高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (36)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题(36)

一、单项选择题(本大题共13小题，共65.()分)

1.己知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为

1,则该几何体的最长棱长为

A.4V2

B.2V6

4V3

16

D.

3

2.四面体ABC。中，若△力BD和ACBD都是以8。为斜边的等腰直角三角形，BD=2AC,且四面

体A8S的体积为竽,则该四面体的外接球半径为

A-TBTC.V3D.2

3.已知正三棱锥4-BCD的底面是边长为2的正三角形,高为2vL则其内切球的体积为()

32

A8>/2DB「4企n4伤

A.——71-£兀-----7TD.——71

812727

4.如图，在直三棱柱4BC-4B1G中，所有棱长均为2,点E,F分

别为棱BBi，41cl的中点.若过点A,E,尸作一截面，记该截面所

在平面与平面BCG/的交线为I,则直线/与棱所成角的余弦值

为

A•普

B3同

・13

*

5.已知三棱锥P-ABC的顶点都在球。的球面上,P4=近，PB=E，4B=4，CA=CB=V10,

面面ABC,则球。的表面积为

A1°九D25元6407rD.等

A•可c-

6.已知高和底面边长都是4的正四棱锥A—BCCE中，M是BC上一点，两=3就，过M的平面

截该四棱锥的外接球，所得截面面积的最小值为

A.3兀B.|兀C,57rD.|兀

7.三棱锥4-BCD中，已知AB,AC,40与平面BCD所成的角相等，AB=2,BC=272,当三

棱锥4-BCD体积最大时，三棱锥A-BCD外接球的表面积为（）

A.127rB.167rC.207rD.24兀

8.如图所示,三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,且PA过球心，「

4P4B围绕棱PA旋转60。后恰好与4PAe重合.若"AB=60%/

且三棱锥P-4BC的体积为则R=（）C产-/___

AJ

B.V2/

C.V3

D.2

9.若各棱长均相等的正三棱柱其外接球表面积为等，则该棱柱体积为（）

A.3V3B.2V3C.V3D.y

10.一正方体的棱长为a,作一平面a与正方体一条体对角线垂直，且a与正方体每个面都有公共点，

记这样得到的截面多边形的周长为/,贝1（）

A.Ie[4a,3V2a]B.I=4aC.I=3>[2aD.以上都不正确

11.已知直四棱柱ABCD-&BiCiDi的侧棱长为8,底面矩形的面积为16,一个小虫从C点出发沿

直四棱柱侧面绕行一周后到达线段CG上一点若4MJL平面&BD,则小虫爬行的最短路程为

（）

A.8B.16C.2>/65D.4g

12.在直角梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2^2,^ABC=90°,如图①把△ABD沿

8。翻折，使得平面ABDJ•平面BCD（如图②）,在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成

的角为60。，则器的值为（）

A.iB.1D*

2c，

13.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成,

中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109。28',这样的设计含有深

刻的数学原理.我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数

学问题少,用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ZBCDEF-AB'C'D'E'F'的三个顶点

A,C,E处分别用平面BFM,平面BDO,平面OFN截掉三个相等的三棱锥M-4BF,0-BCD,

N-DEF,平面平面8£）。，平面OFN交于点P,就形成了蜂巢的结构，如下图所示.

以下四个结论①△B0尸三△MON；②BF<MN；③8,M,N,。四点共面；④异面直线。。

与尸P所成角的大小为109。28'.其中正确的个数是

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题（本大题共4小题，共16.0分）

14.如图，点M是正方体ABCD—4BiGDi中的侧面4DD141上的一个动点，则下列结论正确的是

A.点M存在无数个位置满足CM1AL»i，

B.若正方体的棱长为1,三棱锥8-GMD的体积最大值为

C.在线段/d上存在点M,使异面直线与C£＞所成的角是30。,

D.满足到直线AD和直线GD]的距离相等的点M的轨迹是抛物线.

15.已知四棱台4BC0—公/的。1的上下底面均为正方形，其中48=

2也A0=夜,44i=BB]=eg=DD1=2,则下述正确的是（

A.该四棱台的高为百

B.AAr1CCi

C.该四棱台的表面积为26

D.该四棱台外接球的表面积为167r

16.已知正方体ABC。—4B1GD1中，以下结论正确的为（）

A.AC与BCi所成的角为g

B.勺C与平面8。。出所成的角的正切值为日

C.二面角A—&C-B的大小为g

D.三棱锥ABC的内切球半径为年

17.四棱锥S-力BCD的底面为正方形，SD1底面ABCQ,则下列结论正确的是（）

A.AC1SB

B.〃平面SCD

C.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角

D.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SB。所成的角

三、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

18.如图，正方体4BC0-&B1C15的棱长为1,P为8c的中点，。为DiCJ

线段CG上的动点，过点A,P,。的平面截该正方体所得的截面记

为S.则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①

当0<CQ<|时，S为四边形；②当CQ=[时，S为等腰梯形；③当

CQ=:时,S与C/i的交点R满足G%=热④当,<CQ<1时，S

为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为当

19.点M为正方体4BCC-41B1C1D1的内切球。球面上的动点，点N在々Ci上，2NB]=NG，DML

BN,若球。的体积为9位兀，则动点M的轨迹的长度为.

20.在菱形A8C。中，^DAB=60。，将这个菱形沿对角线8。折起，使得平面DAB_L平面BOC,

AB=遍，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.

21.如图，在四面体ABCE）中，M,N分别是△4CD,△BCD的重心，则四面体的四个面中与MV平

行的是.

A

C

22.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都

为直角三角形的三棱锥称为鳖嚅.若三棱锥P-4BC为鳖嚅，PA，平面ABC,PA=AB=2,AC=

2V2,三棱锥P-4BC的四个顶点都在球0的球面上，则球。的表面积.

23.用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面，再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,

则该圆柱与圆锥的体积之比为-.

24.在《九章算术J）中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖腌

（bienao）.已知在鳖席M—ABC中，MAL平面ABC,MA=AB=BC=2,

则该鳖蠕的外接球的表面积为.

25.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直,

把这个机械零件打解成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为阳，h2,则为+电

的最小值为.

26.一个正四面体的展开图是边长为2衣的正三角形，则该正四面体外接球的表面积为

27.在三棱柱中，点？是棱CG上一点，记三棱柱ABC—41/的与四棱锥

的体积分别为匕与彩，则宗=.

四、多空题(本大题共1小题，共4.0分)

28.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为106，则h=_(1)_，这个几何体的

外接球表面积为_(2)_.

正睨图

带程图

五、解答题(本大题共2小题，共24.0分)

29.如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E、尸依次是AB、AC的中点，2D1BC,EHJ.BC,

FG1BC,D、H、G为垂足，若将ZL4BC绕AO旋转180。，

(1)求阴影部分形成的几何体的表面积.

(2)求阴影部分形成的儿何体的体积.

30.*如图，在多面体ABCQEF中，底面ABC。是正方形，梯形4DEF1底面ABC。,且4F=EF=DE=

(I)证明平面4BF1平面CDF；

(II)平面8尸将多面体ABCDEF分成两部分，求两部分的体积比.

【答案与解析】

1.答案：A

解析:

本题考查几何体的三视图，属中档题，根据几何体的三视图还原几何体形状，可以在正方体内考察

构造符合题意得儿何体，计算各棱的长度，比较即得.

解：由三视图可知该几何体为三棱锥，记为三棱锥4-BCD,

将其放在棱长为4的正方体中，如图所示，

AD=BC=2V2,BD=4.

经计算得AB=CD="22+22+42=2V6，

AC=4vL

4V2>2V6.4V2>2V2.4V2>4

AC为最长棱长，

故选A.

2.答案：D

解析：

本题考查组合体的结构特征和球的半径，是一道难题.

取斜边的中点，根据等腰直角三角形的性质得。4J.BD,0C1BD,HOC=0A=OB=0D=

\BD,四面体ABC。的外接球的球心是。，再由条件求出四面体A8C。的外接球的半径.

解:取斜边8。的中点为0,连接0A,0C,

・•・△48。与4CBD是全等的等腰直角三角形，0为斜边BD的中点，

•••0A1BD,0C1BD,且。。=。4="。，

•••oc=0A=0B=OD=-BD,

2

又•••0AO0C=0,

BDJ_平面AOC,△40c为正三角形，

四面体ABCD的外接球的球心是。，设半径为R,

__1

"匕-BCD=VB-AOC+^D-AOC=§

解得R=2.

故选。.

3.答案：A

解析：

本题主要考查简单几何体的结构特征、正三棱锥的内切球的体积，属于中档题.

根据条件计算出底面及三个侧面的面积，根据体积转化法求得内切球的半径，进一步

求得内切球的体积.

解：如下图所示，设底面正三角形的中心为E,内切球的球心为0,过点。作。•面ACD,

则0E=都是内切球的半径，••・EF=2BF=三x3BC=更，

3323

AF=y/AE2+EF2=J（2鱼）?+=含二S^ACD=2X^X2=i,

记内切球的半径为rf由以-BCD=，。-BCD+^0-ACD+^0-ABD+“0-ABC得到

-x—x22x2/2.=-x—x22-r+3（-x■r],

3434\3V3/

V24/v^Y'

Rx7rx=__,

=°T«>\H<>r/o^lr

故选A.

A

4.答案:B

解析:

本题考查直三棱柱的结构特征,平面的基本性质及应用，异面直线所成角，考查逻辑推理和空间想

象能力与计算能力，属于中档题.

先由平面的基本性质作出过点A,E,F的截面四边形AEPF,如图，得出交线/为直线EP,再作直

线/与棱A&所成角的为根据题意计算可得.

解：在直三棱柱中，延长4尸和CG交于点连接EM,交&的于点P,连接FP,

则过点A,E,尸的截面即为四边形4EP尸，则直线EP即为交线/,如图所示.

又AA、〃BB、,则N&EP为直线/与棱44i所成角.

由△MFG〜△MAC,所以2+：；=3得MG=2,

1MCACz+MCiNx

由AMPG〜AEPBi，则鬻=卷，所以二”=2,解得

在RtABiEP中，PE=JEE+PB,=Jp+（|）2=手,

所以/nj7rB'E

n\以CONZ/jih/——------，

PE13

即直线/与棱441所成角的余弦值为甯.

故选B.

5.答案：D

解析：

本题考查了球的表面积，先得出APAB为直角三角形，AABC为等腰三角形，△ABC外接圆的圆心即

为三棱锥P-4BC的外接球的球心。，设OD=x,则由。C=0B得粕-尤=+22,可得居即

可得出半径r,即可得出球。的表面积.

解：由题意知，PA=V2,PB=V14.AB=4,

所以PA2+PB2=4B2,则△P4B为直角三角形，

又因为CA=CB=V1U，所以△力BC为等腰三角形，

选取线段AB的中点D,则点。为APAB外接圆圆心，连接C。如下图，

则4。—BD=等=2,CD-/c42—（-^）2-V6，

又因为面PABJJEABC,

所以三棱锥P-ABC的外接球的球心0在面ABCh,

且44BC外接圆的圆心即为三棱锥P-4BC的外接球的球心0,

设。0=X,则由。C=0B得在-x=Vx2+22）解x=渔，

6

所以三棱锥P-4BC的外接球的半径为r=OC=CD-OD=运,

6

所以球。的表面积为4什2=47rx（辿）2=吧，

63

故选D

6.答案：A

解析:

本题主要考查正棱锥的儿何特征和外接球问题，考查了空间想象能力和运算求解能力，属于难题.

先根据题意求出正四棱锥A-BCDE的外接球半径R=3,因为例是BC上一点，丽=3祝，所以

M为BC的一个四等分点，要使过M的平面截该四棱锥的外接球，所得截面面积最小，则球心到截

面的距离最大，距离的最大值为VL进而求解即可.

解：由题意可知：正四棱锥4-BCDE的外接球的半径在高线上，设外接球半径为R,则有R2=

(2或y+(4—解得：R=3,

因为M是8C上一点，前=3祝，所以M为8C的一个四等分点，要使过M的平面截该四棱锥的

外接球，所得截面面积最小，则球心到截面的距离最大，

根据几何体的特征可知：球心到截面的最大距离为遮，所以截面圆半径T=J/?2一(6)2=痘,

所以所得截面面积的最小值为Trr23-，

故选A.

7.答案：A

解析:

本题考查了三棱锥的体积问题，球的表面积公式，考查了空间想象能力，属于中档题.

先根据AB,AC,AO与平面88所成的角相等，得到48=AC=4D=2,再根据BC=2近，得到

△ABC为等腰直角三角形，然后确定三棱锥力-BCD体积取得最大值时的条件，进而根据几何关系求

出此时三棱锥4-BCO外接球的半径，代入球表面积公式计算即可求解.

解：由题意，因为48,AC,A。与平面BC£＞所成的角相等，AB=2,

所以AB=AC=AD=2,

因为8c=2企，

所以极+心=BC2,

所以△力BC为等腰直角三角形，

当三棱锥A-BCD体积最大时，显然有4D_L平面ABC,

如图，取BC的中点G,则点G为△ABC的外心，

所以三棱锥4-BCD外接球的半径R=.2+（FT=V3>

所以三棱锥4-BC。外接球的表面积SITTR2127r.

故选A.

8.答案：D

解析：

本题考查三棱锥体积的计算，考查三棱锥的外接球的相关问题，正确求体积是关键.属于中档题.

过点B作BH1PA于H,连接CH,则依题意，Z.CHB=605,得出AB=R,CH=BH=-R，利用

2

2

Vp-ABC=Vp-BCH+VA-BCH=|X^X俘H）.2R=R3=心求解出R的值.

解：过点B作JLPA于“，连接C”，贝IJCH1P4

BHQCH=H,BH、。"<=平面8"（?，

则P力，平面BHC,

则依题意，Z.CHB=60%

vP4为球的直径，:4P84=90°,又4PAB=60°,

・•・AB=R.

•・・(CHB=609,

V3

.・・CH=BH=BC=—R,

^P-ABC=Vp-BCH+^A-BCH=XX-2R=^-R3=^3

解得R=2.

故选。.

9.答案：B

解析：

本题考查了棱柱外接球表面积，棱柱体积求解，属于中档题.

根据题意棱长为X,根据题意求其外接球半径，利用球的表面积球X的值，即可求棱柱体积.

解：根据题意，可知正三棱柱的棱长都相等，可设棱长为X,设上、下底面中心连线E尸的中点为O,

则。就是外接球球心，其外接球的半径为。又设。为41cl中点，在直角三角形E04］中，EA,

X

2sin600’

在直角三角形0E&中，0E=；,由勾股定理o#=（肃丁J+仔）2=著，

由球的表面积为S=4兀•*/=g/=等，得％=2,

则棱柱体积为U=1x22sin60°X2=2百，

10.答案:c

解析：解：连结AXD,BD,贝IJAG，平面

:.4Q1ArB

设平面a与平面488送1的交线为EF,

则4G1EF,

EFf/A^B,

同理可得平面a与其他各面的交线都与此平面的对角线平行,

设若='，则笠"=誓=九得&E=cd,

AyDCl4

.NE_AE_a(l-A)_.

——•=—±—=---------=1-AQ,

ci

EF+NE=V2a2+V2a(l-2)=夜a，

同理可得六边形其他相邻两边的和为鱼a,

••・六边形的周长/为定值3&a.

故选：C.

由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长

为定值.

本题考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于难题.

11.答案：C

解析：

本题考查线面垂直的性质，直四棱柱的最短距离问题，属于中档题.

根据线面垂直的性质，得出直四棱柱的底面是正方形是解题的关键.

解：如图，连接AC,HD,设。为AC与8。的交点，

•••棱柱4BCD—4&GD1为直四棱柱，

QC平面ABCD,又BDu平面ABCD,

BD1GC,

AM，平面4iBD,BDu平面4闻，

BDLAM,乂4MnGC=M,

二BDJ"平面4"出，又ACu平面45出，

.-.BD1AC,又四边形ABC。为矩形，

•••四边形ABC。为正方形，又四边形ABC。的面积为16,

•••AB—BC=CD=DA=4,:.AO=2\/2,

-AMJ_平面4/0,&0u平面&BD,

:.AM1Ar0,又4遇=8

tan乙441］。=—=tan/.MAC=—,

AXAAC

即CM-2y12—=2,

8

将直四棱柱ABC。-4的侧面展开，

可知小虫爬行的最短路程为J(4x4尸+2?=2V65.

故选C.

12.答案：D

解析：略

13.答案：B

解析:

本题考查立体几何的基本概念，属于基础题,根据柱体的性质可判断.

①因为ABDF和△MON分别是边长相等的等边三角形，所以AB/JF三AMON,正确.

②因为在正六棱柱48。。七尸一4'8£‘。七'『'的三个顶点4,C,E处分别用平面平面800,平

面。FN截掉三个相等的三棱锥M-ABF,O-BCD,N-DEF,

由于底面ABF,BCD,DE尸都是全等的，所以各三棱锥的高M4=0C=NE,从而MA=NE',

所以MN=A'E=BF,所以②错误.

③以为BM“DN,MN〃BD,所以B,M,N,。四点共面，故③正确.

④因为。O〃BP,所以异面直线。。与BP所成角的大小为乙FPB的补角，为锐角，故错误.

故选B.

14.答案：ABD

解析：

本题考查正方体的结构特征，空间想象能力，计算能力，分析转化能力，要求综合能力较高.

逐个分析每个选项，对A,证明M满足AD】_LDM即可，对B,当M到平面BC1。内距离最大时，三

棱锥B-CiM。的体积最大，对C,求出当时的长度范围，即可求得异面直线所成角的范围，对。,

把问题转化为抛物线的定义即可.

解：若CM1ADr,因为CD1A，，所以AD11平面CDM,DMu平面CDM,所以AD11DM,又由

正方体的性质易得：4D11平面CAD,所以只要M在&D上即可，A正确；

见S=当x（应>=争所以当M到平面GBO的距离最大时，三棱锥B-CiMD的体积最大，此

时M在4处，最大距离为:x%=誓，

所以三棱锥B-GM。的体积最大值17=1x苧x竽=£8正确；

若正方体的棱长为1,当"在线段AD】上时，在△BP4Di中，可求得々M6［曰,a］,假设M在平面

BCG当上的射影为N,则MN〃CD,

NBiMN为两异面直线所成的角，COSNBI"N=鼠，

又也=」_€［返渔］,

BiMBiML2/3J

即COSNBiMN€偿，苧I,又COS30。=y>y

>30°,。错误;

M到直线GDi的距离就是MD】，在平面内，由抛物线的定义满足到直线AO和点Di的距离相

等的点"的轨迹是抛物线，。正确.

故选ABD.

15.答案：AD

解析：

本题考查四棱台的几何特征，球的表面积公式，属于中档题.

根据四棱台的几何特征对四个选项逐项分析即可.

解：连接AC,4G，取AC,4G的中点分别为尸，E,连接E凡如图所示:

由题意，因为四棱台4BCD-4/传1。1的上下底面均为正方形，且=BB]=CC1==2,

可知四棱台2BCD-481GD1是一正四棱锥被一平行于底面ABCO的平面所截后的部分，

则有EF平面ABCD,且平面4BCD〃平面4/165，所以EF为四棱台的高.

又AB=2品,A[Bi=&,所以&E=1,AF=2,

由四边形ACC14是等腰梯形，

所以EF=四]-(AJ-4E)2=V3.故A正确；

由于=2,且EF=V3.易知444C=4gCA=60°,故直线力&和直线CC1的夹角为60。，故8错

误；

在等腰梯形4ABB1中，其高为]22_(*也)2=当,则

S哪山4HBi=gX(20+勾X年=苧’

故四棱台的表面积为S=4X誓+(V2)2+(2V2)2=10+6由,故C错误；

易得44遇尸为等边三角形，AF=&F,

故AF=&F=GF=DjF=BiF=BF=CF=DF,故B为该四棱台外接球球心,

故四棱台力BCD-&B1GD1的外接球半径为2,

故该四棱台外接球的表面积为47rx2x2=16兀，故。正确.

故选AD.

16.答案：AC

解析：

本题考查正方体中的异面直线所成的角，线面角，二面角的平面角，三棱锥的内切球问题，考查知

识全面，难度适中.

A、连接4劣，可得4DJ/BC1，可得NDiAC为4c与BCi所成的角，B、连接AC交BO于E,易得CE，

面BDDiBi，垂足为E,连接BDi，交&C于尸，可得NCFE为所求，C、设BO与AC相交0,易得8。1

平面4&C,过。作。G14C,连接BG,则N0GB为二面角A-AiC-B的平面角，D、根据等积法

求解.

解：4连接力名，可得ADJ/BG，可得4Dp4C为AC与SC1所成的角，易得NO0C'；,

«)

故正确.

B.连接4c交BD于E,易得CE1面8。。泮1，垂足为E,连接85，交41c于凡可得4CFE为所求，

在RtACEP中，tan4CFE=生=J=&，

EF-AAi

故错误.

C.设8。与AC相交。，易得B。！平面44道，过。作。GJ.4C,连接8G,

•••BO_L平面4ACArCu平面44C,

BO1AXC,

又0GJ.41C,B0Q0G=0,BO、OGu平面BOG,

ArC1平面BOG,

又BGu平面BOG,

A^C1BG,

则NOGB为二面角4-AiC-B的平面角，

设正方形边长为m在RtaOGB，OB=^a,计算可得。G=^a，

26

可得tanz_OGB=—=V3,

0G

故NOG/?=：

故正确.

D设正方体棱长小VA1-ABC=%/，

设内切圆半径r,得"3=|Qa2x2+|xy/2a2+1xV2a2^r,

解得r=它二a，故错误.

2

故选AC.

17.答案：ABD

解析：

本题考查线面平行、线线垂直、异面直线夹角、线面夹角，考查了空间想象能力，属于中档题.

可证ACJ■平面S3。，所以4CJ.SB；由4B〃CD,可证4B〃平面SC£＞；由异面直线所成角的性质可

知。选项中两个角不相等；设AC与3。的交点为0,连接S。，可知C选项中两个角相等.

解：选项A正确，因为SD，平面ABC。，ACu平面ABC。，所以4CLSD,又ABC。为正方形，所

以AC1BD,因为BDnSC=D,BD、SDu平面SBD,所以ACJL平面SBD,又SBu平面SBD,所

以AC1SB；

选项8正确，因为4B〃C。，COu平面SCO,4BC平面SCD,所以AB〃平面SCZ）；

选项C错误，因为AB〃DC,所以4SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，/SAB（为直角）是。C与SA

所成的角，而NSCD*NS4B；

选项。正确，设AC与BD的交点为。，连接S。，则S4与平面SB。所成的角就是4AS0,SC与平

面SBO所成的角就是NCSO,由£4=SC,OA=OC,ACJ■平面S3。，可得乙4S0=NCS。，因此

正确.

故选ABD.

18.答案：①②③⑤

解析:

此题考查了截面的性质，关键是利用面面平行、面面相交的性质确定截面的顶点，逐项判断即可,

属中档题.

结合几何体的特征，利用线面的位置关系判断即可.

解：②当CQ=：时，即Q为CCi中点，此时可得PQ〃/15,

AP=QDi=Jp+g)2=身故可得截面APQOi为等腰梯形,

S等腰梯形，故②正确；

①由如图当点。向C移动时，满足0<CQ<[,

只需在。。1上取点M满足4M//PQ,

即可得截面为四边形APQ仞，如图所示，S是四边形，故①正确;

③当CQ=：时，如图，延长DDi至N,使DiN=%

连接AN交公劣于S,连接NQ交65于R,连接SR,

可证4N〃PQ,由EINRDis团QRG，

可得C】R:=GQ:AN=1:2,故可得GR=%故③正确;

N

④由③可知当:<CQ<1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然如图所示的APQKS,如图S

是五边形，故④不正确；

⑤当CQ=1时，。与G重合，取的中点凡连接AF,

可证PG〃4F,且PG=4F,可知截面为力PGF为菱形,

故其面积为区内甘.存心冬

如图S是菱形，面积为鱼x/二当，故⑤正确,

故答案为①②③⑤

19.答案：3项仄

解析:

本题考查了球的截面的性质，球的体积公式，属于中档题.

在取点P,使2BP=PB1，证明BNJ_平面。CP,根据则点M的轨迹为平面0cp

与球。的截面圆周，再计算即可.

解：如图，在上取点尸，使2BP=PBi，连接CP,DP,N8

又NC】=2NBi，所以PB=NBi

则容易证明△CBP三&BBiN,

所以NBCP=乙B、BN

又NBCP+NBPL:

所以N31N+N3PC':,即得BN1CP

又容易知道C0_LBN,且COnCP=C,CD,CPu平面。CP,

则BN，平面DCP,

乂DM1BN

则点M的轨迹为平面DCP与球0的截面圆周，

设正方体的棱长为。，则手x-9信，

解得a=3^2,

连接OD,OP,OC,这0到平面0cp的距离为人

由％-DPC=%-OP。’

贝壮x二x3V2x2V5x/i=ixix3x2x3

3232

求得0到平面DCP的距离为九=逆

所以截面圆的半径r晅

10

则点M的轨迹长度为2-零一噌

故答案为噌.

20.答案：57r

解析：

本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，解题的关键是确定三棱锥A-BCD的外接球的直径，

属于较难题.

根据已知确定三棱锥4-BC。的外接球的直径为AC,进而求得三棱锥4-BOC的外接球的半径，即

可求得棱锥4-BDC的外接球的表面积.

解：如图①所示，取8。的中点M,

①

连接AM,CM,由题意知国ABC,团BCD都是等边三角形.

如图②，由题意知回AMC为等腰直角三角形,

②

在Rt团AMC中，P,。分别是CM,AM上靠近M的三等分点,

分别过尸，。作CM的平行线，两直线交于0,

则0C即为三棱锥A-BCD外接球的半径.

在RtUIOPC中，PC=1,OP=3则0。=在，

22

2

故三棱锥4-BCD的外接球的表面积为47rxg)=5大

故答案为5;r.

21.答案：平面A8C,平面

解析：

本题考查的知识点是直线与平面平等的判定定理，三角形重心的性质，其中根据重心的性质，判断

出MN〃AB,是解答本题的关键，为基础题.

根据M、N分别是面△ACO、△BCO的重心，得AM,8N相交于CO的中点E,进而得到MN〃/1B,

根据线面平行的判定定理，得与经过A8的平面平行，分析四个平面后，即可得到答案.

解：如图连接AM并延长，交CD于E,连接8N并延长交CD于F,

由重心性质可知，E,尸重合为一点，且该点为CD的中点E,

C=S=?得MN//AB,

因为MNC平面ABC,ABu平面ABC,

MNC平面ABD,ABu平面ABD,

所以，MN〃平面ABC,MN〃平面

故答案为平面ABC,平面AB。.

A

c

22.答案：127r

解析：

本题考查了几何体的外接球和球的表面积，设鳖脯的外接球的半径为r,可知PC为外接球的直径,

由勾股定理求出球的直径即可求出球的表面积.

解：如图所示，PAABC,AB1BC,PA=AB=2,

P

B

设鳖膈的外接球的半径为r,可知PC为外接球的直径,

由勾股定理得2r=PC=收+(2夜/=2V3-

该鳖膈的外接球的表面积为4仃2=127r.

故答案为127r.

23.答案：呼

7rz

解析:

本题考查圆锥、圆柱的体积公式，属于基础题.

根据题意，进行求解即可.

解：设圆锥底面圆的半径为r,高为h,贝!1271T=n7?,

R

:.丫=一

2

R2=r2+h2,:/1=枭,

〃1

:.V圆锥=3X7rXx—R=—7T/?3；

(I)224

用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面,

则该圆柱的体积为：([,)xTrxZRujR3.

则该圆柱与圆锥的体积之比为：拿==誓.

--7T/?3n

24

故答案为：邛.

H2

24.答案：127r

解析:

本题考查了勾股定理的运用，考查了等腰三角形的高线及中线的性质，解本题的关键是掌握等腰三

角形底边的高线，中线，角平分线三线合一的性质.

根据M-ABC四个面都为直角三角形，MA_L平面ABC,MA=AB=BC=2,求解三角形的4c=2夜,

从而可得=2百，即可求解该鳖腐的半径，由此能求出该鳖般的外接球的表面积.

解:“一4BC四个面都为直角三角形,MA平面ABC,MA=AB=BC=

2,

.,•在中：AC=2-72.

从而可得MC=>JMA2+AC2=2V3.

•・•△4BC是等腰直角三角形，

ABC外接圆的半径为“C=V2,

•••外接球的球心到平面ABC的距离为等=1.

可得外接球的半径R=y/2+l=V3，

故得外接球表面积S=4兀x3=127r.

故答案为127r.

25.答案：2企

解析：解：由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成

组合体的内切球，

内切球的半径R=1.如图为这个组合体的轴截面的示意图，

圆0为内切球的轴截面，E、F、G、”分别为切点，

连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,OH,

由题意可知，AB1BC,AD1DC,AC=h1+h2,

R=OE=OF=OG=OH=1,贝牍四边跻BCD=SAAOB+-5ABOC+5ACOD+S^AOD,

即AB-BC=-R-AB+-R-BC+-R-CD+-R-AD=-R-(2AB+2BC)

=R/AB+BC),

・•・AB+BC=AB-BC,

由基本不等式可得：AB-BC=AB+BC>2y/AB-BC,则4B•BC24,

当且仅当AB=BC时"=”成立.

2222

：.(hi+h2)=AC=AB+BC>2ABBC>8.

当且仅当AB=BC时”=”成立，故b+殳的最小值为2a.

故答案为2V

由题意画出图形，圆。为内切球的轴截面,E、F、G、H分别为切点，由题意可知1BC,AD1DC,

AC=h1+电，再由等面积法可得力B+BC=AB'BC,然后利用基本不等式求最值，得到AB-BC>4,

当且仅当AB=BC时”=”成立，则(/ii+/i2)2=4C2=aB2+BC2N