高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (25)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（25）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.己知一个球的半轻为3。则该球内接正六校锥的体积的最大值为（）

A.10V3B."C.16行D.2

22

2.正三棱锥P-ABC中，PA=4,4B=4或，点E在棱PA上，且PE=3£4.正三棱锥P-4BC的

外接球为球O,过E点作球O的截面a,a截球。所得截面面积的最小值为（）.

A.4兀B.37rC.27rD.n

3.如图，正方体4BCO-的棱长为1,P为力4的中点，M在侧面44道/上，有下列四个

命题：

①若QM1CP,则ABCM面积的最小值为信

②平面4BD内存在与56平行的直线；

③过A作平面a,使得棱40,D】G在平面a的正投影的长度相等，则这样的平面a有4

个；

④过A作面夕与面&B0平行，则正方体4BC0在面£的正投影面积为百

则上述四个命题中，真命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知三棱锥4-BCD的顶点均在球。的球面上，且4B=AC=AD乙BCD=p若”是点

A在平面BCD内的正投影，且CH=V5,则球。的表面积为

A.4遍兀B.2遮兀C.9兀D.4兀

5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）

凶

俯视图

A.67r

B.127r

C.12V3n-

D.——3TC

6.如图，在长方体ABCD-AiBiGDi中，AB=1,AD=AA1=2,P为8C的中点，。为线段CQ上

的动点，过点A,P，。的平面截该长方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是（）

①当OVCQ工1时•，S的形状为四边形，且当CQ=1时，S的形状为等腰梯形;

②当CQ=|时，S与6必的交点R,满足G/?；；

③当I<CQ<2时，S的形状为六边形;

④当CQ=2时，S的面积为3.

A.①②③④B.②③④C.①②④D.②③

7.如图，棱长为1的正方体4BCD—4避16。1中，P为线段Aa的中

点，M,N分别为线段AQ和棱/Ci上任意一点，贝U2PM+&MN的

最小值为（）

A.立

2

B.V2

C.V3

D.2

8.以A,B,C,D,E为顶点的多面体中，ACLCB,AD1DB,AE1EB,AB=10,CD=6,

则该多面体的体积的最大值为

A.30>/3B.80C.90D.50V3

二、多项选择题（本大题共7小题，共28.0分）

9.在棱长为2的正方体力BCD-4B1GD1中，点P是棱8C的中点，点。是底面从当好劣上的动

点，且APLDiQ,则下列说法正确的有（）

A.。2与DiQ所成角的最大值为:

B.四面体ABPQ的体积不变

C.△44Q的面积有最小值学

D.平面QPQ截正方体所得截面面积不变

10.如图，正方体4BC。-41勺（?1。1的棱长为“，线段当5上有两个动点

E,F,且EF=殍a，以下结论正确的有（）

A.AC1BE

B.点4到ABEF的距离为定值

=

C.VA-BEF'^^ABCD-A1B1C1D1

D.异面直线AE,BF所成的角为定值

11.在棱长为2的正方体ABCD-AiBigZ）i中，点P是棱BC的中点，点0是底面A上

的动点，且APlOi。，则下列说法正确的有（）

A.OP与。［Q所成角的最大值为?

B.四面体ABPQ的体积不变

C.△AaQ的面积有最小值学

D.平面。/Q截正方体所得截面面积不变

12.我国古代《九章算术少中将上、下两个面为平行矩形的六面体称为刍童.如图刍童4BCD-

EFGH有外接球，且力B=5,AD=由,EF=4,EH=2,平面ABC。与平面EFG”的距离为

1，则下列说法中正确的有（）

A.该刍童外接球的体积为36兀

B.该刍童为棱台

C.该刍童中AC、EG在一个平面内

D.该刍童中二面角B-4。-H的余弦值为渔.

5

13.在长方体48co-中=1,AB=2,AD=3,下列选项中正确的有（）

A.BD1AC

B.长方体力BCD—4B1GD1的外接球的表面积为14兀

C.三棱锥4-BDC的体积为1

D.三棱锥为一8。6与三棱锥&一4B。的表面积相等

14.如图，在正方体4BCD-48传1。1中，点P在线段BCi上运动，则

下列判断中正确的是（）

A.平面PBiD_L平面4CL»i

B.41Pli平面AC5

C.异面直线41P与AD1所成角的取值范围是（0,§

D.三棱锥5-4PC的体积不变

15.如图，正方体ABC。一4当6。1的棱长为。，线段当历上有两个动点E,F,且EF=ma，以

2

下结论正确的有（）

A.AC1BE

B.点A到回BEF所在平面的距离为定值

C.三棱锥4-BEF的体积是正方体ABCD-%B1C也体积的以

D.异面直线4E,8尸所成的角为定值

三、填空题（本大题共13小题，共65.0分）

16.已知正四棱锥P-4BCC的底面边长为4在，高为6立，其内切球与面尸48切于点M,球面上与

P距离最近的点记为N,若平面a过点M,N且与AB平行，则平面a截该正四棱锥所得截面的面

积为.

17.已知正方体的ABCD-&B1GD1棱长为2,点M,N分别是棱BC、G5的中点，点尸在平面

内，点。在线段&N上，若PM=再，则PQ长度的最小值为.

18.母线长为2b，底面半径为我的圆锥内有一球O,与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小

球，小球与圆锥底面、侧面、球。都相切，这样的小球最多可放入个.

19.已知正三棱锥P-4BC,点P、4、B、C都在半径为8的求面上，若P4PB,PC两两互相垂直，

则球心到截面ABC的距离为.

20.已知棱长为1的正方体ABC。-4当。1劣，尸是BC的中点，M是线段4#上的动点，则AMO/

与4MCQ的面积和的最小值是.

21.如图1,四边形ABCO是边长为10的菱形，其对角线ZC=12,现将团ABC沿对角线AC折起,

连接8。，形成如图2的四面体ABC。，则异面直线4c与B0所成角的大小为；在图2

中，设棱4c的中点为M,8。的中点为M若四面体ABC。的外接球的球心。在四面体的内部，

当锐二面角B-AC-D的大小为60。时，.

22.己知菱形A8C。边长为3,^BAD=60s,E为对角线AC上一点，AC=6AE.将△ABD沿B。翻

折到△A'BD的位置，E记为E'且二面角A-BD-C的大小为120。，则三棱锥4一BCD的外接球

的半径为:过E'作平面a与该外接球相交，所得截面面积的最小值为

23.已知三棱锥4—BCD,力B=l,AC=2.AD=2,当SAABC+SAABD+SA.CD取最大值时，三棱锥

A-BCD的外接球表面积是.

24.点A,B,C,。均在同一球面上，4。1平面A8C,其中△4BC是等边三角形，AD=2AB=6,

则该球的表面积为.

25.三棱锥S—力BC的各个顶点都在同一个球面上，若AB=2,AC=3,BC=4,侧面SAB为正三

角形，且与底面ABC垂直，则此球的表面积等于.

26.已知三棱锥P-4BC外接球的表面积为IOOTT,P4J■平面ABC,PA=8,JLBAC6(),则三棱

锥体积的最大值为

27.已知直四棱柱4BCD—4B1GD1的所有棱长均为4,且44BC=120。，点E是棱BC的中点，则

过点E且与BQ】垂直的平面截该四棱柱所得截面的面积为.

28.如图，在棱长为1的正方体48CO中，点E,F分别是棱BC,CCi的

中点，P是侧面BB1CG内一点，若41P平行于平面AEF,则线段&P长度的

取值范围是.

四、解答题(本大题共2小题，共24.0分)

29.(1)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表

面积为.

(2)已知两圆/+y2=10和(X-1)2+(y-3)2=10相交于4B两点，则直线AB的方程

是.

(3)正三棱柱ABC-A.B.C,的底面边长为2，侧棱长为，。为8c中点，则三棱锥A-BtDCt

的体积为.

(4)已知抛物线y2=2px(p>0),F为其焦点，/为其准线，过产任作一条直线交抛物线于4B两

点，4,B'分别为48在/上的射影，M为AB'的中点，给出下列命题：

①4F1B'F;

②4M1BM;

③

④AF与AM的交点在y轴上；

⑤4B'与AB交于原点.

其中真命题是.(写出所有真命题的序号)

30.如图，正三棱锥P—ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,

D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.

(1)证明：G是4B的中点;

(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影“说明作法及理由)，并求四面体尸CEF的体积.

【答案与解析】

1.答案：C

解析:

本题考查球的内接多面体、棱锥的体积计算，解题的关键是利用位置关系求得相关的几何量，属于

中档题.

由题意知棱锥的高经过球心，设高为上通过已知条件把正六棱锥的体积用含有人的代数式表示,

得到V=再由基本不等式求得最值.

解：设正六棱锥为P-4BCDEF,其底面A8CDEF的中心为0',易知P。'是正六棱锥的高，

因为正六棱锥各顶点都在球面上，可知棱锥的高P。'经过球心O,设P0'=/i(0</i<6),

则底面六角形所在的圆的半径0，B=Q_(h_3产=V6/1-/12.

正六棱锥的底面积S=6x^O'B2'sin60°=芋(6八一/)，

正六棱锥体积V=[sh=1x^(6h-h2)xh=手(12—2帅•h《手产智幺邛=16次，

当且仅当12—2八=八，即八=4时，正六棱锥体积有最大值分3=16百.

故选C.

2.答案：B

解析：

本题考查了球与三棱锥的综合应用，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最

值，属于中档题.

通过补体可得球。的直径及0E=3,平面a截球。的截面面积最小时，应有平面a，从而可计

算截面圆的半径从而得到其面积的大小.

解：由题意，正三棱锥P-ABC中，也PA=AB=4近,

所以PA=PC=PB=4,AB=AC=BC=4vL

所以P/+PC2=AC?,

所以NCP.4J,同理=ABPA:,故可把正三棱锥补成正方体(如图所示)，

其外接球即为球0,直径为正方体的体对角线，令半径为R,故2R=4g,

设PA的中点为F,连接OF,则OF=2鱼且OF,PA，

所以。E=倔彳1=3,

当OE_L平面a时，平面a截球。的截面面积最小，此时截面为圆面，其半径为同恭二=仃，

故所得截面面积的最小值为37r.

故选B.

3.答案：C

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象

能力与思维能力，考查运算求解能力，是难题.

对于①建立空间坐标系，得到M点应该满足的条件，再根据二次函数的最值的求法求解即可；

对于②D1G//DC,DCO平面&BD=D,所以久的也与平面&BC相交；

对于③过A作平面a,使得棱AD,A4,DiG在平面a的正投影的长度相等，因为。心〃48,且=

AB,所以A8在平面a的正投影长度与01Ci在平面a的正投影长度相等，然后分情况讨论即可得到平

面a的个数；

对于④面6与面4BD平行，则正方体4BCD-AiBiGDi在面0的正投影为正六边形，且正六边形的

边长为正三角形4BD外接圆的半径，故其面积为次.

解：对于①，以。为原点，D4为x轴，OC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图1所

示；

过M作MG_L平面ABC。，G是垂足，则G在线段A5上，

则。(0,0,0),C(0,l,0),力(1,0,0),

P(l,0,i),5(0,0,1),0),

设M(l,a,b),

则原=(l,db-1),CP=

vDXM1CP,

-CP=l-a+ih-|=0,解得2a-b=L

・•・BG=1—Q,MG=b=2a-19

222

MB=\/GB+MG=J(1—Q)2+(2Q—1)2=V5a-6a+2,

11i_---------

•**S»BCM=2xBCxMB=--1-yJ5a—6a+2

=”5(a—|)2+泻

当a=|时，^BCM)min=①正确；

对于DiG〃DC,OCn平面AiBD=D,所以也与平面&BO相交.

故②错;

③过A作平面a,使得棱A。，AA1,DiG在平面a的正投影的长度相等,

因为D1C//4B,且AG=血

故。也1在平面a的正投影的长度等于AB在平面a的正投影的长度，

使得棱4。，力4,0]G在平面支的正投影的长度相等，

即使得棱A。，a&，AB在平面a的正投影的长度相等，

若棱A。，AAr,AB在平面a的同侧，则a为过A且与平面&BD平行的平面,

若棱A。，AAr,A8中有一条棱和另外两条棱分别在平面a的异侧，

则这样的平面a有3个，

故满足使得棱AD,AAltDiCi在平面a的正投影的长度相等的平面a有4个;

③正确.

④过A作面.与面4BD平行，

则正方体力BCD-4B1QD1在面0的正投影为一个正六边形，

其中4cl，平面氏而4cl分别垂直于正三角形为B。和CB15，

所以根据对称性，正方体的8个顶点中，4,G在平面/?内的投影点与正六边形的中心重合，

其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，

且正六边形的边长等于正三角形力1BD的外接圆半径(投影线与正三角形为80、CBiDi垂直),

所以正六边形的边长为a=立+sin60°=渔，

23

所以投影的面积为6xxa2=6Xx(^)2=V3.

④对.

故选：C.

4.答案：C

解析：

本题主要考查了三棱锥外接球的表面积计算、简单组合体的结构特征，属于基础题.

由AB=4C=40=6，乙BCD若”是点A在平面BC。内的正投影,

可得”为底面直角三角形的外心，球心在A”上，由8〃求出设外接球的半径为R

由直角三角形可求出R进而求出外接球的表面积.

解：因为AB=AC=AD=旧，

所以由三角形全等可得HB=HC=HD,

即”是△BCD的外心，

即H是斜边的中点，

则球心。在A”上，

由勾股定理可得力"一=A“2,得AH=1,

设球。的半径为七则R2=（R-1）2+2,

所以R=|.

所以球。的表面积为ATTR'-ATTXg）~=9万，

故选：C.

5.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的三视图以及求的表面积的求法，关键是根据三视图还原出几何体，求其外接

球的表面积即可，属基础题.

解：由三视图可知该几何体底面是棱长为2的正方形，

由一条侧棱垂直底面，高为2的四棱锥，

结合图形可知该几何体为棱长为2的正方体的一部分，

其外接球也是棱长为2的正方体的外接球，

所以外接球半径厂满足：2r=722+22+22=2昭,

故球的半径为r=百，表面积为S，4开/ITTx127r.

故选B.

6.答案：C

解析:

本题考查命题真假的判断与应用，考查了截面的性质，关犍是利用面面平行、面面相交的性质确定

截面的顶点.属中档题.由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误.

解：如图当CQ=1时，即。为CC1中点，此时可得PQ〃/ID〉AP=QDr=V2，故可得截面APQD1为

等腰梯形，

由上图当点。向C移动时，满足0<CQ<1,只需在DDi上取点M满足AM〃PQ,即可得截面为四

边形APQM,故①正确;

当CQ=|时，延长DDi至N,使D]N=1,连接AN交久久于E,连接NQ交的劣于R,连接ER,

可证AN〃PQ,由AQRQ,可得GR：DrR=CrQ：DrN=1：2,故可得（?小=],故②正

确；

由上可知当|<CQ<2,只需点。上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRE,显然为五边

形，故③错误；

当CQ=2时，。与G重合，取的中点F,连接AF,可证PCJ/AF,且PG=AF=后,FQ=AP=四,

对角线可知截面为尸为平行四边形，故其面积为故④正确.

AQ=3,FP=V5,APGS=2SAAFP=3,

故选C.

7.答案：D

解析:

主要考查考查棱柱的结构特征，考查平面内两点之间线段，最短考查计算能力，空间想象能力，是

中档题.

取AC中点E,过M作MF_1面4当。以1，可得当MN1BiQ时，用N最小.再根据2PM+&MN>2AAt

即可求出答案.

解：取4c中点E,过M作MF1面4B1GD1，

易得4M=AM,Z.APM=Z.AEM=90°,AP=AE=^AC,

故△APM三AAEM,故PM=EM,

而对固定的点M，当MNJ.B1G时，MN最小.

此时由MF_1面481。山1，

可知为等腰直角三角形，MF=^-MN,

2

故2PM+&MN=2(PM+yMN)

=2(fM+MF)>244]=2.

当MN1BiG时取等号，

故选D

8.答案：C

解析:

本题考查简单组合体及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积，球的结构特征,

函数的最值，属于综合题.

由题意分析点c，D,E在以AB为直径的球面。上，根据求得结构特征和圆的性质可得结论.

解：取

A8的点

0,因为

AC1

CB,

AD1

DB,

AE1

EB,所以。4=OB=OC=OD=OE,

故点C,D,E在以AB为直径的球面。上.

设A,8到平面COE的距离分别为d2,则B+dzWAB,

所以该多面体的体积U=^A-CDE+KB-CDE=,SAC£)E，((A+d2)4~5ACD£-AB,

过点C,D,E作球的截面圆O',

设圆。'的半径为r,则「23,S.r<^AB,即rW5,所以3WrW5,

又点E到CD的距离最大值为r+Jr2—(言)2=厂+Vr2-92>

所以SmcDE<|x6x(r4-Vr2-9)=3(r+Vr2-9),

因为函数/(r)=r+尸F在［3,5］单调递增，所以f(r)ma*=/(5)=5+4=9,

从而U<|SACDE♦AB《£x3x9=90.

故选C.

9.答案：BCD

解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查四面体体积，平面与多面体截面积等有关知

识，属于较难题，解题时取中点W,AB1中点S,可先根据4PJLD1Q,确定。位置就在/S上,

然后根据体积，面积等公式逐项检验即可.

解：如图,

取4B中点W,必当中点S,连接WS,OVV,£)iS,

在正方形A8CO中，易得4P1DW,又AP1DC1，

DWnDDX-D,U平面OH'SOi,

所以APd.平面。H'SDi,

因为点Q是底面上的动点，且4P1D1Q,

故点。在QS上运动，DrS//DW,

所以OP与DiQ所成角就是DP与OW所成的角，即NODP,

易得0。=竽,0P=言，

直角三角形。OP不是等腰直角三角形，故A错误；

由于三角形A8P面积固定，。在上底面，Q到面ABP距离为2不变，故四面体ABPQ体积不变，B

正确；

因为。点在DiS上，过4向DA作垂线，垂足为“，即是符合条件的。点,

△44Q的面积有最小值就是△441”的面积，

44］和上底面垂直，4441”是直角，

所以面积为3/UIXAIH=：X2X,=誓，C正确;

平面01PQ就是过点P与QS确定的平面，不因。变化而变化，故平面截正方体的截面面积不会改变,

。正确，

故选BCD.

10.答案：ABC

解析：

本题考查异面直线所成的角及线面垂直的判定与性质，同时考查棱锥的体积及空间距离，为较难题.

结合正方体的性质及己知逐一分析求解即可，解此题的关键是对正方体的性质要熟练.

解：对于A,

连接BD,交AC于。，在正方体中，有AC1BD,

又在正方体中，DDrABCD,ACABCD,

则1AC,

y.BDnDDX=D,BD、D%u平面8皿。8,

AC1平面BiDiDB,

又BEu平面B/iDB,

:.AC1BE,

所以A正确；

对于B,A到平面8EF的距离等于A到平面BiDiDB的距离,

又ACJ■平面8也08,

・••在正方体中，A到平面8皿。8的距离为AO,为定值字a，

所以8正确；

2

对于C,由已知，得：S^BEF--xax—a=—a>

所以三棱锥A-BE尸的体积为V=[SABEFx4。=-^a3,

而正方体力BCD-4B1C1D1的体积为a3,

所以三棱锥4-BEF的体积是正方体ABCD-4出。也体积的方

所以C正确；

对于。，设异面直线AE,B尸所成的角为a,

当E与Di重合时，尸为反。1中点，连接AD】和BG，

在正方体中易知四边形4BGD1为平行四边形，贝IJ4DJ/BG，

・•・a=乙FBC],

因为C】F_£平面所以C1F1BF,

所以sina=翳=：,a-30°；

DLiZ

当尸与当重合时，E为B】Di中点，

在正方体中有44i〃BB「

则Q=Z_E44I，tana=aR30。,

••・异面直线AE、所成的角不是定值，

所以。错误.

故选ABC.

11.答案：BCD

解析：

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查四面体体积，平面与多面体截面积等有关知

识，属于较难题，解题时取AB中点W,中点S,可先根据APLDiQ,确定。位置就在上,

然后根据体积，面积等公式逐项检验即可.

解：如图，

取AB中点W,41当中点S,连接WS,£)W,DiS,

在正方形ABC。中，易得4PJ.DVV,又API.。。1，

DWClDD1=D,。。1U平面。l「SDi，

所以.4PJ.平面。H'S",

因为点。是底面48道1。1上的动点，且4P1D1Q,

故点Q在上运动，D^f/DW,

所以OP与。1Q所成角就是DP与。卬所成的角，即NODP,

易得OD=延,OP=延，

55

直角三角形。OP不是等腰直角三角形，故A错误；

由于三角形ABP面积固定，。在上底面，Q到面ABP距离为2不变，故四面体A3P。体积不变，B

正确；

因为。点在上，过4向DA作垂线，垂足为“，即是符合条件的。点，

△44Q的面积有最小值就是△441”的面积，

44］和上底面垂直，4441”是直角，

所以面积为3/UIX&H=：X2X,=笫,C正确；

平面QPQ就是过点P与QS确定的平面，不因。变化而变化，故平面截正方体的截面面积不会改变，

。正确，

故选BCD.

12.答案：AD

解析：

本题考查简单多面体的结构特征，球的体积公式，二面角的计算，属于较难题.

对于A,假设。为刍童外接球的球心，连接”凡EG交于点。「连接AC,交于点3，由球的儿

何性质可知0,。「。2在同一条直线上，。。1平面ABCD,。。1，平面EFGH,0r02=1,设。。2=r,

利用勾股定理和球的半径相等的条件列式，求出，的值，进而求出外接球的半径，即可求出体积；

对于8,由棱台的性质可得结论；对于C,利用反证法，由等角定理与实际结论矛盾可判定；对于。，

直接构建二面角的平面角NQP02计算可得结论.

解：假设。为刍童外接球的球心，连接”尸，EG交于点01，连接AC,交于点。2，

由球的儿何性质可知。，外在同一条直线上，

由题意可知，。。1J■平面ABCZ),。。11平面EFGH,0102=1,

设。。2=r,

在RtzlOGOi中，0G2=0。/+01G2,

在矩形EFGH中，EG=VEF2+FG2=V16T4=2遥，01G=攀=花，

0G2=。0/+。传2=(r++5,

22

在RtZiOBO?中，。加=002+02B,

在矩形ABC。中，DB=VW+4,2=757T7=4&,02B=号=2近,

2222

OB=002+O2B=r+8,

设外接球的半径0G=0B=R,(r++5=N+8,解得r=1,

则R=0B=Vl2+8=3,则该刍童外接球的体积V=g兀R'=36乃，故A正确;

对于8,因为黑=专，喘所以由累力黑可得，该刍童不是棱台，故B错误；

AD77AB5ADAB

对于C,由题意，面ABCD"面EFGH，旦面ABCDn面ABFE=AB,面EFGHn面ABFE=EF,所

以AB//EF,若4C,EG在同一个平面内，同理可得4C〃EG,

由同角定理可得4a4B=4GEF或NCAB+NGEFTT,

又因为Rt^CB.A中，tan“4B=^=亚，R2GFE中，tanzGEF=啜=；,这与两角相等或互补

AB5EF2

矛盾，所以AC,EG不在同一个平面内，故C错误；

对于D,过。1作OiQ1EH且相交于点Q,过。2作02P1力D且相交于点P,连接PQ,易得/QP。?即

为二面角—H的平面角，在直角梯形QPO20中，（?。1=拶=2,P02=^-=|，。1。2=1，

5QL

八八八P0O-Q0A--2IV5

所以8SNQPO2=PQ-="岸2）2=而=与，故O正确；

故选AD.

13.答案:BC

解析：

本题考查简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体

积，球的表面积和体积，空间中直线与直线的位置关系，涉及三角形面积公式，余弦定理，同角三

角函数关系式，属于较难题.

由题意，根据长方体的结构特点对选项逐一判断即可.

解：对于A,如图1,连接4C,

由长方体性质可得&CJ/AC,

又•：AB=2,AD=3,

二四边形ABCD是矩形，不是正方形，3。与AC不垂直,

BD与4修1不垂直，故A错误；

对于B,•1-44i=1,AB=2,AD=3,长方体4BCD—4B1GD1的外接球的直径为长方体的体对角

线长，

2R=Vl2+22+32=V14>

故长方体力BCD-的外接球的表面积为垢储Ux（旺产=HTT，故8正确;

对于C,三棱锥&-BDC的体积为以「Boe=|5A6DC-AA,

=ix|x2x3xl=l,故C正确；

对于£>,如图2,

三棱锥&-BOQ的四个面是全等的三角形,

2222

而△&B。中，ArD=Vl+3=V10，BD=V2+3=V13,=县,

：•cosZ,-nBA4,D八=-AI-M-+-A--B-2-B-0-210+5-13V2

1=——尸=—,

2A1DA1B2xV10xV510

sin/BAiD=yjl-=J1-(^j)2=飞,

••・三棱锥为-BDCi的表面积为4xgxV10xV5x^=14>

而三棱锥&TBD的表面积苦X3X1+N2X1+"2X3+NAUX^XM=9K14^。

错误.

故选BC.

14.答案：ABD

解析：

本题主要考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判

定，要注意使用转化的思想.利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.

连结DB,容易证明_L平面力CZ\,从而可以证明面面垂直；连接&B,aG容易证明平面BaCJ/

平面ZCD1，从而由线面平行的定义可得；分析出4P与ADi所成角的范围，从而可以判断真假

■V,D1_APC=VP_AD1C,P到平面的距离不变，且三角形4D1C的面积不变，从而可以判断真假.

解：对于A,连结。B,因为正方体中，_L平面ABC。，AC在平面ABC。内，所以8当_1_4。，

又因为DB1AC,DB,BBi为平面OB/内两条相交直线，所以AC_L平面CBB1，因为。在平面。8当

内，所以。当，力（?，同理可得DB114D1，AD1、4c为平面ACD1内两条相交直线，可得Da1平面

ACDltOB1在平面PBi。内，从而平面PBi。_L平面AC。1，A正确；

对于3,连接&B,&G，A^J/AC,&G不在平面AC%内，AC在平面ACQ内，所以&G〃平面

ACDr,同理BCi〃平面4CDi，又&G、BCi为平面B&Ci内两条相交直线，所以平面B&C1〃平面AC/,

4止在平面84G内，所以&P〃平面AC。1，故B正确；

对于C,4P与4劣所成角即为4P与BQ的所成角，&B=BCi=ACi，当P与线段BC1的两端点重

合时，&P与4劣所成角取最小值会当P与线段BQ的中点重合时，&P与AD1所成角取最大值会故

A』与45所成角的范围是椁，耳，故C不正确：

对于。，由选项B得BCJ/平面4%C,故BCi上任意一点到平面4%C的距离均相等，所以以P为

顶点，平面4。道为底面，则三棱锥。一4。道为的体积不变，又%LAPC=%TD|C，所以三棱锥久一

4PC的体积不变，故。正确.

故选ABD.

15.答案：AB

解析：

本题考查异面直线所成的角及线面垂直的判定与性质，同时考查棱锥的体积及空间距离，为较难题.

结合正方体的性质及已知，逐一分析求解即可，解此题的关键是对正方体的性质要熟练.

解：对于A,

连接BD,交AC于。，在正方体中，有AC1BD,

又在正方体中，DDrABCD,ACu平面48CD,

则1AC,

又BDn叫=D,BD、DDiu平面&。山3,

•••AC1平面8也。8,

又BEu平面B/iDB,

AC1BE,所以A正确；

对于B,A至IJ/BEF所在平面的距离等于A到平面&D1DB的距离，

乂AC1平面B/iDB,

在正方体中，A到平面当。1。8的距离为A。，为定值/a，所以8正确；

对于C,由已知SABEF=巳xaxja='a?,

所以三棱锥A-BEF的体积为V=况BEFx4。=》3,

而正方体力BCD-AiBiQDi的体积为a3,

所以三棱锥4-BEF的体积是正方体ABCD-&81的。1体积的专,

所以C错误；

对于。，当点E在Q处，尸为D/1的中点时，异面直线AE,8F所成的角是NFBCi，

当E在仇当的中点时，尸在当的位置，异面直线AE,B尸所成的角是NE44「显然两个角不相等，

命题。错误；

故选AB.

16.答案：9遍

解析：

本题考查空间几何体的截面问题，需要熟练掌握组合体的结构特征，属于难题.

根据题干条件正确画出图形，进行分析确定球心的位置，并结合条件求出球的半径，确定截面的形

状，进一步计算截面面积即可.

解：结合题意可得下图，设AB的中点为E,CO的中点为F,连PE,PF,则〃在PE上，ABCD的

中心为H,球心O和N都在PH上，

因为平面a过点M,N且与AB平行，所以截面STY'S'为等腰梯形，

HE=2^6,PH=6近,PE=4拈

由4PM0-4PHE得二=亚Mr=272.

2V64v6

乙EPH=30°,所以PM=2V2xV3=2V6=)E,M为PE的中点,

MN2=(2A/6)2+(2V2)2-2x2>/6x2V2xy=8,MA/=2日

所以AOMN为正三角形，所以NPMN=30。，

又乙EPF=60°,所以“G=2V6Xy=3近，

而ST==2>/6,=V6,

-2AB2PG=-PM=®4ST=-PF

所以截面的面积为?x3夜x(2V6+V6)=9百，

故答案为9次.

17.答案：誓一1

解析：

本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推

理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于中档题.

取&Ci中点。，则M。1面4当6。1，即MOLOP,可得点尸在以。为圆心，以1为半径的位于平

面4aGD1内的半圆上.即。到&N的距离减去半径即为P0长度的最小值，作0H_L4N于从可

得OH,PQ长度的最小值为。H—1.

解：如图，取BiG中点O,且M为8C中点，

则M。平面A/iCiDi，且OPu平面&8停1。1，

・•・MO1OP,

•:PM=相,则0P=J（而/-22=1，

・••点尸在以。为圆心，以1为半径的位于平面4B1GD1内的半圆上.

可得。到&N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，

作1&N于H,

•・•△为0N的面积为2x2-1x2xlx2-|xlxl=|,

••A&NXOH=|,可得。”=逆，；.PQ长度的最小值为逆一1.

/N55

18.答案：10

解析：

本题考查了圆锥的结构特征，球与几何体的问题，考查了空间想象力，将立体图转化为平面图是解

决本题的关键，属于难题.

先作出圆锥轴截面图，根据几何关系求出球。半径R,小球半径为，・，再根据小球相邻相切，排在一

起，则球心在一个半径为空的圆M上，结合三角函数性质得到单个球在圆M上所占的圆心角28的

3

取值范围，然后求出警的范围即可求解.

解：由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3,如图所示：

£

B

设球。半径为R,由NOCB=30。，可得0C=2R,

故04=0C=2R,所以R+2R=3,

•••R=l,OC=2,故得EC=1,

设小球半径为r,同理可得。'C=2r,故3r=1,所以小球半径为r=%

且。。'=：,这时。'到直线A0的距离为±sin60。=越，

这些小球相邻相切，排在一起，则球心在一个半径为瑟的圆M上，如图所示:

3

”为相邻两球切点，M1，“2分别为相邻两球球心，设乙。，则

则SE。=盘=qtan”言=券

由三角函数的性质可知sin。<9<land,

,■<4<28<言,

VTTTT<^<2V37T,

2u

■：x/ilw=/ll亓2>1()>2瓜K=，⑵2<：II，

故可得能放入小球个数最多为10,

故答案为10.

19.答案:更

3

解析:

本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，

属于中档题.，

先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化

为正方体中，中心到截面的距离问题，.

解：••,正三棱锥P-48C,PA,PB,PC两两垂直，

;此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球。，

・•,球0的半径为百，

二正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2,

球心到截面A8C的距离即正方体中心到截面ABC的距离，

设P到截面ABC的距离为h,则正三棱锥P-力BC的体积V=1sA4ecxh=|sAP4exPC=ixix

4

2x2x2=-,

3

△ABC为边长为2近的正三角形，S-8c=—x（2近＞=2V3.

4

.3V2\[3

・•・h==——,

S&ABC3

•••球心（即正方体中心）0到截面ABC的距离为我一竽=?.

故答案为理.

3

20.答案：工+在

25

解析：

由题意，就是求M到。么与CCi距离和的最小值，由于4/在平面4BCO上的射影为AF,故问题转

化为正方形ABCO中，AF上的点到。，C距离和的最小值.本题考查棱柱的结构特征，考查余弦定

理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

解：由题意，就是求M到。％与CG距离和的最小值，

由于&F在平面ABC。上的射影为AF,故问题转化为正方形ABCZ）中，

AF上的点到。，C距离和的最小值，如图所示，

D

AEB

。为所求，则由射影定理，

21

可得，DO=布，sin乙40。=cos乙CD0=再，

・，・CO=J1+g-2x1x-j=x店=1»

•••△MOD1与AMCG的面积和的最小值是+^)=|+y.

故答案为工+些.

25

21.答案：%;七

解析：

本题重点考查二面角、异面直线的夹角和棱锥的外接球问题，属于较难题.

连8历，DM,通过说明AC_L平面BOM,得ACJ.BD,即可求得异面直线AC与8。所成角的大小为

7T

2；

先说明四面体A8CQ的外接球的球心在线段上，设为0,由余弦定理求出。M,由等面积法求

出NO,进一步可求比值.

解：连BM,DM,因为4B=ZC,M是AC的中点，

所以BM14C,

同理DMJ.AC,

又BMnOM=M,BM,DMu平面BOM

所以AC，平面BDM,

又BDu平面BDM,

所以AC1BD,即异面直线AC与5。所成角的大小为，

由4CJ■平面BOM,MNu平面BOM,可得4c_LMN,

易得△84C三A/MC,又M为AC中点，贝=

所以BD1M/V,

所以四面体ABC。的外接球的球心在线段MN上，设为0,

因为MB=J102-(y)2=8=MD.M4=与=6,

由VAL42+。“2=yjBM2+M02_2BM-MO-coszfiMO

得、62+0Af2=V82+0M2-2x8xOMxcos30°.

解得。M=型，

6