高中数学-函数y=Asin(wx+φ)的图象教学设计学情分析教材分析课后反思

1.5函数y=Asin(ax+6)的图象教学设计

一、教学分析

三角函数是中学数学的重要内容之一，他既是解决生产实际问题

的工具，又是学习高等数学与其他学科的基础。本节课是在学习了任

意角的三角函数、正、余弦函数的图像和性质之后，进一步研究函数

1.5函数y=Asin(ax+6)的图象的画法，由此揭示函数y=Asin(wx+

6)的图象与正弦曲线的关系，以及A、3、。的物理意义，并通过图

象的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变

换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一

个难点.

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(cox+6)的

图象呢?通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin(ax+6)的图象变

换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思

想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换

这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本

思想方法;通过对参数6、3、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变

换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导

下，通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y=sinx到y=

Asin(3x+。)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.

二、教学目标:

1、知识与技能

借助计算机画出函数y=Asin（ax+6）的图象，观察参数①，

a,A对函数图象变化的影响；引导学生认识y=Asin（3x+6）的图

象的五个关键点，学会用“五点法”画函数丫=人5打（3乂+6）的简图；

用准确的数学语言描述不同的变换过程.

2、过程与方法

通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin（3x+6）的图象变换规

律的探索，让学生体会研究问题时由简单到复杂，从具体到一般的

思路，一个问题中涉及几个参数时，一般采取先“各个击破”后“归

纳整合”的方法.

3、情感态度与价值观

经历对函数y=sinx到y=Asin（3x+6）的图象变换规律的探

索过程,体会数形结合以及从特殊到一般的化归思想；培养学生从

不同角度分析问题，解决问题的能力.

三、教学重点、难点：

重点：将考察参数A、3、6对函数y=Asin（3x+6）图象的影

响的问题进行分解，找出函数y=sinx到y=Asin（ax+6）的图象

变换规律.学习如何将一个复杂问题分解为若干简单问题的方法.;会

用五点作图法正确画函数丫=45行（3*+6）的简图.

难点：学生对周期变换、相位变换顺序不同，图象平移量也不同的

理解.

四、教学过程:

函数y=Asin(3x+6)的图象(—)

(一)、导入新课

(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如

丫=人5皿(3乂+6)的函数(其中4、3、6是常数).例如，物体做简谐振

动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等,

都可用这类函数来表示.

【出示课件】如图某次试验中，交流电中电流强度y与时间x的关系。

将测得的图像放大，可以看出他和正弦曲线很相似。函数y=sinx与

函数y=Asin(3x+6)存在着怎样的关系？今天,我们就分别探索6、

3、A对y=Asin(3x+6)的图象的影响..揭示课题：函数y=Asin(3

x+6)的图象.

(二)、推进新课、新知探究

y=sin羽尤金［0,2万］的图象

关键点：(0,0),(|,1),(九,0),(,-1),

【设计意图】复习用五点作图法画出函数的图像，有利于下面对图像

画图。

探究l.y=Asinx与y=sinx图象的关系

作函数y=2sinx及y颉x的简图•

713K

~2

X0~2JI7JI

sinx010-10

2sinx020-20

\_

2

解：列表2sinx0200

y=SEx纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变y=2Sinx

纵坐标缩短到原来的一半，横坐标不变

1.

V=SinX----------------------j^=-sinx

J2

y=Asinx（A>0）A决定了函数的值域及最大最小值，称A为振幅。

小组交流讨论：A对函数的影响；教师总结。

结论一：函数y=Asinx（A>0且AW1）的图象可以看作是把y=sinx

的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当OVAVI

时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的。y=Asinx,xGR的

值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A。

相关练习：

1.选择题：己知函数y=3sin（x+多的图象为C

(3)»了得至I」的数y=4sin(x+2)的图案，只要

寺巴U•上月斤有的点()

〈A)横坐标伸长至U岸来自勺售借，纵坐标不交

<m楼坐标缩短到原来白勺:借，绒坐标不理

<C级坐标伸长至!］原来白勺2倍.横匀仝标不空

<6纵小标缩短至U原来的"音，横空棒不注

【设计意图】通过比较，研究图像使学生更加直观得到他们的区别和

练习，从而得出结论。小组交流增加了学生的沟通能力。

探究2.y=sin(x+6)与y=sinx的图象关系

试研究y-§in(x+—)=sin(x——)y=sinx的图象关系

〉'=sinx36

由学生作出。取不同值时，函数y=sin(x+6)的图象，并探究它与

y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更

多的关于6对丫=$行&+6)的图象影响的经验.为了研究的方便，不妨

先取。=半利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别

在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时

移动这两点，并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以

发现，对于同一个y值,y=sin(x+?)的图象上的点的横坐标总是等于

y=sinx的图象上对应点的横坐标减去2这样的过程可通过多媒体课

3

件，使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察

A、B的坐标、XB』、|AB|的变化情况，这说明y=sin(x+与的图象，可

3

以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移?个单位长度而得

到的，同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移(使之与

y=sin(x+?)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理

解.再取6=2,用同样的方法可以得到丫=5：1位的图象向右平移二后

66

与y=sin（x-g,）的图象重合.如果再变换。的值，类似的情况将不

断出现,这时6对丫=$S&+6）的图象的影响的铺垫已经完成学生关

于6对丫=$行&+6）的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.

学生自己画图分析，小组交流讨论，得出结论。教师总结。

结论二：函数y=sin（x+6）（<i>W0）的图象可以看作是把y=sinx的图

象上所有的点向左（当<!）>（）时）或向右（当。V0时）平行移

动I6|个单位而得到的。

学生做相关练习

【设计意图】在学生已有的认知结构的基础上再次提出问题，是的学

生能够对所学习的方法、知识有更加深刻的认识，巩固已有的经验。

探究3.Y=sin（ox与y=sinx图象的关系

作函数y=sin2x和y=sinLx的图像

2

学生画图分析，小组交流讨论，得出结论。教师总结。

结论三：函数y=sino）x（8>0且coWl）的图象可以看作是把y=sinx的

图象上所有点的横坐标缩短（当0>1时）或伸长（当0<®<l时）到原来

的-倍（纵坐标不变）而得到的。

CO

⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标（或纵坐标），再伸

缩纵坐标（或横坐标），最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图

象变换时,对比变换，以引起学生注意，并体会一些细节.

由此我们完成了参数6、3、A对函数图象影响的探究.教师适

时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想：由简单到复杂,

由特殊到一般的化归思想.

（三）、理解新知:

①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin（ax+6）的图象的变换

过程，分解为先分别考察参数6、3、A对函数图象的影响，然后整合

为对y=Asin（3x+6）的整体考察.

②略②略.

③图象左右平移，。影响的是图象与x轴交点的位置关系.

④纵坐标不变，横坐标伸缩，3影响了图象的形状.

⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.

（四”规律总结:

先平移后伸缩的步骤程序如下:

向左（0>0）或向右（0<0）,

y=sinx的图象平移网个单位长度得丫=5打6+6）

的图象

横坐标伸长（0<。<1）或缩短（。>1）、

1,.得y=sin（3x+（t>）的图象

到原来々纵坐标不变）丫

CD

纵坐标伸长（4>1）或缩短（O<A<1）、.同々，

为原来的A倍（横坐标不变）—>付y=As1n（3X+6）的图象

先伸缩后平移（提醒学生尽量先平移），但要注意第三步的平移.

纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<I）>

y=sinx的图象这原来的A倍（横坐标不变）得inx

的图象

横坐标伸长（0<0<1）或缩短（。>1）〉

至IJ原来的,（纵坐标不变）得y=ASln（3X）的图象

（0

向左（夕>0）或缩短3>1）,

平移四个单位得y=Asin（G）X+6）的图象

CD

（五）、应用示例

例1画出函数y=2sindx-与的简图.

36

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.

（1）引导学生从图象变换的角度来探究，这里的6=3=

LA=2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin（2x-与的

336

图象的过程：只需把y=sinx的曲线上所有点向右平行移动二个单位

6

长度，得到y=sin（x-与的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来

6

的3倍（纵坐标不变），得到y=sin（4x-工）的图象;再把所得图象上所

36

有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到函数y=2sin（1

x-与的图象，如图4所示.

6

j=2sinf^x--g-)

图4

⑵学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律,教师

可引导学生作换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成，仔细体

会变化的实质.

(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(1x-

g),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图

画出函数y=2sin(L-£)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图

36

的要求完成这一画图过程.

解:方法一:画出函数y=2sin('x-£)简图的方法为

36

右移二个单位

y=sinx------------>y=sin

纵坐标不变).]式横坐标不变〉

横坐标伸长到原来的3倍y=sln'一不)纵坐标伸长到原来的2倍

y=2sin(-x-—).

36

方法二:画出函数y=2sin(2x-£)简图的又一方法为

36

纵坐标不变.1

y=sinx横坐标伸长到原来的3倍y=sin§x

横坐标不变右移个单位]

11

纵坐标伸长到原来的“y=2sin-x------------>y=2sin(-x-

-)=2sinl(x--).

632

方法三：(利用“五点法”作图一一作一个周期内的图象)

令X=x(则x=3(X+》列表:

713万

X0JI2n

7T

7117113乃

X2n5n

7~T~r

Y020-20

描点画图，如图5所示.

图5

点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”

作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变

换，左右平移变换只对“单个”x而言,这点是个难点，学生极易出错.

对于“五点法”作图，要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小

值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换，设X=

3x+6,再用方程思想由xmo,71,—,271来确定对应的X值.

22

（六）、课堂小结

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函

数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提

高的平台.

2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin（3x+?）的

图象，并分别观察参数6、3、A对函数图象变化的影响，同时通过具

体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.

（七）、作业

函数y=Asin（（ox+（p）的图象学情分析

本次讲课的教学班为高一（2）班，学生有47人。根据教学的了

解，学生普遍数学功底比较差。一部分学生本身自制力差，学习习惯

不好，学习兴趣不浓，这也对老师的教学管理增加了困难。学生层次

明显，两极分化严重。学生情况分析1、学习兴趣与基础经过一段时

间的观察，我发现班上有一大半学生对数学学习没有兴趣，问其原因，

大部分都说数学太难，学不懂，老师讲的都不明白，基础太弱，导

致课堂上无所事事。这样越来越对数学没有兴趣。2、学习习惯少部

分学生有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，和

老师讲常交流。仍有大部分学生学习懒散、学习习惯差，粗心大意、

书写不认真，不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲解，依赖同学

的帮助，作业抄袭等等不良现象。3、学习成绩由于两级分化严重，

导致成绩差异明显，高分很高，低分太低，相差近80分。有的学生

很多初中的知识都不会，甚至在计算上都经常出现错误。

教师的应对措施1、抓学习习惯。帮助学生培养良好的学习习惯

和学习方法。让学生先认识数学的重要性，数学会提高大家对问题思

维能力，分析判断能力，解决问题的能力。再教学生怎样学习数学,

一次慢慢提高数学学习能力。激发学习兴趣，养成自主学习的习惯和

方法。平时在教学中，注意抓好学生的书写、审题与检查等良好的学

习习惯。2、加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部

分学生对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补

充初中知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的时候，以基础简单

题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。3、加强合作学习。

对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学

生，促使大家共同进步。4、注重情感交流。在教学的同时一，多了解

学生的兴趣，投其所好，培养感情。5、分层教学、因材施教。主要

方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。6、多表扬、

多鼓励。对于课堂上踊跃发言和积极进步的学生要及时表扬。并鼓

励其他同学向他学习，增加自信心。

函数y=Asin（cox+（p）的图象效果分析：

本节课通过对典型案例的探究，学生理解了影响函数

y=Asin（（ox+（p）的图象的因素及其图像变换的方法。让学生从中初步

体会了函数的图像与考点的联系，以及怎样运用所学知识去解决问题。

本节课通过对3大知识点和3个考向设置，经过学生的思考、应用，

教师的引导帮助，使得本节课的复习目标的重难点得以突破。学生通

过总结也完善了自己的认知结构，从而对该部分得知识也有了更深的

体会。我在课堂上注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生

自主探究、合作交流的学习方式。通过课堂练习，看到学生基本上能

掌握分类讨论，数形结合，化归的思想解决实际问题，课前制定的教

学目标基本实现。通过反思，才能进步，我觉得课前预设与课堂生成

相结合，才是对学生发展最为有利的教法。

1.5函数y=Asin（3x+6）的图象教学分析

三角函数是中学数学的重要内容之一，他既是解决生产实际问题

的工具，又是学习高等数学与其他学科的基础。本节课是在学习了任

意角的三角函数、正、余弦函数的图像和性质之后，进一步研究函数

1.5函数y=Asin（3x+6）的图象的画法，由此揭示这类函数的图象与

正弦曲线的关系，以及A、3、6的物理意义,并通过图象的变化过

程,进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延

伸，也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点。

如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin（cox+6）的

图象呢?通过引导学生对函数y=sinx到y=Asin（ax+6）的图象变

换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思

想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换

这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本

思想方法;通过对参数6、3、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变

换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导

下，通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y=sinx到y=

Asin（ax+6）的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.

1.5函数y=Asin（3x+6）的图象评测练习

7171

1.函数y=3si/x+）的振幅和周期分别为（A）

71

2

A.3,4B.3考.，4*.,3

2.（2014•四川卷）为了得到函数y=sin（%+l）的图象，只需把函数y

=sin%的图象上所有的点（A）

A.向左平行移动1个单位长度

B.向右平行移动1个单位长度

C.向左平行移动弘个单位长度

D.向右平行移动弘个单位长度

3.函数y=6sin（；声）的振幅是6,周期是8n,