高中数学课堂讲义-同角三角函数的基本关系

高中数学课堂讲义——同角三角函数的基本关系

目录

1.前言..........................................................................1

??必备基础.....................................................................1

????同角三角函数基本关系........................................................2

????三角函数诱导公式............................................................4

????本文小结....................................................................6

1.前言

好的教学设计有两条基本原则：一是本节课的必备知识落实到位，包括概

念，公式的发现、推导、运用；二是通过特定问题渗透的基本思想方法到位.需

要关注到学生的发展潜能，促进学生数学素养的提升.

本节课立足于引导学生面对新问题如何探究，设问有一定深度，探究是有

效的.在探究同角三角函数关系时，从定义出发，从简单问题开始探究，使得

探究活动合乎逻辑.有定义知道，同角三角函数的关系就是坐标关系，然后从

坐标联系到几何中的直角三角形，通过勾股定理得到平方关系，设问层层递进,

一步步引导学生如何用联系的观点探索新问题.

例题的设计方面有一定想法.三角函数知一求二是公式的基本应用，已知

正弦，求余弦、正切，这是本节最基础的问题，已知正切反过来求正、余弦在

本节课中也有研究.由于学生基本功整体比较好，所以这个变化也是照顾到实

际学情，有一定的道理.

本节可花了较多时间探究恒等式，发会学生的主观能动性，让学生积极探

索，对学生数学思维的发展是有帮助的.但是，这里是否可以让学生在探究之

前，先处理课本上的例题，证明三角恒等式，让学生思维的跨度没有那么大？

这是可以探讨的.

总的来说，本节课立足四基，发展四能，关注学生数学素养的发展，较好

地完成了教学任务.

必备基础

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①直角三角形中三角函数定义与性质

例如，当A+B=TT/2时，有sinA=cosB=a/c,sinB=cosA=b/c,(sinA)A2

+(cosA)A2=(a/c)A2+(b/c)A2=1,等等。

②任意角与(单位圆中)任意角三角函数的定义和性质

详见本号文章《系统化，轻快学习高中数学"任意角及任意角三角函数”的必

备知识》，这里不再赘述。

提示：即使基础特别薄弱的同学想学好高中数学，技术上也不难，只需把

学习中遇到的薄弱环节一个一个地、系统地补强即可(即真正有效、持续地对问

题做减法，直至不再有薄弱环节)，比如有些同学很难完全、准确地理解口诀“奇

变偶不变，符号看象限”，就需要先上述必备基础内容先温习直至完全掌握，再

回头来学就容易了。而真正的困难往往在树立正确的学习观念(包括态度、理

念等)上。

??.同角三角函数基本关系

1)'同角'的两层含义

①角相同

②对任意一个使三角函数有意义的角，以下关系式都成立

2)同角三角函数的基本关系式

同角六边形-三种重要基本关系:

①倒数关系-对角线

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如tana=cota；

②商数关系-各顶点等于相邻两顶点乘积

如tanaxcona=sina,也即tana=sina/cona；

③平方关系-图中三个倒三角形中，下面这个顶点的平方等于上面两个

顶点平方之和

(sina]A2+(cosa)A2=1(平方关系)。

提示1：当cosa和sina不为0时，有(cosa)八3V(cosa)八2,(sina)A3<

(sina)A2o

提示2：一些常见的、成对的勾股数J5/5与2,5/5、J10/10与3^10/10、

1/2与V3/2等。

3)同角三角函数的有关要领与技巧

①知值求值时，知一求所有(三角函数值)

即知道某一个三角函数的值，其它三角函数值均可求出。注意，求值时要

先确定角所在象限。

②(cosa土sina)A2的妙用

可通过(cosa土sina)A2来实现"cosa+sina、cosa-sina、cosasina”三式之间

转换。

当已知这三式中的一个时，可结合隐式已知条件"(sina)"+(cosa)A2=1",

推出另外两个式子的值，即知一求二。此为解题时常常用到的技巧！

③“1”的妙用

需要时，可把1转换为三角函数的多项式，如l=(sina『2+(cosa)八2。这

处关键是意识！

④“土”的取舍

涉及平方根、算术平方根、绝对值时，注意士的取舍，做到不多、不漏。

⑤单位圆辅助分析与理解

可借助单位圆来便捷地分析与理解角的象限或范围、以及三角函数值的正

负号。

思考：同角三角函数基本关系式对任意角a都成立吗？是的，前提是关系

式中每个a的三角函数都有意义，如tana时awn/2。

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??.三角函数诱导公式

1)诱导公式的意义

即将角“kx(n/2)+a”的三角函数转换为a的三角函数。这个转换过程常涉

及两个问题：

①三角函数名称如何变化？

②三角函数值的正负号如何变化？

下面将从两个问题视角来总结三角函数诱导公式的规律。

提示：以下分析把a看作锐角来进行分析。但a未必是正的锐角，实质上

它可以是任意角，比如负角。因此，当a不是正的锐角时，若需要，可利用诱

导公式再对a的三角函数继续进行变换。这并不影响分析得出的结论。

2)常见诱导公式的变换规则(辅助记忆)

提示：下述"其余"是指正余弦、正余切四个函数中剩余的那些函数。

①整圈(即2kn+a时)不变

即函数名不变、符号也不变。

②半圈(即2k7r+it+a)变号

即函数名不变，正余弦函数变号、正余切函数不变号。

③3/4圈(即2kn+3n/2+a)函数名互变，余弦不变号、其余变号

即正弦与余弦间、正切与余切间函数名互变，余弦函数不变号、其余函数

变号。

④1/4圈(即2kn+n/2+a)函数名互变，正弦不变号、其余变号

即正弦与余弦间、正切与余切间函数名互变，正弦函数不变号、其余函数

变号。

⑤角度取反(即-a),余不变号、其余变号

即函数名不变，余弦函数不变号、其余函数变号。

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-vj/

2kn+a

角度取反时：

!、-a与+a是以x正半轴为对称

-1(轴’所以sina=-sin(-a),

y|、弋［cosa=cos(-a)>所以—：者

正余切函数也需变号。

2k口.。上一溜里

⑥两角互余(即n/2-a),函数名互变，符号不变。

即正弦与余弦间、正切与余切间函数名互变，而符号均不变。

提示：这些规则要全部准确记忆且不搞混，并不容易。因此，更好地理解

和记忆方法是口诀"奇变偶不变，符号看象限”(辅以单位圆工具)。

3)三角函数诱导公式有关要领与技巧

①诱导公式记忆口诀"奇变偶不变，符号看象限”

务必熟记诱导公式记忆口诀，即"奇变偶不变，符号看象限"。这里"奇、偶"

指的是TT/2的倍数的奇偶，"变与不变"指的是三角函数的名称的变化，即正余

弦互变或正余切互变。"符号看象限"指的是先把角a一律看作锐角(即先不考虑

与分析a角本身不同情形),然后由n・(n/2)+a所在的象限来判定变换后的正

负号。

提示：对于口诀，笔者的建议是慎用，尤其一些与问题实质关联不强的口

诀，其本质仍属强记，只有短期效果，意义不大。这类口诀多了反而徒增负担。

但这条口诀的形式与内容都堪称完美，务必记住。

②单位圆辅助理解与记忆

可借助单位圆来便捷地理解和记忆上述变换规则、口诀或诱导公式。尤其

在考试中不确定某条变换规则时，可利用单位圆来推导或验证。详见后文小结

部分的图例与分析。

③建议只记忆+a的情形

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规则多了，增加记忆负担不说，还容易造成混淆。因此，除非记忆力特别

好，否则不建议记忆2kn-a、2kn+n-a、2kli+ii/2-a的变换规则，而建议你先

把-a看成整体即+（-a）进行变换，再根据‘角度取反'规则进行变换。这样多花的时

间是秒级，基本可忽略不计。

④复杂（如多项式）角与角之间关系的识别或判定

实际应用中，复杂的角与角间的关系有时不易看清，此时可把各个角相加

或相减，然后根据其结果是否为n/2的整数倍来判定能否以及如何选择三角函

数诱导公式。

例如,sin（Ti/3-x）与COS（TT/6+X）中，两角和为ir/2,即互余！

⑤有关三角函数诱导公式的解题一般思路

"大角小化、钝角锐化、负角正化”，既先以2kn把角化简到［0,2n）之间；然

后按需再化简为锐角（若只需判定符号则未必需要继续化简）、或按需把负角

转换为正角。

??.本文小结

1）同角三角函数基本关系

①熟记同角六边形中的倒数关系、商数关系和平方关系。

②熟练掌握同角三角函数有关要领与技巧。

2）三角函数诱导公式

重点地理解与熟记诱导公式的口诀"奇变偶不变，符号看象限”！可通过下面

四图来理解与分析此口诀：

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①当a所加的角度为TT/2的偶数倍时，说明如下

a+2kn时（右图）：

终边在第一象限，此时函数名

称与符号均不变。因a+2kir相

当于终边转了k圈后停在原来

位置，所以三角函数均未变.

a+2kn：+兀对（左图）：

终边在第三象限，此时sin（a

+2kn+n）=-y=-sina,cos（a

+2kn+n）=-x=-cosa,即函数

名称不变，而正余弦变号、

正余切不变号（负负得正，母更学习里室

②当a所加的角度为11/2的奇数倍时，说明如下

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a+2k兀+兀/2时（左图）：

终边在第二象限，此时sin（a+

2kn+n/2）=x=cosa.cos（a+

2kn+n/2）=-y=-sina,即函数

名称改变（由6+a=n/2可知）,

且正弦不变号，其余