高中数学函数解析(文)

函数

【知识点】

一、函数的概念：

1.映射：

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A

中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A7B

为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)7B(象”'

对于映射£1-6来说，则应满足：

(1)集合力中的每一个元素，在集合Z?中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合/中不同的元素，在集合8中对应的象可以是同一个；

(3)不要求集合6中的每一个元素在集合A中都有原象。

2.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个

数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AfB为从集合A到集合B

的一个函数.记作：y=f(x),xGA.

其中，X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做

函数值，函数值的集合｛f(x)|xCA｝叫做函数的值域.

函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

3.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.

4.函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

1.设函数/(X)对任意X、y满足f(x+y)=f(x)+/(y),且〃2)=4,则〃-1)=(A)

A.-2B.±-C.±1D.2

2

2.下列各组函数中，表示同一函数的是(A)

x2-4[x(x>0)

A<x)=l,g(x)=x0B.J(x)=x+2,g(x尸...-C.7(jr)=|x|,g(x)=\尸尤,

x-21-x(x<0)

g(x)=(4)2

二、定义域及值域的求法：

1定义域的求法

能使函数式有意义的实数X的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时，列不等式

组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；

(5)指数为零，底不可以等于零；

(6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部

分都有意义的x的值组成的集合；

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

2值域的求法：

(1)观察法：

通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

(2)配方法:

(二次或四次)转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；

常转化为含有自变量的平方式与常数的和，型如：/(幻=依2+法+,/€(加,〃)的形

式，然后根据变量的取值范围确定函数的最值。

⑶换元法:

代数换元法通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的：三角代换法可将代数函数

的最值问题转化为三角函数的最值问题，化归思想。

(4)分离常数法：

对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域。

(5)反求法：

通过反解，用y来表示X,再由X的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常

用来解，型如：y=

cx+d

(6)判别式法：

若函数产f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x+6(y)x^c(y)

=0,则在a(y)WO时，由于x、y为实数，故必须有4=炉(y)—4a(y)•c(y)》0,从

而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值。

(7)最值法：

对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值，并与边

界值f(a),f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。

(8)基本不等式法：

k

转化成型如：y=x+2(Z>0),利用基本不等式公式来求值域。

x

(9)单调性法：

函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

如果函数尸f(x)在区间[a,加上单调递增，在区间"，c]上单调递减则函数片在

x=b处有最大值；

如果函数片/'(x)在区间[a,6]上单调递减，在区间"，c]上单调递增则函数尸f(x)在

2b处有最小值F(力

(10)数形结合：

根据函数图象或函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

(11)构造法：

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

(12)导数法：

利用导数求值域。

1.已知函数/(幻的定义域为[0,4],求函数y=/(x+3)+/(x2)的定义域为()

A.[-2,-1]B.[1,2]C.[-2,1]D.[-1,2]

2.函数y=43—的值域为[0,2]

3

邛-1,xW0,(一8,一

/(尤)=«_i，若/(%)>1,则无o的取值范围是

0.

4.函数y=|x+l|+|x-2|的值域为-3,+8)

5、12012高考山东文3】函数〃x)=——+J4—W的定义域为

ln(x+l)

(A)[-2,0)U(0,2](B)(-1,0)U(0,2](C)[-2,2](D)(-l,2]

【答案】B

【解析】方法一：特值法，当％=-2时，/(x)=ln(x+l)无意义，排除A,C.当x=0时,

/(O)=ln(O+l)=lnl=O,不能充当分母，所以排除D,选B.

x+1>0x>-l

方法二：要使函数有意义则有Jn(x+1)HO,即(xHO，即一1<X<0或0<XK2,

4-x2>0-2<x<2

I、

选B.

三、解析式的求法：

1.待定系数法：

已知函数图象，确定函数解析式，或已知函数的类型且函数满足的方程时，常用待定

系数法。

2.函数性质法：

如果题目中给出函数的某些性质(如奇偶性、周期性)，则可利用这些性质求出解析式。

3.图象变换法：

若给出函数图象的变化过程，要求确定图象所对应的函数解析式，则可用图象变换法。

4.换元法：

5.配凑法：

6.赋值(式)法：

1.(07安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为()

3

A.y=-\x-1\(0WxW2)

33

B.y=---\x-\\(0WxW2)

3

C.y=­—1x-11(0WxW2)

D.y=1—|X—11(0WxW2)

答案B

2.12012高考重庆文12】函数/(x)=(x+a)(x—4)为偶函数，则解析式为一一

【答案】/(—x)=/(x),a=4f(x)=(x+4)(x-4)

3.曲线y=d-尤+3在点(1,3)处的切线方程为.

3.2x-y+l=0

4.如果函数)的图象与函数g(x)=3-2x的图象关于坐标原点对称，则)，=/")的表

达式为()

A.y=2x-3B,y=2x+3C.y=-2x+3D.y=-2x-3

四、函数图象:

1.定义：

在平面直角坐标系中，以函数,&GA)中的x为横坐标，函数值，为纵坐标

的点P4,力的集合C,叫做函数y=f(x),(xGA)的图象.C上每一点的坐标底,力均满足

函数关系产反过来，以满足的每一组有序实数对八y为坐标的点小，y),

均在C上.

2.画法：

(1)描点法：

(2)图象变换法：

常用变换方法有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换

3.区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示.

1.12012高考四川文4】函数)，="一。(。＞0,。工1)的图象可能是()

【答案】C

【解析】当。＞1时单调递增，一。＜0,故A不正确；因为

y=a*-a(a＞0,aHl)恒不过点(1,1),所以B不正确；当0＜。＜1时

单调递减,，一1＜一。＜0故C正确；

2.(2012年高考(四川文))函数丁=优一。(。＞0,。/1)的图象可能是C

3.(2009山东卷文)函数y=-----的图像大致为().

e-e

答案A.

解析函数有意义，需使/-e-,HO,其定义域为{x|xwo},排除C,D,又因为

y==三二」=1+-7=~,所以当x>0时函数为减函数，故选A.

ex-e-xe2x-\e2r-l

【命题立意】：本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点

在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

4.(07安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为

3

A.y-(0WxW2)

33

B.^=———|x-11(0WxW2)

3

C.^=--|x-l|(0WxW2)

D.^=l-|x-l|(0WxW2)

答案B

五、函数的单调性：

1.定义：

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量

xi,x2,当xi〈X2时，都有f(xi)〈f(xz),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间Q称为y=f(x)

的单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值Xrxz,当xKx?时，都有f(xi)>f(xj,那

么就说/Y/在这个区间上是减函数.区间必称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性旅

2.图象的特点：

如果函数y=F⑨在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有

(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右

是下降的.

3.函数单调区间与单调性的判定方法：

(1)定义法：

①任取X1,X2GD,且X1〈X2；②作差f(X)-f(X2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f(xj-f(x”的正负)；

⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

(2)图象法(从图象上看升降)

4.函数单调性的常用结论：

⑴若/(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则/(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)

函数；

(2)若/(x)为增(减)函数，则—/(x)为减(增)函数；

⑶若/(x)与g(x)的单调性相同，则y=/［g(x)］是增函数；若/(x)与g(x)的单调性不

同，则y=/［g(x)］是减函数；其规律：“同增异减”

(4)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；

(5)常用函数的单调性解答：比较大小、求值域与最值、解不等式、证不等式、作函数图象;

(6)函数的单调区间只能是定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集。

1.下列四个函数：①y=---;②y=③y=-(x+l)2；@y=----+2,其

x-1\-x

中在(90,0)上为减函数的是(A)o

(A)①(B)④(C)①、④(D)①、②、④

2.已知/(幻=(x-2)2,xe［-1,3］,函数/(x+1)的单调递减区间为「一2,11

3.(07天津)在R上定义的函数/(x)是偶函数，且/(x)=/(2—x),若/(X)在区间［1,2］

是减函数，则函数/(%)()

A.在区间［-2,—1］上是增函数，区间［3,4］上是增函数

B.在区间［-2,-1］上是增函数，区间［3,4］上是减函数

C.在区间上是减函数，区间［3,4］上是增函数

I).在区间［-2,—1］上是减函数，区间［3,4］上是减函数

答案B

4.(2005年上海13)若函数/(x)=w，u，则该函数在(-8,2)上是()

A.单调递减；无最小值B.单调递减；有最小值

C.单调递增；无最大值D.单调递增；有最大值

答案A

5.(2009广东三校一模)设函数/(x)=(l+x)2—21n(l+x).

⑴求/(x)的单调区间；

解(1)函数的定义域为(-I,y),/'(x)=2(》+1)-+=当/.

由/'(九)>0得x>0；

由广(x)<0得一1<x<0,则增区间为(0,+8)，减区间为(一1,0).

6函数y='x2-lnx的单调递减区间为(B)

2

A.(-1,1]B.(0,1]C.[1,+8)D.(0,+8)

7.(2012年高考(山东文))已知函数，(幻=虹些"为常数,e=2.71828是自然对数的底

ex

数)，曲线y=/*)在点处的切线与x轴平行.

(I)求力的值；

(II)求f(x)的单调区间；

1,,

--uXX—K.,

71.解：(I)f\x)=^--------，由己知，/(1)=-=0,A^=1.

ee

1।t

(ID由(D知，f\x)=^-------.

e

设k(x)=1-InX-1,则N(x)=即k(x)在(0,+oo)上是减函数，

XXX

由MD=0知，当0<x<l时k(x)>0,从而f\x)>0,

当x>1时k(x)<0,从而/'(x)<0.

综上可知，/(X)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(l,+oo).

六、函数的奇偶性：

1.定义：

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就叫

做偶函数.

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就

叫做奇函数

2.具有奇偶性的函数的图象的特征：

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.

3.判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

②确定f(-x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：若f(一x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；

若f(—X)=—f(x)或f(―x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.

4.函数奇偶性的常用结论：

(1)如果一个奇函数在x=0处有定义，则/(0)=0,如果一个函数y=/(x)既是奇函数

又是偶函数，则/(x)=0(反之不成立)

(2)两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数；之积(商)为偶函数。

(3)一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

(4)两个函数>=/(〃)和〃=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该

复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则/(x)可以表示为

/(x)=；"(》)+/(-^)]+|[/W-/(-初，

该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

(6)若函数y=/(x)是偶函数，则/'(x+a)=/(—x-a)；

若函数y=/(x+4)是偶函数，则/(x+a)=f(-x-\-d).

(7)多项式函数的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数=P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

I.12012高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

,,1.।

A.y=x+lB.y=-x'C.y=—D.y=x|九|

x

【答案】D.

【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知A非奇非偶的增函数；B是奇函数

无2r>0

且是减函数;C是奇函数且在(—8,0),(0,+8)上是减函数;D中函数可化为y=4；一

-x,x<0

易知是奇函数且是增函数.故选D.

2.(2012年高考(上海文))已知y=/(x)是奇函数.若g(x)=/(尤)+2且g⑴=1.，则

g(T)=______12.g(T)=4-g⑴=3

3.试判断下列函数的奇偶性：

(1)/(x)=|x+2|+|x-2|;(2)/(加四三；(3)/(x)=^(x-l)°.

|x+3|-3x

3.ft?：(1)函数的定义域为R,x)=|—x+2|+|—x—2|=|x—2|+|x+2|=/(x),

故为偶函数.

(2)由(一八得：—14x41且XH0,定义域为[-1,0)U(0,1],关于原点对称，

[|x+3|-3Ho

/(x)=j—;二」—―，/(-X)=X=-f(x)»故/(X)为奇函数.

(3)函数的定义域为(-8,0)U(0,1)U(1,+8),它不关于原点对称，故函数既非奇函数,

又非偶函数.

七、函数的周期性：

1.定义：

一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值

时，都有/(x+T)=/(x),那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期。

2.函数周期性的性质：

(1)对于非零常数A,若函数y=/(x)满足/(x+A)=-/(x),则函数y=/(x)必有一个

周期为2A。

(2)对于非零常数A,函数y=/(x)满足/(x+A)=」一，则函数y=/(x)的一个周期为

/(x)

2A。

(3)对于非零常数A,函数y=〃x)满足〃幻=---,则函数y=〃x)的一个周期为2A。

/(x)

3.对称性和周期性之间的联系：

(1)函数y=f(x)有两根对称轴产a,产6时，那么该函数必是周期函数，且对称轴之间距

离的两倍必是函数的一个周期。

(2)函数y=/(x)满足/(4+#+/(4—幻=0和/3+*)+/仍一幻=0(aW6)时，函数

y=/(x)是周期函数。

(函数y=/(x)图象有两个对称中心(a,£)、"，-)时，函数y=/(x)是周期函数，

且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。)

(3)函数y=/(x)有一个对称中心(a,c)和一个对称轴x=。)(a#8)时，该函数也是

周期函数，且一个周期是4S-“)

1.(2009山东卷理)定义在R上的函数fi(x)满足出x)=4°g2(l-“)，x"°,

则f(2009)的值为()

A.-lB.0C.lD.2

答案C

解析由已知得/(-i)=iog22=1,y(o)=o,/(i)=/(o)-/(-i)=-i,

/(2)=/(1)-/(0)=-l,/(3)=/(2)一/⑴=—1—(—1)=o,

/(4)=./•⑶-/(2)=0-(T)=1,〃5)=/(4)-/⑶=1,/(6)=〃5)-/(4)=0,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.，所以f(2009)=f(5)=1,故选C.

【命题立意】：本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

2.(2009广东三校一模)定义在火上的函数/(x)是奇函数又是以2为周期的周期函数，则

/⑴+/(4)+/(7)等于()

A.-lB.0C.1D.4

答案B

八、一次函数：

形如y=kx+b,k,bwR,kW0的函数

九、二次函数：

1.一般式：f(x)=ax~++C,6Z0

2

2.顶点式：f(x)=a(x—m)+n9a^0

3.零点式：f(x)=a(x-Xj)(x-x2),a^0

十、反比例函数：

k

形如y=—WO的函数

X

1.我们常用分离常数的方法将一个分式型函数转化为反比例函数来研究:

a,adbad

(zcx+d)+b-

ax-Vhccacr1

=—+---M(〃,CWO)

cx+dcx-Vdc.d

x-\——

与bb_d_〜)

a(x+%+一a(

aax-\rbaa(a

或：)=_(1+一)，+cac3*0)

cx+d,dcd,cl

c(x+)x+X+%+

ccc

-\^一■、指数函数:

1根式的性质：

①(必)"=a；

②当〃为奇数时，折=a；

当〃为偶数时，底7=|a|=("(a~0)

l-tz(a<0)

2.指数函数:

函数名称指数函数

定义函数y=a'(a>0且aH1)叫做指数函数

a>10<a<l

J[21r

图象

(0,1)

2__.

AX

定义域R

值域(0,+8)

过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=l

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在火上是减函数

ax>1(x>0)ax<1(x>0)

函数值的

优=](=0)ax=1(x=0)

变化情况x

ax<\(x<0)ax>1(x<0)

a变化

对图象在第一象限内，。越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低

的影响

十二、对数函数：

1.对数：

①定义：如果a（a>0,且。声1）的b次嘉等于N,就是a〃=N,那么数b称以a为底N的

对数，记作log。N=b，其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，logioN记作IgN；

2）以无理数e（e=2.71828…）为底的对数称自然对数，log,N,记作InN

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；

h

2）对数恒等式：log01=0,log,,a=l,。嚏"N=N,logaa=b

3）对数式与指数式的互化：x=log“Naa'=N（a>0,aHl,N>0）

③运算性质：

如果a>0,a，l,M>0,N>0,那么

1）加法：log“M+log„N=log"（MN）

M

2）减法：logaM-log“N=log„—

3）数乘：nlogrtM=log“M"（nGR）

4）换底公式：log“N=♦（a>0,aH0,m>0/nH1,N>0）；

log,”a

ll

log“b10g,<7=1；logb"=—log„b

zm

2.对数函数：

logflx>0(x>l)log„x<0(x>l)

函数值的logx=0(x=l)logx=0(x=l)

变化情况aa

log。x<0(0<JC<1)log“x>0(0<x<1)

a变化

对图象在第一象限内，。越大图象越靠低；在第四象限内，。越大图象越靠高

的影响

十三、幕函数:

1.某函数的定义

一般地，函数y=/叫做事函数，其中x为自变量，。是常数.

2.暴函数的图象|

3.幕函数的性质

①图象分布：

幕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.基函数是偶函数时，图象分布

在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点

对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.

②过定点：

所有的暴函数在（0,+°。）都有定义，并且图象都通过点（1,1）

③单调性：

如果a>0,则募函数的图象过原点，并且在［0,+8）上为增函数.如果a<0,则塞

函数的图象在（0,+8）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.

④奇偶性：

当a为奇数时，幕函数为奇函数，当a为偶数时，幕函数为偶函数.当仪=幺（其中p心

P

互质，”和qeZ）,若“为奇数q为奇数时，则〉=》"是奇函数，若p为奇数（7为偶数时,

幺1

则y=x°是偶函数，若P为偶数令为奇数时，则y=x0是非奇非偶函数.

⑤图象特征：

幕函数y=xa,xe(0,+8),当&>1时，若其图象在直线y=x下方，若

x>l,其图象在直线y=x上方，当a<l时，若0<x<l,其图象在直线y=x上方，若

x>l,其图象在直线y=x下方.

十四、复合函数：

1.定义：

设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若A2B,则y关于x函数的y=fEg(x)］

叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

2.定义域：

⑴已知CO的定义域为(a,b),求用劭的定义域的方法：

实际上是已知中间变量的〃的取值范围，即空w(a,*),昉，

通过解不等式a<B(x)<五求得义的范围，即为及底》的定义域。

(2)已知/38)的定义域为(a,b),求的定义域的方法：

实际上是已知直接变量X的取值范围，即xwQfc协。先利用avxv,求得gG)的

范围，则&G)的范围即是/(x)的定义域。

3.值域：

关键是由里向外，逐层解决。

4.解析式：

(1)己知/(X)求复合函数加的解析式，直接把了(X)中的X换成g)即可.

⑵已知mo)］求/⑸的常用方法有：配凑法和换元法。

1、配凑法就是在加0)］中把关于变量X的表达式先凑成身。)整体的表达式，再直接把

的)换成戈而得了(X)

2、换元法就是先设双X)='，从中解出文(即用t表示M),再把M(关于t的式子)

直接代入力X*)］中消去“得到了(0,最后把/夕)中的，直接换成x即得了G)

5.单调性：

(1)引理证明：

已知函数y=/(g(x)).若〃=g(x)在区间)上是减函数，其值域为(c,d),又

函数y=/(〃)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=/(g(x))在区间(。为)上

是增函数.

(2)复合函数单调性的判断：

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表:

y=/(«)增/减、

u=g(x)增/减、增/减、

y=/(g(x))增/减、减、增/

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

(3)复合函数)，=/(g(x))的单调性判断步骤：

1、确定函数的定义域；

2、将复合函数分解成两个简单函数：>=/(“)与“=8(幻。

3、分别确定分解成的两个函数的单调性；

4、若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数，或都是减函数)，则复合后

的函数y=/(g(x))为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,

而另一个是减函数)，则复合后的函数y=/(g(x))为减函数。

6.奇偶性：

(1)若内函数为偶函数，那么复合函数的奇偶性与外函数无关，必为偶函数；

(2)若内与外函数都为奇函数，那么复合函数也是奇函数；

(3)若内函数为奇函数，外函数为偶函数，那么复合函数必为偶函数。

除以上类型外，其它类复合函数的奇偶性和须严格按函数奇偶性定义来判断。

十五、反函数：

1.定义：

一般地，对于函数y=f(x),设它的定义域为D,值域为A。如果对于A中的任意一

个值丁，在D中总有惟一确定的x值与它对应，使y=/(x),这样得到x关于丁的函

数叫函数J=f(X)的反函数。记作X=f-'(y).习惯上，把它改写为J=f-'(x)(XGA)。

2.求反函数的基本步骤：

(1)求值域：求原函数的值域

(2)反解：视y为常量，从y=/(x)中解出唯一表达式x=/T(y),

(3)对换：将x与y互换，得y=/T(x),并注明定义域。

3.反函数丁=.尸(力与原函数y=/(x)的关系：

(1)y=/T(x)的定义域、值域分别为y=/(x)的值域、定义域。

(2)若y=存在反函数，且y=/(x)为奇函数，则y=/T(x)也为奇函数。

(3)若＞="X)为单调函数，则了=/T(X)同y=〃x)有相同的单调性。

(4)丫=/(九)和丁=广|(刈在同一直角坐标系中，图像关于y=x对称。

4.存在反函数的条件是：函数为单调函数(或一一对应)

例【2012高考全国文2】函数y=Jx+l(xN-l)的反函数为

(A)y-x1-l(x>0)(B)y-x2-l(x>1)

(C)y=x2+l(x>0)(D)y=x2+l(x>1)

【答案】B

函数练习

一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)

1.己知集合A={x|x<3},B={X|2"T>1},则()

A.{x|x>l}B.{x|x<3}C.{x[l<x<3}D.0

2函数〃x)=—!—+14-f的定义域为()

ln(x+l)

(A)[-2,0)U(0,2](B)(-1,0)U(0,2](C)[-2,2](D)(-l,2]

1—JC2,xWl,(1、

3设函数/(x)=,则/的值为()

X2+X-2,X>1,'1/(2)J

D.18

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.下列各组函数中，表示同一函数的是（）.

.，x2

A.y=l,>=一B.y-y/x-YJrJx+l,y-Jx-1

x

C.y=x,y=V?D.y=|xI,y=(GA

6.函数凡v）=lnr—嚏的零点所在的区间是

A.(O,1)B.(l,e)C.(e,3)D.(3,+oo)

7.已知f（五+l）=x+l,则f（x）的解析式为（）

A.x'B.x2+1（x^l）C.x2—2x+2（x2l）D.x2—2x（x^l）

8.一等腰三角形的周长是20,底边y是关于腰长x的函数，它的解析式为（）

A.y=20-2x(x^l0)B.y=20-2x(x<10)

C.y=20-2x(5WxW10)D.y=20-2x(5<x<10)

9.函数/@）=1°81（1_*）5+3）的递减区间是（）

A.(-3,-1)B.(-8,-1)C.(-8,-3)D.(-1,一8)

10.若函数f（x）=l+1是奇函数，则m的值是（）

A.0B.-C.1D.2

2

(3a-Dx+4a,x<l

11.己知凡r)=《、是R上的减函数，那么。的取值范围是()

log”X9X71.

A.(0,l)B.(0,1)C.［|,|)D.［1,1)

12.定义在R的偶函数段)在［0,+oo)上单调递减，且心=0,则满足"。蠢)<0的x的

集合为()

A.(-8,1)U(2,+OO)B.(1,1)U(1,2)C.(1,1)U(2,+OO)D.(0,1)U(2,

+oo)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13•若(a+l)T<(3一2/，则a的取值范围是•

14、若4=0.53,匕=3