo),且a+b+c311,求证：(1)(—1)(—1)28.

abc

13、不等式4、+a・2、+120对一切xcR恒成立，求〃的取值范围。

14、已知向量机=(sinA,；)与"=(3,sinA+石cosA)共线，其中A是aABC的内角.

(1)求角A的大小；(2)若BC=2,求aABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时AABC

的形状.

答案：『4：ACBD5~8：BCBC

9、-10、1811、8

2

3.B

【解析】

试题分析：由题意(百)2=3"-3"=3"+&,所以a+h=\,则

-+-=(-+-)(a+b)=2+-+->2+2=4,故选B.

abahah

考点：1,等比数列的性质；2.均值不等式的应用.

5.B.

【解析】

试题分析：

♦.•福・/=］词枷，《COSA=26,ZR4C=30。

AB»AC=4

•sinA=1

AA"C,AMC4和AM钻的面积分别为g,x,y,

♦JM是AABC内一点,

1,

—+工+y=1

2

1

…=5

又；x>O,y>0

1(-+-)=(-+-)U+y)=5+2+如25+2x2=9

2xyxyx>'

14

.•.-+->18,选B.

xy

考点：1、向量的数量积；2、正弦定理求三角形的面积；3、利用均值不等式求最值.

7、B

【解析】

试题分析：由已知/(x)=f+s—立二5x+a+b是偶函数，则X的奇次事前的系数

b-h-a?=0即。2+/=2,且/>>o,此时函数图象与〉轴交点的纵坐标为

a+止也(/+02)=2,当且仅当。=8=1时，等号成立，即最大值为2.

考点：1、二次函数是偶函数即一次项的系数为零；2、利用重要不等式之2”。求最

值.

11、8

【解析】等比数列｛%｝中4=16,.,.a4tz5=16va„>0,a4+a5>2y/a4-a5=8

14、(1)-(2)V3,等边三角形

3

【解析】(1)因为加〃〃，

所以sinA,(sinA+GcosA)——=0.所以'^-H-sin2A——=0,

2222

即sin2A一工cos2A=1,即sin(2A-工］—1.

22I6j

因为Ae(0,n),所以故2A—£=2，A=-.

6I66J623

22

⑵由余弦定理，得4=b+c—be.又SAABC=—bcsinA=---be,

24

而b'+c"22bcbc+422bcbc<4(当且仅当b=c时等号成立)，

1V3x/3r

所以SZ\ABC=-bcsinA=---beW---X4=j3.

244

当aABC的面积取最大值时，b=c.

ir

又A=2,故此时△ABC为等边三角形.

3

基本不等式(一)课后反思

本节课提前给学生印发了导学提纲，在学生的选择上也没有选用特别好的学生，从

导学提纲做的情况来说并不太理想，学生填写的丢三落四或者不贴题，当然，毕竟是预