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文档简介
《7.5正态分布》教案
【教材分析】
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》,第七章《随机变量及其分布
列》,本节课主本节课主要学习正态分布
本节课是前面学习了离散型随机变量,离散型随机变量的取值是可列的。而连续型随机变
量,连续型随机变量是在某个区间内可取任何值。其重要的代表一一正态分布。
《正态分布》该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线,引出
拟合的函数式,进而得到正态分布的概念,然后,分析正态曲线的特点和性质,最后研究
了它的应用一一随机变量落在某个区间的概率。正态分布是描述随机现象的一种最常见的
分布,在现实生活中有非常广泛的应用。
【教学目标与核心素养】
课程目标学科素养
A.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量;1.数学抽象:正态分布曲线的特点
2.通过具体实例,借助频率分布直方图的几何直观,2.逻辑推理:正态分布的概念
了解正态分布的特点;3.数学运算:求随机变量在特殊区间内
3.了解正态分布的均值、方差及其含义;的概率
4.了解3。原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.4.数学建模:模型化思想
【重点与难点】
重点:认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3。原则.
难点:.会求随机变量在特殊区间内的概率.
【教学过程】
教学过程教学设计
一、探究新知
现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随
机变量,不是离散的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取
一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续性随机变量,下面我们看一
个具体问题.通过具体的问题情
境,引发学生思考
探究1:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控积极参与互动,说
的因素,任意抽取一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一出自己见解。从而
定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差,则X是一个连续引入正态分布的概
型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了100袋食盐,获得念,发展学生逻辑
误差X(单位:g)的观测值如下:推理、数学运算、
数学抽象和数学建
模白J核心素养。
-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.€
-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.9
0.5-3.72.71.1-3.0-2.61.72.60,
1.9
2.6-2.0-0.21.8-0.7_1.3_1.30.2_2.1
0.5
2.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.f
3.5-4.2-1.0-0.20.10.9L12.20.9-0.6
-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7
-0.5-0.81.71.44.41.2-3.1-2.1-1.6
1.8
2.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9
-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9
(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2).如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直
方图中每个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的
面积之和为1.
观察图形,误差观测值有正有负,并大致对称地分布在x=o的两侧,而且小
误差比大误差出现得更频繁.
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,山频率的稳定
性可知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,
如右图所示。
根据频率与概率的关系,可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量通过问题分析,让
误差的概率分布.任意抽取一袋盐,误差落在[-2,-1]内的概率,可以用图学生掌握正态分布
中黄色阴影部分的面积表示.曲线的特点。发展
学生逻辑推理,直
问题1:由函数知识可知,图中的钟形曲线是一个函数,那么,这个函数观想象、数学抽象
是否存在解析式呢?和数学运算的核心
素养。
即X~N(O,1).
对任意的xCR,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间
的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲
线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为
f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为
2
X~N(u,。).特别地,当u=0,o=l时,称随机变量X服从标准正态分布.
正态分布的定义
正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和
生活实践之中.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布
例如,某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量
等一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量自动流水线生产的
各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容)某地每
年7月的平均气温、平均湿度、降水量等
探究2:观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特
点?
其中PCR,。>0为参数.
由X的密度函数及图像可以发现,正态曲线有以下特点:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=u对称.
(3)曲线在x=u处达到峰值矗(最高点)
(4)当凶无限增大时,曲线无限接近x轴.
(5)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.
探究3:观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质,你能发现正态曲
线的哪些特点?
(1)当。一定时,曲线随着U的变化而沿x轴平移;
(2)当u一定时,曲线的形状由。确定.
。越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
。越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
正态分布的期望和方差
参数P反映了正态分布的集中位置,。反映了随机变量的分布相对于均
值口的
离散程度。
若X~N(〃,er2),则E(X)=〃,O(X)=N
概念辨析
1、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到新的一条曲
线b。下列说法中不正确的是()
A.曲线b仍然是正态曲线;
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总
体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总
体的方差大2。
答案:D
二、典例解析
例1:李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车
和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,坐公交车平均用时30min,样
本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4;假设坐公交车用
时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X,Y的分布中的参数;
(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲
线;
(3)如果某天有38曲|可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有
34min可用,又应该选择哪种交通工具?请说明理由.通过典例解析,在
分析:对于第(1)问,正态分布由参数u和。完全确定,根据正态分布参具体的问题情境
数的意义可以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一中,深化对正态分
个概率决策问题,首先要明确决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率布的理解。发展学
大的交通工具;然后结合图形,相据概率的表示,比较概率的大小,作出判断生逻辑推理,直观
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;想象、数学抽象和
随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.数学运算的核心素
用样本均值估计参数U.用样本标准差估计参数。,可以得到养。
X~N(30,6),Y~N(34,2).
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(XW38)〈P(YW38),
P(XW34)>P(YW34).
所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;
如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车,
正态分布的3。原则
假设X~N(u,a2),可以证明:对给定的kGN*,P(u-koW)
是一个只与k有关的值。
〃+2b
*-68.27%•>;
95.45%
99.73%
[〃-3c,〃+3用中的值,这在统计学中称为3o原则.
①P(U—。WXWu+o)«0.6827;
②P(口一2。WXWN+2。)々0.9545;
③P(u-3。WXWu+3o)=0.9973.
特别地,尽管正态变量的取值范围是(-8,+8),但在一次试验中,x的取
值几乎总落在区间[〃-36〃+3。]内,而在此区间外取值的概率大约只有
0.0027,通常认为这种情况几乎不可能发生.
2
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(出。)的随机变量X只取
例2.假设某地区高二学生的身高服从正态分布,且均值为170(单位:
cm,下同),标准差为10.在该地区任意抽取一名高二学生,求这名学生
的身高:
(1)不高于170的概率;
(2)在区间[160,180]内的概率;
(3)不高于180的概率.
解:设该学生的身高为X,由题意可知)CN(170,102).
(1)P(X<170)=50%,
(2)因为均值为170,标准差为10,而160=170-10,180=170+10,所以
P(160WXW180)=P(|X-170IW10)弋68.3%,
(3)由(2)以及正态曲线的对称性可知
P(170WXW180)=P(160WX<180)*1x68.3^=34.15%,
由概率加法公式可知P(XW180)=P(XW170)+P(170WXW180)
y50%+34.15%=84.15%.
服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与X轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化:
①P(X〈a)=l-P(X2a);
②P(XWn-a)=P(X2u+a);
(3)熟记P(u-oWXWu+o),P(u-2oWXWu+2o),P(u-
3。WXWu+3。)的值.
③若b<u,则P(X(b)
跟踪训练1.某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服
从正态分布N(500,52)(单位:g).该生产线上的检测员某天随机抽
取了两包食盐,称得
其质量均大于大于515g.
(1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515g的概率约为多
少;
(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检
修,检测员的判断是否合理?请说明理由.
解:设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为X?,由题意可
知X~/V(500,52).
⑴由于515=500+3x5,所以根据正态分布的对称性与“3o■原则”
可知
11
P(X>515)=—(X-3X5|>500)«-x0.003=0.0015.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可
知,随机抽取两包检查,质量都小于515g的概率约为
0.00&0.0015=2.25*10叫
几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,
检测员的判断是合理的.
三、达标检测
1.下列函数是正态分布密度函数的是()通过练习巩固本节
所学知识,通过学
生解决问题,发展
A.f(x)--^=^e,u,。(。>0)都是实数
学生的数学运算、
B.f(x)=—e'T
2n逻辑推理、直观想
1(x-i)2
Cf(x』F象、数学建模的核
心素养。
D.f(x)=-7=e~
V27T
解析:对照正态分布密度函数:f(x)B-・e一零(xeR),注意指数中的。
V27TCT
和系数的分母中的。要一致,以及指数部分是一个负数.
答案:B
2.在某项测量中,测量结果€服从正态分布N(0,。\若&在(-8,-1)内
取值的概率为0.1,则&在(0,1)内取值的概率为()
A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1
解析:服从正态分布N(0,。’),.•.曲线的对称轴是直线x=0.
VP(&<-1)=0.1,.\P(g>1)=0.1.
二C在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.
答案:B
3.某县农民月均收入服从N(500,20j的正态分布,则此县农民月均收入在
500元到520元间人数的百分比约为__________.
解析:因为月收入服从正态分布N(500,20k
所以U=500,o=20,U-o=480,u+a=520.
所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683.
由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比
约为34.15%.
答案:34.15%
4.某种零件的尺寸&(单位:cm)服从正态分布N(3,;),则不属于区间
[1,5]这个尺寸范围
的零件数约占总数的_________.
解析:零件尺寸属于区间[U-2。,U+2。],
即零件尺寸在[1,5]内取值的概率约为95.4%,
故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4.6%.
答案:4.6%
5.设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,20;且知试卷满分
150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分
及90分以上)的人数和130分以上的人数.
解:u=110,。=20,P(X>90)=P(X-1102-20)=P(X-m2-。),
VP(X-U<-。)+P(-。wx-uW。)+P(X-u>。)
«=2P(X-y<-o)+0.683=1,
.\P(X-u<-o)=0.1585.
.\P(X^90)=l-P(X-u<-o)=1-0.1585=0.8415.
A54X0.8415^45(人),即及格人数约为45人.
*/P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-U>a),
P(X-u<-。)+P(-。NX-uW。)+P(X落口>。)=0.683+2P(X-u>o)=1,
.,.P(X-u>o)=0.1585,
即P(X>130)=0.1585.
A54X0.1585-9(人),
即130分以上的人数约为9人.
四、小结通过总结,让学生
进一步巩固本节所
正态曲线I学内容,提高概括
正态分布----正态曲线的性质能力。
T正态分布的3。原则
【教学反思】
课后通过对教学过程的反思与研究,才能不断完善教学设计中的不足,才能提升教材分析
的能力和课堂教学实效.
1.多元展示,多方评价.在教学过程中我借问题牵引,保证了课堂教学的顺利实施;而在
整个过程中,我对学生所作练习、疑问及时解析评价;学生之间、小组之间的互相评价补
充,使学生共享成果分享喜悦,坚定了学好数学的信念,实现了预期目标.
2.创造性的使用教材.有别于教材,我在教学中,让学生考察了分别考察了两类题型之后
再引导学生进行归纳,这样更贴近学生的认知水平,学生课后反馈,效果较为理想.
《7.5正态分布》导学案
【学习目标】
1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量;
2.通过具体实例,借助频率分布直方图的儿何直观,了解正态分布的特点;
3.了解正态分布的均值、方差及其含义;
4.了解3。原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.
【重点与难点】
重点:认识分布曲线的特点及曲线所表示的意义.了解3。原则.
难点:.会求随机变量在特殊区间内的概率.
【知识梳理】
1.正态分布的定义
对任意的x£R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为
1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若
随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-
tribution),记为X~N(u,。").特别地,当u=0,。=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
即X~N(O,1).
2.由X的密度函数及图像可以发现,正态曲线有以下特点:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=U对称.
(3)曲线在x=u处达到峰值岛(最高点)
(4)当|X|无限增大时,曲线无限接近x轴.
(5)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.
3.正态分布的期望和方差
参数P反映了正态分布的集中位置,。反映了随机变量的分布相对于均值U的
离散程度。
若X~N(〃,CT2),则E(X)=〃,D(X)=(T2.
(1)当。一定时,曲线随着u的变化而沿X轴平移;
⑵当u一定时,曲线的形状由。确定.
。越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
。越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
4.
44.正态分布的3。原则
假设X~N(u,a2),可以证明:对给定的k£N*,P(u-koWX於u+k。)
是一个只与k有关的值。
〃卬〃pfcr2b阮3b
・•••68.27%…4:
95.45%
99.73%
特别地,尽管正态变量的取值范围是(-8,+8),但在一次试验中,X的取值几乎总落在区间
[4-36〃+3o]内,而在此区间外取值的概率大约只有0.0027,通常认为这种情况几乎不可能
发生.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(%J)的随机变量X只取〃+3月中的值,这
在统计学中称为3。原则.
①P(□一。WXWu+0)«0.6827;②P(u-2。WXW口+2。)20.9545;(3)
P(u-3oWXWN+3O)H9973.
1、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到新的一条曲线b。下列说法中
不正确的是()
A.曲线b仍然是正态曲线;
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为概率密度曲线的总体的期望大2;
1).以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为概率密度曲线的总体的方差大2。
【学习过程】
一、问题探究
现实中,除了前面已经研究过的离散型随机变量外,还有大量问题中的随机变量,不是离
散的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随
机变量为连续性随机变量,下面我们看一个具体问题.
探究1:自动流水线包装的食盐,每袋标准质量为400g.由于各种不可控的因素,任意抽取
一袋食盐,它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).
用X表示这种误差,则X是一个连续型随机变量.检测人员在一次产品检验中,随机抽取了
100袋食盐,获得误差X(单位:g)的观测值如下:
-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9
-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.2
0.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.4
2.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-L30.2-2.1
2.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.5
3.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6
-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7
-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.6
2.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9
-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.2L01.31.7-0.9
(1).如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2).如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每个小矩形
的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.
观察图形,误差观测值有正有负,并大致对称地分布在x=o的两侧,而且小误差比大误差出
现得更频繁.随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可
知,规率分布直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。
根据频率与概率的关系,可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
任意抽取一袋盐,误差落在[-2,-1]内的概率,可以用图中黄色阴影部分的面积表示.
问题1:由函数知识可知,图中的钟形曲线是一个函数,那么,这个函数是否存在解析式
呢?
正态分布在概率和统计中占有重要地位,它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在
现实生活中,很多随机变量都服从或近似服从正态分布
例如,某些物理量的测量误差某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等一定条件下生长
的小麦的株高、穗长、单位面积产量自动流水线生产的各种产品的质量指标(如零件的尺
寸、纤维的纤度、电容器的电容)某地每年7月的平均气温、平均湿度、降水量等
探究2:观察正态曲线及相应的密度函数,你能发现正态曲线的哪些特点?
探究3:观察正态曲线、相应的密度函数及概率的性质,你能发现正态曲线的哪些特点?
二、典例解析
例1:李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的
时间,经数据分析得到,坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34
min,样本方差为4;假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X,Y的分布中的参数;
(2)根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;
(3)如果某天有38❾加可用,李明应选择哪种交通工具?如果某天只有34min可用,又应
该选择哪种交通工具?请说明理由.
例2.假设某地区高二学生的身高服从正态分布,且均值为170(单位:cm,下同),标准
差为10.在该地区任意抽取一名高二学生,求这名学生的身高:
(1)不高于170的概率;
(2)在区间[160,180]内的概率;
(3)不高于180的概率.
服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化:
①P(X<a)=l-P(X2a);
②P(XWu-a)=P(X2u+a);
(3)熟记P(u-。WXWu+。),P(u-2。WXWu+2o),P(u-3。WXW口+3。)的值.
③若b<u,则P(X〈b)-iP(ub:xwu+b)
跟踪训练1.某厂包装食盐的生产线,正常情况下生产出来的食盐质量服从正态分布
N(5OO,52)(单位:g).该生产线上的检测员某天随机抽取了两包食盐,称得
其质量均大于大于515g.
(1)求正常情况下,任意抽取一包食盐,质量大于515g的概率约为多少;
(2)检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断
是否合理?请说明理由.
【达标检测】
1.下列函数是正态分布密度函数的是()
A.f(x)3e*,u,。(。>0)都是实数B.f(x)=^e-;T
2n
1(x-1)2
c.f(x)-^e-r-D.f(x)=~^=e-
2V2TTV2rr
2
2.在某项测量中,测量结果&服从正态分布N(0,。).若g在内取值的概率为
0.1,则g在(0,1)内取值的概率为()
A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1
3.某县农民月均收入服从N(500,20)的正态分布,则此县农民月均收入在500元到520元间
人数的百分比约为.
2
4.某种零件的尺寸&(单位:cm)服从正态分布N(3,1),则不属于区间[1,5]这个尺寸范围
的零件数约占总数的.
5.设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,20;且知试卷满分150分,这个班的学
生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的
人数.
【课堂小结】
【参考答案】
知识梳理
答案:D
学习过程
一、问题探究
探究1:可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布,如右图.所示.频率分布直方图中每
个小矩形的面积表示误差落在相应区间内的频率,所有小矩形的面积之和为1.
观察图形,误差观测值有正有负,并大致对称地分布在X=0的两侧,而且小误差比大误差出
现得更频繁.
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频率的稳定性可知,规率分布
直方图的轮廓就越来越稳定,接近一条光滑的钟形曲线,如右图所示。
根据频率与概率的关系,可用以用上图中的钟型曲线来描述袋装食盐质量误差的概率分布.
任意抽取一袋盐,误差落在[-2,-1]内的概率,可以用图中黄色阴影部分的面积表示.
问题1:正态分布的定义
若随机变量X的概率分布密度函数沏.(X)=——7=-e2,,x£R,
c/2万
即X〜N(O,1).
对任意的xCR,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为
1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若
随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-
2
tribution),记为X~N(u,。).特别地,当u=0,。=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
探究2:由X的密度函数及图像可以发现,正态曲线有以下特点:
(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=u对称.
(3)曲线在x=u处达到峰值焉(最高点)
(4)当|X|无限增大时,曲线无限接近x轴.
(5)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.
探究3:
(1)当。一定时,曲线随着U的变化而沿x轴平移;
⑵当U一定时,曲线的形状由。确定.
。越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
。越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
正态分布的期望和方差
参数U反映了正态分布的集中位置,。反映了随机变量的分布相对于均值U的
离散程度。
若X~N(〃,/),则E(x尸4,D(X)=/.
二、典例解析
例1:分析:对于第(1)问,正态分布由参数u和。完全确定,根据正态分布参数的意义可
以分别用样本均值和样本标准差来估计.对于第(3)问,这是一个概率决策问题,首先要明确
决策的准则,在给定的时间内选择不迟到概率大的交通工具;然后结合图形,相据概率的表
示,比较概率的大小,作出判断
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;
随机变量Y的样本均值为34,样本标准差为2.
用样本均值估计参数口.用样本标准差估计参数。,可以得到X'N(30,6),Y~N(34,2).
(2)X和Y的分布密度曲线如图所示,
(3)应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.
由图可知,Y的密度曲线X的密度曲线P(XW38)〈P(YW38),
P(XP34)>P(YW34).
所以,如果有38min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;
如果只有34min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车,
例2.解:设该学生的身高为X,由题意可知X~N(170.IO?).
(1)P(XW170)=50%,
(2)因为均值为170,标准差为10,而160=170-10,180=170+10,所以
P(160WXW180)=P(|X-1701^10)比68.3%,
(3)由(2)以及正态曲线的对称性可知
P(170WXW180)=P(160WXW180)%|x68.3%=34.15%,
由概率加法公式可知P(XW180)=P(XW170)+P(170WXW180)
亡50%+34.15%=84.15%.
服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化:
①P(X<a)=l-P(X2a);
②P(XWu-a)=P(XNu+a);
⑶熟记P(u-。WXWu+o),P(u-2。WXWu+2o),P(u-3。WXWu+3。)的值.
③若b<口,则P(X<b)-PR
跟踪训练1.解:设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖质量为Xg,由题意可知
X〜"(500,52).
(1)由于515=500+3x5,所以根据正态分布的对称性与“3o•原则”可知
11
P(X>515)=-(|X-3x5|>500)*-x0.003=0.0015.
(2)检测员的判断是合理的.因为如果生产线不出现异常的话,由(1)可知,随机抽取两
包检查,质量都小于515g的概率约为0.0015x0.0015=2.25x10-6,
几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是
合理的.
达标检测
1.解析:对照正态分布密度函数:f(x)=^-e第(xeR),注意指数中的。和系数的分母
中的。要一致,以及指数部分是一个负数.
答案:B
2
2.解析:•••&服从正态分布N(O,。),...曲线的对称轴是直线x=O.
VP(€<-1)=0.1,.\P(&>1)=0.1.
&在区间(0,1)内取值的概率为0.5-0.1=0.4,故选B.
答案:B
2
3.解析:因为月收入服从正态分布N(500,20),
所以g=500,。=20,y-o=480,y+o=520.
所以月均收入在[480,520]范围内的概率为0.683.
由图像的对称性可知,此县农民月均收入在500到520元间人数的百分比约为34.15%.
答案:34.15%
4.解析:零件尺寸属于区间[口-2。,1*+2。],
即零件尺寸在口,5]内取值的概率约为95.4%,
故零件尺寸不属于区间[1,5]内的概率为1-95.4%=4,6%.
答案:4.6%
5.解:u=110,o=20,P(X》90)=P(XT102-20)=P(X-u》-。),
VP(X-g<-o)+P(-oWX-uW。)+P(X-u>。)
«2P(X-u<-o)+0.683=1,
.\P(X-u<-o)=0.1585.
.,.P(X>90)=l-P(X-p<-o)=1-0.1585=0.8415.
.*.54X0,8415弋45(人),即及格人数约为45人.
,/P(X>130)=P(X-ll0>20)=P(X-u>o),
...P(x-u〈-。)+P(-Owx-uW。)+P(x-u>。)弋0.683+2P(x-u>。)=1,
.\P(X-y>o)=0.1585,
即P(X>130)=0.1585.
...54X0.1585g9(人),
即130分以上的人数约为9人.
《7.5正态分布》基础训练
一、选择题
1.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线。为正态分布
N(0』)的密度曲线)的点的个数的估计值为().
A.2386B.2718
C.3413D.4772
2.设随机变量自服从正态分布N(u,。,,&〈1的概率是工,则u等于()
2
A.1B.2C.4D.不确定
3.某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计,服从正态分
布N(9,f),则100名同学中,每天学习时间超过10小时的人数为()(四舍五入保
留整数)参考数据:P(〃—b<Z,,〃+<7)=0.6826,
P(〃-2b<Z,,〃+2b)=0.9545,P(〃-3cr<Z„〃+3cr)=0.9973.
A.15B.16C.311).32
4.设乂~刈内,才),Y~N(心灵),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正
确的是()
A.P(Y>p2)>P(Y>^)B.P(XWb2)“(X")
c.对任意正数/,p(x<t)>p(Y<t)D.对任意正数t,p(x>o>p(y>o
[("I
5.(多选题)已知X~N(〃,"),f")=E年xeR,则()
A.曲线y=f(x)与x轴围成的几何图形的面积小于1
B.函数f(x)图象关于直线『对称
C.P(X>JLI-a)=2P(p<Xv〃+cr)+P(X+
D.函数/(外二尸(乂>工)在/?上单调递增
6.(多选题)“杂交水稻之父”袁隆平致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广,发明
“三系法”釉型杂交水稻,成功研究出“两系法”杂交水稻,创建了超级杂交稻技术体
系,为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出杰出贡献.某水稻种植研究所调
查某地水稻的株高,得出株高(单位:cm)服从正态分布,其密度函数为
](*-100)2
200
0(x)=―i=e-,xe(-oo,+oo),则下列说法正确的是()
10W
A.该地水稻的平均株高为100cm
B.该地水稻株高的方差为10
C.该地水稻株高在120cm以上的数量和株高在8()cm以下的数量一样多
D.随机测量一株水稻,其株高在(80,90)和在(100/10)(单位:cm)的概率一样大
二、填空题
7.设X~N(5,〃),若Xe(5,9)的概率为0.45,则Xe(l,+oo)的概率为
8.已知X〜N(N,。②),且P(X>0)+P(X>-4)=l,则u=—.
9.中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中,全体
参赛学生的成绩近似地服从正态分布N(80,100),已知成绩在90分以上(含90分)的学
生有32名.则参赛的学生总数约为.
(参考数据:P(〃-b<X<〃+cr)=0.683,P(〃一2CT<X<4+2CT)=0.954,
—3b<X<//+3cr)=0.997)
10.2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策,某收费站在统计了2019年
清明节前后车辆通行数量,发现该站近几天每天通行车辆的数量4服从正态分布
J~N(1000,cr2),若p(g>1200)=a,P(800<1200)=匕,则工+|的最小值为
三、解答题
11.某厂包装白糖的生产线,正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布N(500,5z)
(单位:g).
(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于485g的概率约为多少?
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于485g,检测员根
据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?请
说明理巾.
附:X~N(〃,cr2),则P(〃一<7^卜+0.6826,
P(〃—2c^k〃+2cr)a0.9544,P(〃一3弗族//+3cr)«0.9974.
12.为了解一种植物的生长情况,抽取一批该植物样本测量高度(单位:cm),其频率分
布直方图如图所示.
(1)求该植物样本高度的平均数工和样本方差$2(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表);
(2)假设该植物的高度Z服从正态分布,其中〃近似为样本平均数元〃近似
为样本方差52,利用该正态分布求P(64.5取上96).
附:日^210.5.若2~"(〃,/),则
P(〃一或必〃+<7)笈68.3%,尸(〃一2诚/〃+2b)。95.4%.
答案解析
一、选择题
1.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线。为正态分布
N(0」)的密度曲线)的点的个数的估计值为().
A.2386B.2718
C.3413D.4772
【答案】C
【详解】根据正态分布的性质,P(0<X<1)=1P(-1<X<1)=0.3413,
10000x0.3413=3413.故选C.
2.设随机变量&服从正态分布N(u,。2),&Q的概率是工,则口等于()
2
A.1B.2C.4D.不确定
【答案】A
【详解】由题意,&<1的概率是!,则&>1的概率也是!,,正态分布的图象关于
4=1对称,即〃=1.故选:A
3.某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计,服从正态分
布N(9,『),则100名同学中,每天学习时间超过10小时的人数为()(四舍五入保
留整数)参考数据:P(〃—b<Z,,〃+b)=0.6826,
P(N-2(y<Z„p+2cr)=0.9545,—3b<Z,,〃+3cr)=0.9973.
A.15B.16C.31D.32
【答案】B
【详解】根据题意可得:P(Z>10)=P(Z>A+P)=ix(l-0.6826)=0.1587,故所求人数为
100X0.1587=16.
4.设X~N(M,CT:),y~N(必,因),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正
确的是()
A.P(Y>JU2)>P(Y>^)B.P(X<O-2)<P(X<O-,)
C.对任意正数f,P(X<t)>P(Y<t)D.对任意正数f,P(X>t)>P(Y>t)
【答案】C
【详解】由正态分布密度曲线的性质可知,X〜丫〜N(〃2,。;)的密度曲线
分别关于直线x=M,x=%对称,因此结合题中所给图象可得,从<〃2,所以
「(丫三外)〈尸(丫,从),故A错误;又x〜得密度曲线较丫~刈〃2,8)的
密度曲线“瘦高”,所以/<%,所以P(Xw%)>尸(XW/),B错误;对任意正数
t,P(X<t)>P(Y<t),P(X>t)<P(Y>t),C正确,D错误,故选:C
1
5.(多选题)己知X,xeR,则()
A.曲线y=/(x)与X轴围成的几何图形的面积小于1
B.函数/(x)图象关于直线尸M对称
C.P(X>f.t-a)=2P(〃<X<〃+cr)+P(X2〃+cr)
D.函数F(x)=P(X>x)在R上单调递增
【答案】BC
【详解】选项A.曲线丁=/(幻与》轴围成的儿何图形的面积等于1,所以A不正确.
t上
选项B./(x+〃)="7
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