高中数学复习之数列

高考考前复习资料一数列

一、选择题：

1.设s”是等差数列｛a“｝的前n项和,已知S6=36,S„=324,s„_6=144(n>6),JIl!jn=()

A15B16C17D18

正确答案：D错因：学生不能运用数列的性质计算a।+a'=吧36+324-144

6

2.已知s〃是等差数列｛a“｝的前n项和，若az+a4+a。是一个确定的常数，则数列｛s〃｝中是常数的项是()

As7Bs8csHDs13

正确答案:D错因：学生对等差数列通项公式的逆向使用和等差数列的性质不能灵活应用。

3.设｛a“｝是等差数列，｛"｝为等比数列，其公比qWl,且b,>00=1、2、3-n)若a1=b।,a”=b“则()

Aa6=b6Ba6>b6Ca6<b6Da6>b6«ga6<b6

正确答案B借因：学生不能灵活运用等差中项和等比中项的定义及基本不等式。

6.一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于

()

A.22B.21C.19D.18

选D

7.犬=而是a,x,b成等比数列的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：x-a、x、6不一定等比

如a=b=x=0

若a、x、b成等比数列

则x=+y[ab

.•.选D

说明：此题易错选为A或B或C,原因是等比数列｛%｝中要求每一项及公比q都不为零。

8.已知Sk表示n｝的前K项和，sn—Sn+1=an(n£N+),则同｝一定

是O

A、等差数列B、等比数列C、常数列D、以上都不正确

正确答案：D

错误原因：忽略厮=0这•特殊性

a2-«）

9.已知数列一1,al,a2,一4成等差数列,一1,bl,b2,b3,—4成等比数列，则与的值为

1

A、-

2

正确答案：A

错误原因：忽略b?为等比数列的第三项，b?符号与一1、一4同号

10.等比数列｛an｝的公比为q,则q>1是“对于任意ndN+”都有an+1>an的条件。

A、必要不充分条件B、充分不必要条件

C、充要条件D、既不充分也不必要条件

正确答案：D

错误原因：忽略:与q共同限制单调性这一特性

2

11.数列同｝的前n项和为sB=n+2n-l,

贝!Jai+a3+a»5+.......+a25=（）

A350B351C337D338

正确答案：A

错因：不理解该数列从第二项起向后成等差数列。

12.在等差数列血冲为。<o,即>0,且即4则在柞中最大的负数

为（）

A.Si?B.SisC.S19D.S20

答案：C

错因：等差数列求和公式应用以及数列性质分析错误。

13.已知三个互不相等实数a,b,c成等差数列，那么关于x的方程ax2+2bx+c=O

A,一定有两个不相等的实数根B,一定有两个相等的实数根

C,一定没有实数根D,一定有实数根

正确答案：D

错因：不注意a=0的情况。

14.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为（）

A.3B.4C.6D.8

正确答案：D

错因：误认为公比一定为整数。

15.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，设｛“"｝是公比为q的无穷等比数列，下列四组量中,

一定能成为数列{""}“基本量”的是()

(1)邑，$2,(2)&2，§3⑶%,a”,(4)q，a”

A.(1)(3)B,(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)

正确答案（B）

错因：题意理解不清

16.已知等差数列｛4，｝度前n项和为sn,且S2=10,S5=55,

qQ

则过点P（n,笆）,、（11+2,瑞）（11£酎*）的直线的斜率为

nn+z

A、4B、3C、2D、1

正确答案：c

错因：不注意对和式进行化简。

.在，和田之间插入〃个正数，使这加2个正数成等比数

17n

列，则插入的〃个正数之积为.

〃+1-

正确答案：（——）2

n

错因：无法探求问题实质，致使找不到解题的切入点。

18.数列⑥满足“产，若外号,则以的值为

2a„<1

（）

A.SB.』C.3D.1

7777

正确答案：C

错因：缺研究性学习能力

19.已知数列｛%｝的前"项和为S“=«eN+,现从前m项：%,％，中抽出一项（不是"i,

也不是区"），余下各项的算术平均数为37,则抽出的是

A.第6项B.第8项C.第12项D.第15项

正确答案：B

21.等比数列｛4｝中，《=512,公比'2,用口”表示它前n项的积：口“则"1口2…口,中最大

的是（）

An„Bnl0Cn9Dnx

正确答案：c

已知/（x）=xwN,工（x）=/（x），力+】（x）=f（za））

22.9对于定义1假

2-x

设工3（》）=/31。），那么九⑴解析式是（）

A四B3c上D上

XXx+1x-1

正确答案：B

23.如图①，②，③，是由花盆摆成的图案，

O

①②③

根据图中花盆搜放的规律，猜想第〃个图形中花盆的盆数%=.

正确答案：3/?—3n+1

24.｛%｝是实数构成的等比数列，Sn是其前n项和，则数列"，，｝中（）

A、任一项均不为0B、必有一项为0

C、至多有有限项为0D、或无一项为0,或无穷多项为0

正确答案：D

25.x=J拓是a,x,b成等比数列的（）

A、充分非必要条件B、必要非充分条件

C、充要条件D、既不充分又不必要条件

答案：D

点评：易错选A或B。

26.数列1,1+2,1+2+4,…，1+2+4+…+211各项和为（）

A、2n+1—2—nB、2n—n—1

C、2n+2-n-3D、2n+2-n-2

答案：c

点评：误把1+2+4+…+2"当成通项，而忽略特值法排除，错选A。

27.已知数列｛an｝的通项公式为an=6n—4,数列｛bn｝的通项公式为bn=2n,则在数列｛an｝的前100项中与数列｛bn｝中

各项中相同的项有（）

A、50项B、34项C、6项D、5项

点评：列出两个数列中的项，找规律。

28.已知数列｛凡｝中，若2%=a,i+a“+N〃eN,n则下列各不等式中一定成立的是（）。

a2a4w%

%%<a3

2

“2%”3

2

a2a4>a3

正解：A

a2

由于2a“=+all+i（〃eN",〃22）,｛an｝为等差数列。a2a4=（i+d）（%+3d）=a；+4atd+3da

而a；=（%+2d）2=a；+4%d+4d2〃2a4-a；=一/woa2a4^aj

误解：判断不出等差数列，判断后，是否选用作差法。

31.在数列｛%｝中,%=—2,26用=2%+3，则“11等于（）o

3

正解〈由22j=2%得%-%=万，•••«｝是等差数列

3

*.*=-2,d=—,nH=13

误解：A、B、D被式子2ae=2即+3的表面所迷惑，未发现｛%｝是等差数列这个本质特征，而只由表面

的递推关系得到，从而计算繁琐，导致有误。

33.在AABC中，"也,为的对边，且8s23+C°s3+C°S（A—C）=1,则（）。

凡Ac成等差数列

a"，。成等差数列

力成等比数列

Ac成等比数列

正解：D。

•・•8二万一(A+C)/.cosB=一cos(A+C)

即cos2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1

2sin>4sine=1-cos28,2sinAsinC=2sin2B

sin25=sinAsinC=>/?2=ac

注意：切入点是将cos8恒等变形，若找不准，将事倍功半。

35.若a，"。，"成等比数列，则下列三个数：①“+b/+c，c+d

②ab,bc,cd③a-b,b-c,c-d,必成等比数列的个数为()

A、3B、2C、1D、0

错解:A.

错因:没有考虑公比4=1和q=-1的情形，将①③也错认为是正确的.

正解:C.

36.已知仅"｝是递增数列，且对任意〃eN’都有%=〃2+助恒成立，则实数丸的取值范围

()

、(-2,+oo)D、(-3,+oo)

错解：C

错因：从二次函数的角度思考，用--<1

2

正解：D。

37.等比数列但"｝中，若%=-9,%=T,则%的值

(A)是3或一3(B)是3(C)是一3(D)不存在

错解：A

错因：直接。3=-9,4，%=T成等比数列，的?=(一9)(—1),忽视这三项要同号。

正解：C

答案：A

错解：B

错因：首项不满足通项。

39.在等差数列｛6J中，为。，若它的前n项和Sn有最大值，那么B"｝中的最小正数是()

A、S17B、S18C、S19D、S20

答案：c

错解：D

错因：%"〈-l化简时没有考虑画。的正负。

a｝0

40.若a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且°<"gm（出?）<1，则m的取值范围是（）

A、（1，+°°）B、（L8）C、（8,4oo）D、（0,1）。（8,+oo）

答案：C

错解：B

错因：对数函数的性质不熟。

］

｛4｝的通项公式为〃=（犷审-1-1

41.已知数列,则关于an的最大，最小项，叙述正确的是（）

A、最大项为al,最小项为a3B、最大项为al,最小项不存在

C、最大项不存在，最小项为a3D、最大项为al,最小项为a4

答案:A

错解：C

错因：没有考虑到〃eN+时，0<（!）"-'<1

42.等比数列｛%冲，已知。।=1,公比“=2,则％和4的等比中项为（）

A、16B、±16C、32D、±32

正确答案：（B）

错误原因：审题不清易选（A）,误认为是@5，实质为土@5。

43.已知｛%｝的前n项之和Si*-4〃+1,则同+同+…的值为（）

As67B、65C、61D>55

正确答案：A

错误原因：认为｛%｝为等差数列，实质为氏=-=D

（0J"［2n-5（n>2）

二烧室题：

1.在等比数列｛《,｝中，若%=—9,%=—1，则%的值为

［错解］3或-3

［错解分析I没有意识到所给条件隐含公比为正

［正解］-3

2.实数项等比数列｛%｝的前"项的和为S“，若&=2，则公比q等于.

32

错解］L

8

［错解分析］用前〃项的和公式求解本题，计算量大，出错，应活用性质

［正解

3.从集合｛1,2,3,4,…,20｝中任取三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有

［错解］90个

［错解分析］没有考虑公差为负的情况，思考欠全面

［正解］180个

4.设数列｛a“｝,｛”｝（d〉0）,〃eN*满足4=怆优+馆）+…+怆”,则｛&“｝为等差数列是也｝为等比数列的一

n

____________条件

［错解］充分

［错解分析］对数运算不清，判别方法没寻求到或半途而废

［正解］充要

5.若数列｛4｝是等差数列，其前〃项的和为S“，则”=',〃wN*,｛a｝也是等差数列，类比以上性质，等比数列

n

贝ijd“=,｛d,｝也是等比数列

s

［错解］j

n

［错解分析］没有对&仔细分析，其为算术平均数，

n

［正解］］，臼…C“

6.已知数列｛a“｝中，a］-3,a2=6,all+2-an+｝-an,则a2OO3等于

［错解］6或3或-3

［错解分析I盲目下结论,没能归纳出该数列项的特点

［正解］-6

7.已知数列｛%｝中，a„=n2+An（2是与〃无关的实数常数），且满足《<的<4<…4<<…，则实数几的

取值范围是___________

［错解］（-8,-3）

［错解分析］审题不清，若能结合函数分析会较好

［正解］（一3,+8）

8.一种产品的年产量第一年为。件，第二年比第一年增长P1%,第三年比第二年增长P2%,且

Pl>0,P2>0,P］+P2=2p,若年平均增长x%,则有x—p（填4或或=）

［错解］>

［错解分析］实际问题的处理较生疏，基本不等式的使用不娴熟

［正解］<

9.给定%=log“+1（〃+2）（〃€N+）,定义使%为整数的乩^^）叫做“企盼数”，则在区间（1,62）内的

所有企盼数的和是.

正确答案：52

错因：大部分学生难以读懂题意，也就难以建立解题数学模型。

2

10.数列｛%｝的前n项和Sn=n+1,则%=

2n=l

答案：a=<

n2n-1n>2

点评：误填2n-l,忽略“an=Sn-S『i”成立的条件:“n22”。

11.已知｛%｝为递增数列，且对于任意正整数n,%=—i?+An恒成立，则人的取值范围是

答案：人>3

点评：利用二次函数单调性讨论较繁，且易错，利用am〉%恒成立较方便。

12.关于数列有下列四个判断：

1)若a,6,c,d成等比数列，则a+b/+c,c、+d也成等比数列；

2)若数列｛%｝既是等差数列也是等比数列，则｛%｝为常数列；

3)数列｛6｝的前n项和为S“，且S,=a"-l(aeR),贝为等差或等比数列；

4)数列｛%｝为等差数列，且公差不为零，则数列｛%｝中不会有%,=%(mW〃)，其中正确判断的序

号是(注：把你认为正确判断的序号都填上)

正解：⑵(4).

误解：(1)(3)。对于(l)a、b、c、d成等比数列。：./=acc2=bdbe-ad(b+c)2=(a+Z?)(c+d)

.•.a+b,b+c,c+4也成等比数列，这时误解。因为特列：a=-1,6=l,c=-l,d=1时，a,6,c,d成等比

数列，但a+6=0,b+c=Q,c+d=O,即0,0,0不成等比。

对于(3)可证当a=1时.，为等差数列，aW1时为等比数列。a=0时既不是等差也不是等比数列，故(3)

是错的。

13.关于x的方程x2-(3n+2)x+3/_74=0(〃eZ)的所有实根之和为。

正解：168

•.•方程有实根，

△=(3〃+2)2-4(3n2-74)20

解得：2—JR^WnW2+JIM

,/X]+=3〃+2

所有实根之和为3[(-8)+(-7)+...+121+2x21=168

误解：没能根据条件具体确定n的取值，只得出一个关于n的多项式结果。

14.有四个命题：

I)一个等差数列｛怎｝中，若存在4T>4>0(AeN),则对于任意自然数〃〉左，都有怎>0；

2)一个等比数列｛%｝中，若存在4<0,以+|<0(kwN),则对于任意〃eZ,都有知<0；

3)一个等差数列｛6｝中，若存在a*<0,%+|<0(ZeN),则对于任意〃ek,都有a“<0；

4)一个等比数列｛a“｝中，若存在自然数左，使4-4+|<0,则对于任意〃wM都有•/+】<(),

其中正确命题的序号是。

正解：由等差数列和等比数列的性质得①②④。

误解：“对于等比数列，若q>0,各项同号(同正或同负)，若q<0,各项正，负相间”，学生对此性质

把握不清，故认为②④错。

15.已知数列｛aj的前n项和S产a“一l(aeR,awO),则数列｛aj

A.一定是等差数列B.一定是等比数列

C.或者是等差数列或者是等比数列D.既非等差数列又非等比数列

错解：B

错因：通项％=。2(。一1)中忽视。=1的情况。

正解：C

16.设等差数列｛%｝中，为=-3,且从第5项开始是正数，则公差的范围是

3

(-.1]

4

错解:(-,+oo)

4

错因：忽视如40，即第4项可为0。

正解：(%]

4

17.方程廿+3+号)*(x2+〃x+号)=0的四个实数根组成一个首项为赛的等比数列，贝"m—n|=

7

正解：—.

18

错因:设方程/+机工+与=0的解为卬々；方程/+〃x+g=0的解为/,》4,则占尤2=X3X4=g，不能依据等比数

列的性质准确搞清尤的排列顺序.

18.等差数列｛an｝中，2尸25,$17=$8，则该数列的前项之和最大，其最大值为。

错解：12

错因：忽视为3=0

325

正解：12或13,—

2

19.若％=1+2+3+…+”,则数列｛-1-｝的前n项利Sn=

2n

答案:

〃+1

n

错解:

n+1

错因：裂项求和时系数2丢掉。

20.已知数列｛%｝是非零等差数列，又句曲,的组成一个等比数列的前三项，则%+%+%的值是_______

a2+a4+ai0

答案：1或—

16

13

错解：—

16

错因：忘考虑公差为零的情况。

21.对任意正整数n,a"=/+丸〃满足数列是递增数列，则4的取值范围是。

答案：由>a“得4>3

错解：2>-2

3

错因：利用二次函数的对称轴，忽视其与4=—的关系。

2

22.数列｛%｝的前n项之和为S,,=2〃2+3〃，若将此数列按如下规律编组：(%)、(出，“3)、(%，的，4)、…“，

则第n组的n个数之和为。

正确答案：2〃3+3〃

错误原因：未能明确第n组各项的构成规律，尤其是首项和最后一项，从而找不到合适的解法，应转化为：

cn(n+1)n(n-l)

d---------3-------

22

23.若0尸1+2+3+…+〃，则数列,—>的前n项之和Sn=。

正确答案：S“=22上"

n+1

错误原因：未能将%先求和得/=』〃(〃+1),另有部分学生对数列的裂项求和意识性不强。

2

24.若数列｛%｝为等差数列且.+/+,••+%,则数列｛2｝也是等差数列，类比上述性质，相应地若数列

n

匕｝是等比数列，且%>0,dn=,则有｛d“也是等比数列(以上〃eN)

正确答案：dn=Veg…%

错误原因：类比意识不强

三、解答题：

1.设数列的前n项和为S.=〃2+2〃+45GN+),求这个数列的通项公公式

an=S“-S“_］,

［错解］/

an=2〃+1(〃eN)

［错解分析］此题错在没有分析〃=1的情况，以偏概全.误认为任何情况下都有%=S„-S,i(〃€N*)

rT砧1〃=时吗=$1=7,

［」L解］

"N2时,an=S"一S,1=2〃一1

［7(n=l)

因此数列的通项公式是4；二

［2/1+>2)

2.已知•个等比数列｛为｝前四项之积为上，第二、三项的和为J5,求这个等比数列的公比.

［错解］•.•四个数成等比数列，可设其分别为二,色,aq,aq3,

qq

［4_i

则有116,解得4=血±1或q=—0±1,

—I-aq—V2

故原数列的公比为/=3+2及或d=3-2后

［错解分析］按上述设法，等比数列公比了>0,各项一定同号，而原题中无此条件

［正解］设四个数分别为a,aq,aq2,aq\

a4q6--

则(16,

aq+aq2-6

(1+<?)4=64/

由q>0时，可得/-6q+l=0,；.q=3±2&;

当q<0时，可得/+104+1=0,，4=一5-4指

3.已知正项数｛aj满足a1=a(0<a<l),且％十1,求证:

1+册

(I)an<-^―-

1+(n-\)a⑴嚏含

变形，得J——1>1.

解析：⑴将条件氏+1

1+4”%+1

I11।

「是，有-----—>1»--->1,------21,,------------->1.

a

2%%。3

将这n・l个不等式叠加，得-L--L之〃一1,故叫(%

*a1+(〃-\)a

11

(II)注意到0<a<1,于是由⑴得an<—4一

1+(n-1)。

一十〃一1

a

从而，有七一1—

=1———<1.

“1£k(k+i)4(")n+1

4.已知数列｛环｝的前〃项和S“满足log?。,+1)=n+1,求数列｛凡｝的通项公式。

解：•.•10g2(S“+l)="+l

当〃=1时，〃[=S]=3

当〃之2时，a.=S"-Si=2〃

｛明｝的通项公式为

’3(〃=1)

a=<

”[2n(n>2)

说明：此题易忽略n=1的情况。an=Sn-S“_]应满足条件〃22。

5.等比数列｛%｝的前〃项和为S“，S3+Sb=2S9,求公比q。

解：若q=1

则S3=3a”S9-9af,S6-64

/.9a｝=2x9。]

•・•/W0

/.矛盾

.二qw1

—(I-/)+/(I-力_24(]-q")

1—q\-q\-q

・・・q3(2q6_q3_])=o

•・•qW0

・•・2/_/_1=0

・・.(2/+1)(/_1)=0

•・,qw1

・•・2q3+1=0

-V4

说明：此题易忽略q=1的情况，在等比数列求和时要分公比q=1和qW1两种情况进行讨论。

6.求和1+2x+3x~+…+〃x”’。

解：若x=0

则S“=1

若X=1

K1J«(«+1)

2

若xw0

且Xw1

令=1+2x+3x2+・・・+〃x"7

23M-1n

则xSn=x+2x+3XH—F(〃-l)x+nx

两式相减得

(1-x)S〃=1+%+，+・・・+x"।—nxn

cl-xnnxn

・•・S〃=---r---

(1-x)21-x

说明：此题易忽略前两种情况。数列求和时，若含有字母，一定要考虑相应的特殊情况。

2

7.已知数列｛aj的前n项和Sn=n—16n—6,求数列｛laj｝的前n项和S；

｛

2

正确答案：Sn=—n+16n+6nW8时

n2-16n+134n>8时

错误原因：运用或推导公式时，只考虑•般情况，忽视特殊情况，导致错解。

8.已知函数f(x)=—Sin2x—aSinx+b+1的最大值为0,最小值一4,若实数a>0,求a、b的值。

正确答案：a=2b=—2

错误原因：忽略对区间的讨论。

2

9.数列｛aj的前n项和Sn=n-7n一8求数列通项公式

正确答案：an=「14n=l

2n—8n22

错误原因：nN2时，an=Sn—Sn—1但n=l时，不能用此式求出a1

10.求和(X+L『+(X2+二)2+.(Xn+-)2

xx~x"

正确答案：当x2=l时S0=4n

22n+2

西2H1fHe(X"-l)(X-l)

当xW1时Sn=----；——；--------+2n

x2n(x2-l)

错误原因：应用等比数列求和时未考虑公比q是否为1

11.学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样特色菜可供选择(每个学生都将从二者中选一)，调查资

料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B,而选B菜的，下周星期一则有30%改选A,若用A“、

B.分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数。(1)试以A,,表示A,,”；(2)若A|=200,求｛A,｝的通项公式；(3)问

第n个星期一时，选A与选B的人数相等？

正确答案：(1)由题可知,A,=A”•(1-0.2)+可3•纥，又+纥=1000；

所以整理得：4.=-A„+300o⑵若A|=200,且4角」4,+300,则设4向+x=耳4“+x)则x=-6()0,

“十12〃1"n~ri2、〃/

4,川-600=g(A“-600)即｛A,「600｝可以看成是首项为-400,公比为;的等比数列。

/.=(-400)-+600；(3)An=8“，又+B”=1000则Atl=500,由(一400)•(；)J+600=500

得〃=3。即第3个星期一时，选A与选B的人数相等。

错因：不会处理非等差非等比数列。

12.设二次函数f(x)=x2+x,当x€[n,n+l](neN，)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n).

(1)求晨n)的表达式；

(2)a„-—~"(neN，),Sn=ai-a2+a3-ai+…+(T)”'a”,求Sn;

gM

(3)设b„=取D,Tn=b+bz+…+b”.若Tn<L(LeZ),求L的最小值。

2"

正确答案：(1)当xw[n,n+l](neN.)时，函数f(x)=x、x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为

[n2+n,n2+3〃+2](nwN，)g(〃)=2n+3(neN.)

…、2/+3几22

(2)a..=---------=n~

g(几)

①当n为偶数时

Sn=Q]—%++V+〃〃一|一%=(12—2~)+(3-—4~)+\/+[(〃—1)2—

3+(2〃-1)nn(n+1)

二一[3+7+v+(2〃-1)]=-----------■—=---------

222

②当n为奇数时

L=(%—。2)+(的一。4)+V+(%-)+。“=S“-l+%

n(n-1)n(n+1)

-------+〃2=--------

22

(3)由心幽，得7>』+4+M+v+绅+*

①

n2"222232/,_,2〃

c1/口J572n+12n+3

①义一得：—T=H—-+vH------I--―：—②

2222232"

①-②得T“=7-

〃T

则由T=7—2上工<L(LeZ),L的最小值为7。

"2"

错因：1、①中整数解的问题

2、②运算的技巧

3、运算的能力

12.已知数列｛%｝中，ai=8,必=2且满足a,3-2*+]+*=0(〃eN*)(1)求数列｛*｝的

通项公式(2)设S“=|《|+|出|+…+|狐|，求Sn

Im

(3)设。“=---------,Tn=b｝+b2+•••+b)1(neN*),是否存在最大的整数m,使得对任意nGN*,均有Th>一

»(12-a„)32

成立？若存在，求出m,若不存在，请说明理由。

答案：(1)。“=一2〃+10

-n2+9〃1<,1<5

(2)Sn=y

J之-9〃+40n>6

(3)由(1)可得b=--------=-(-一——)

n"2〃(〃+1)2nn+l

则，=4+%-I---Fbn=—[(1---)+(-----)+