集合、集合间的关系、集合的运算（重难点突破）解析版-教案课件-人教版高中数学必修第一册

专题01集合'集合间的关系'集合的运算

一\知识结构思维导图

-关注点1:集合的三个特性

集合的概念

-关注点2:常见数集的表示符号

元素与集合的关系——关注点1：集合的互异性

-关注点1：子集和真子集一交集是任何非空集合的真子集

集合间的关系

「一关注点2:集合中元素个数问题

关注点1：含有参数集合的范围问题

集合的睇运算

关注点2:集合端点的取舍

二、学法指导与考点梳理

1.集合的概念及其表示

⑴.集合中元素的三个特征：

①.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.

②.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③.无序性：即集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“生”表示）和不属于（用符号"g”表示）.

⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法.

（4）.常见的数集及其表示符号

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

（非负整数集）

表示符号NN*或2ZQR

2.集合间的基本关系

关系自然语言符号语言Venn图

（^）

集合/中所有元素都在集合8中(即若xdAQB

子集

A,贝iJxGB)（或

或

集合/是集合2的子集，且集合2中至少AB

真子集

有一个元素不在集合/中（或54）

集合42中元素完全相同或集合aB互

集合相等A=B

为子集

【名师提醒】

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

3.集合之间的基本运算

如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素,这样的集合就称为全集，全集通常用字母，

表示；

集合的并集集合的交集集合的补集

图形

符号/。8=在//,且无CH=Ix|xGU,且逐

【名师提醒】

1.若有限集/中有〃个元素，则集合/的子集个数为2",真子集的个数为2'—1,非空真子集2n-2个.

2.(胸)=0oA(㈤=U.

3.奇数集：=2/1+1,71eZ|=^x\x=2n-\,neZ1=|X|X=4M±1.MeZ1.

4.德,摩根定律：

①并集的补集等于补集的交集，即瘠(&2)=(〃⑷卜?建)；

②交集的补集等于补集的并集，即瘠(48)=(uA)U(?*).

【名师点睛】

1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集

合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

2.集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值（范围）时，需借助集合中元素的互异性来检验

所求参数是否符合要求.

3.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识.

4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合（含参数），另一个为静集合（具体

的），解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题.

5.求集合并集的两种基本方法：

（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；

（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.

6.求集合交集的方法为：

（1）定义法，

（2）数形结合法.

（3）若48是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值

用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.

三、重难点题型突破

考点1集合的概念及其表示

归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合.

（2）看这些元素满足什么限制条件.

（3）根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是（）

A.高一某班个子较高的同学B.比较著名的科学家

C.无限接近于4的实数D.到一个定点的距离等于定长的点的全体

【答案】D

【解析】选项4B,C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，

选项。的标准唯一，故能组成集合.故选：D.

(2).(集合的确定性)(多选题)考察下列每组对象，能构成集合的是()

A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.

【答案】BCD

【解析】A中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD

【变式训练1】(集合的互异性)在集合4={1,/-2。+2}中，。的值可以是

()

A.0B.1C.2D.1或2

【答案】A

【解析】当。=0时，层-°-1=-1,a2-2a+2=2,

当。=1时，a2-a-1=-1,a2-2a+2=1,当“=2时，a2-a-1=1,a2-2a+2=2,

由集合中元素的互异性知：选人

【变式训练2】(集合的互异性)若-Ie{2,a2-a-l,a2+1},则。=()

A.-1B.0C.1D.0或1

【答案】B

【答案】解：①若。贝l|/-。=0,解得。=0或°=1,

a=1时，{2,a2-a-1,a2+l}={2,-1,2},舍去，/.a=0；

②若则/=-2,a无实数解；由①②知：a=0.故选：B.

考点2元素与集合的关系

(1)属于：如果。是集合/的元素，就说a属于集合，,记作

(2)不属于：如果。不是集合/中的元素，就说a不属于集合记作岫4.

(3)常见的数集及表示符号

数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

归纳总结：

(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取

舍），进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

例2.（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（）

A.0U{O}B.C.0cZD.0e{O}

【答案】AB

【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；

选项B:；是有理数，故;e°是正确的；

选项C:所有的整数都是有理数，故有Z^Q,所以本选项是不正确的；

选项D;由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.

（2）（元素个数问题）集合A={xeZ|y='Z,yeZ}的元素个数为（）

x+3

A.4B.5C.10D.12

【思路分析】根据题意，集合中的元素满足X是整数，且系是整数.由此列出X与了对应值，即可得到题

中集合元素的个数.

【解析】由题意，集合{xGZb=缶GZ}中的元素满足X是整数，且y是整数，由此可得

x=-15,-9,-7,-6,-5,-4,-2,-1,0,1,3,9；

此时y的值分别为：-1,-2,-3,-4,-6,-12,12,6,4,3,3,1,

符合条件的x共有12个，故选：D.

例3.（单元素集合）若集合4={小2+"+6="中，仅有一个元素a,求〃、6的值.

【答案】解：I•集合4=任片+办+6=%}中，仅有一个元素a,

•••层+层+办=。且4=（a-1）2-46=0解得a=L，b=-.

39

故。、6的值分别为1.

39

【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为（）

①6eR；②geQ;④OgN；⑤%eQ；⑥一3cz.

A.6B.5C.4D.3

【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解.

【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，V5ER,故①正确；

在②中，|e<2.故②正确；在③中，0e{0},故③错误；在④中，oeN,故④错误；

在⑤中，兀WQ,故⑤错误；在⑥中，-3dZ,故⑥正确.故选：D.

(2)(元素个数问题)已知集合4={1,2,3,4,5),8={(x,y)|xeA,yeA,x<y,x+yeA),则

集合3中的元素个数为()

A.2B.3C.4D.5

【思路分析】通过集合8,利用xJ,y^A,x<y,x+y^A,求出x的不同值，对应y的值的个数，求出

集合2中元素的个数.

【解析】因为集合4={1,2,3,4,5},B={(x,y)\x^A,y^A,x<y,x+y^A},

当x=l时，y=2或y=3或y=4；当x=2时了=3；

所以集合5中的元素个数为4.故选：C.

【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用.

【变式训练2](二次函数与集合)设集合/={x|aN+2x+l=0,a^R}

(1)当N中元素个数为1时，求：a和/；

(2)当N中元素个数至少为1时，求：a的取值范围；

(3)求：A中各元素之和.

【思路分析】(1)推导出a=0或|，由此能求出a和/.

(2)当/中元素个数至少为1时，a=0或1，由此能求出。的取值范围.

(3)当。=0时，/中元素之和为-L；当且存0时，/中元素之和为-2；当。=1时，/中元素之和

2a

为-1；当时，A中无元素.

【答案】解：(1)•集合4={x|ax2+2x+l=0,aGR},4中元素个数为1,

，4=0或，,解得a=0,N={-^}或a=l,A={-1}.

[A=4-=02

(2)当/中元素个数至少为1时，。=0或1，解得好1,

•••”的取值范围是(-8,1].

(3)当a=0时，/中元素之和为-工；当.<1且存0时，N中元素之和为-2；

2a

当。=1时，/中元素之和为-1;当。>1时，/中无元素.

考点3集合间的基本关系

1.集合力中含有〃个元素，则有

（1M的子集的个数有2"个.（2）4的非空子集的个数有2〃T个.

（3）/的真子集的个数有2"—1个.（4）/的非空真子集的个数有2"—2个.

2.空集是任何集合的子集，因此在解/=8伊*0）的含参数的问题时，要注意讨论N=0和/W0两种情况，前

者常被忽视，造成思考问题不全面.

例4.（1）.（2020•全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合4={止2<%<5},

3={无>2+1<XV2772—1},若51A,则实数加的取值范围是.

【答案】（f,3]

【解析】由3口4可得：当8=0,则和+l>2m—1,加<2,

m+1<2m—1

当5W0,则加应满足:加+12—2，解得2K相<3,综上得加<3;

2m-1<5

，实数加的取值范围是（f,3].故答案为：（—,3].

（2）.（空集）如果A={x|s：2_办+1<0}=。，则实数。的取值范围为（）

A0<tz<4B.0<a<4C.0<a<4D.0<a<4

【思路分析】由4=0得不等式办2一办+1vo的解集是空集，然后利用不等式进行求解.

【答案】解：因为4={RaN一办+1<0}=0,所以不等式办2_"+]vo的解集是空集，

当〃=0,不等式等价为1V0,无解，所以。=0成立.

当H0时，要使办2一"+1<0的解集是空集，则卜>°,解得0<把4.

（△=a2-4a<0

综上实数a的取值范围0%W4.

（3）（子集与真子集）已知集合加={*|尤=：+[,keZ],N={x|x=g+（,k&Z],贝）

A.M=NB.MCNC.NCMD.MPN=0

【思路分析】将集合N中的表达式形式改为一致，由N的元素都是M的元素，即可得出结论.

【答案】"={尤卜=3+5后ez}={x|x=等，后ez},

N={x\x=+i,左GZ}={x|x=竿，kH},

,:k+2（左ez）为整数，而2左+11ez）为奇数，，集合M、N的关系为故选：C.

【变式训练11（1）（2019•浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合A=[l,a,a2-1},

若OeA,则“=；A的子集有个.

【答案】0或-18

【解析】♦.•集合A={l,a,/—i},OeA,...。=0或{，解得a=O或。=—1

。H1

A的子集有23=8个.故答案为：。或—1，8.

(2)若集合4={彳|%2-2x+："=O}=0,则实数加的取值范围是()

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)C.(l,+oo)D.[1,+oo)

【解析】'.'A={x[x2-2x+m=O]—0,二方程N-2x+机=0无解，即A=4-4m<0,

解得：m>l,则实数机的范围为(1,+oo),故选：C.

【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键.

考点4集合的基本运算

1.由所有属于集合/或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集,记作/U2；符号表示为/口3=皿

GN或

2.并集的性质

AUB=BUA,AUA=A,AU0=A,A^AUB.

3.对于两个给定的集合48,由所有属于集合/且属于集合3的元素组成的集合叫/与8的交集，记作/C瓦

符号为AClB={xlx^A»

4.交集的性质

AnB=BfU,AHA=A,NCI0=0,AHBQA.

5、对于一个集合A,由全集U中不属于集合/的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，

记作G应。符号语言：=且x-

归纳总结：

集合基本运算的求解规律

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解.

(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况.

(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解.

例5.(多选题)(1)已知A={x\2x2-ax+b=0},B={x|6x2+(a+2)x+5+b=0}，且AB={—},

则AB中的元素是(

A.-4B.Iv

【答案】ABD

【解析】由已知得：|-|a+h=O@；,+b=-骰

则4={—4,g},B=Ai3={—4,g,g},故选ABD.

(2)已知集合/={X|N-X-2=0},B={-2,-1,0,1,2},贝!]4^2=()

A.{-2,1}B.{-1,2}C.{-2,-1}D.{1,2}

【答案】B

【解析】"A={x[x2-x-2=0}={-1,2},B=[-2,-1,0,1,2},

：.A^B={-1,2}.故选：B.

(3)已知全集。=R,M={x|x<-1},N={x|xG+2)<0},则图中阴影部分表示的集合是()

A.{x|-l<x<0}B.{x|-l<x<0}C.{x|-2<x<-1}D.{x|x<-1}

【答案】A

【解析】图中阴影部分为NA(CuM),>/M={x|x<-1),Z.CuM={x|x>-1},

XN={xpc(x+2)<0}={x|-2<x<0},ANA(CuAf)={x|-l<x<0},故选：A.

(4)(多选题)已知集合4={%62|尤2—%—220},则CzA中的元素是()

A.0B.2C.1D.-2

【答案】AC

【解析】由集合A={xeZ|V—%—220},

解得：A={xeZ|x>2^a<-l},.-.CzA={0,l},故答案选AC.

【变式训练1】.已知集合/=[，=南-2x},B={x\x2-x<12},C={x\2a-l<x<a}.

(1)求/CI5；

(2)若BUC=B,求〃的取值范围.

【解析】(1)集合Z=4y=/-2x}=\y\y=(x-1)2-1>-1}=[-1,oo),

5={x|x2-x<12}={x|x2-x-12}={x|-3<x<4)=(-3,4),

：.A^\B=[-1,4)；

(2)由8UC=3,得CUB,又C=32a-

①当C=0时，2a-Ga,解得近1；

2a-\<a

②当CM)时，应满足，2°-12-3,解得

a<4

综上，a的取值范围是aN-1.

【变式训练21已知M={x\-2<x<5],N={x\a+i<x<2a-1}.

(1)若a=3,求MU(CRN).

(2)若NJM,求实数”的取值范围.

【答案】⑴当a=3时，N={x\4<x<5},所以CRN={x|x<4或x>5}.

所以MU(CRN)=R

(2)①当2a-l<a+l,即a<2时，N=0,此时满足NUM.

②当2a-l>a+l,即a>2时，N柳,

由NUM,得(，「即。得-3%S3,所以2%S3.

[2a-l<5[a<3

综上，实数。的取值范围为(-oo,3].

四、课堂定时训练（45分钟）

1.下面给出的四类对象中，能组成集合的是（）

A.高一某班个子较高的同学B.比较著名的科学家

C.无限接近于4的实数D.到一个定点的距离等于定长的点的全体

【答案】D

【解析】选项4,B,C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，

选项。的标准唯一，故能组成集合.故选：D.

2.集合A={1,2,3,5},当xeA时，若x—1走A且x+leA,则称尤为A的一个“孤立元素”，则A中孤立

元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由孤立元素的定义知，1,2,3都不是/中孤立元素，

5-1=4任4且5+1=6无4,则5是4的一个“孤立元素”，故选：A.

3.已知集合A={1,2},B={x\x2~(a+I)x+a=O,asR},若A=B,则a=()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【答案】•・Z={1,2},B={x\x2-(a+1)X+Q=O,〃£R},

若A=B,则1,2是方程--(〃+l)x+a=O得两根，

则+1，即a=2.故选：B.

4.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,3,4},5={3,4,5,6}则AI自台=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,7}C.{1,2}D.{1,2,3)

【答案】C

【解析】由集合1={1,2,3,4,5,6,7},B={3,4,5,6},所以,5={1,2,7},

又集合4={1,2,3,4},所以AI令5={1,2}.故选〃

5.已知集合力={xGR|-2W烂5},B={x^R\m+l<x<2m-1},若/U8=N,则实数机的取值范围是()

A.[2,3]B.[-3,3]C.(-oo,3]D.[-3,2]

【答案】C

【解析】"：AUB=A,：.BQA.

又4={x£R|-2<x<5},B={x^R|m+1<x<2m-1},

・・・当加+1>2加-1,即加V2时，B=。,满足5G4；

(根+1〉—2

当论2时，要使5G4,则~,即-上旌3.

\lm-A.<5

A2<m<3.综上，实数机的取值范围是(-8,3].故选：C.

6.已知集合A=[x^^<0卜B={x\x<2},贝(3

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】C

【解析】/={x|-2<x<4}；(-2,2).故选：C.

7.已知集合A={0,1,2,3,4,5},3=N*},则AB=()

A.{0,2,4}B,{2,4}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

【解析】因为集合人={0,1,2,3,4,5},B=[^x=2n,n^N*],所以AcB={2,4},故选B。

8.已知集合A={.Y+2x—3<0},3={x|2x—1>o},则AB=()

A.(—3,—)B.(—3,1)C.(—,1)D.(—,3)

【答案】C

【解析】A={x|-3<x<l},B=,故选c。

9.(2020・上海高一课时练习)设全集U={x|x为不大于20的素数},={3,5},Bn^A={7,19},

瘠BeUA={2,17},贝IJA=,B=.

【答案】{3,5,11,13}{7,11,13,19)

【解析】由题意，全集U={2,3,5,7,11,13,17,19},

4门e3={3,5},.•.集合A中含有3,5,集合3中没有3,5,

3c6A={7,19},.•.集合A中没有7,19,集合3中含有7,19,

••翻c^={2,17}.AB={3,5,7,11,13,19}.

A={3,5,11,13},B={7,11,13,19),故答案为：{3,5,11,13}；[7,11,13,19).

10.(2020•全国高一)已知集合〃满足：{1,