2024年高中数学专题8-1重难点题型培优精讲基本立体图形学生版新人教A版必修第二册

专题8.1基本立体图形1．空间几何体的有关概念(1)空间几何体的定义

对于空间中的物体，假如只考虑其形态和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.(2)定理的实质多面体及其相关概念

①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.

③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.

④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.(3)旋转体及其相关概念

①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.

图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.

②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.4．简洁组合体的结构特征(1)简洁组合体的定义由柱体、锥体、台体、球等简洁几何体组合而成的几何体叫做简洁组合体.

(2)简洁组合体的构成形式

①由简洁几何体拼接而成，如图(1)所示.②由简洁几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.

(3)常见的几种组合体

①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.

③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.5．正方体的截面形态的探究通过尝试、归纳，有如下结论.

(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不行能是直角三角形、钝角三角形.

(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行.

(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不行能是正五边形.

(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.

对应截面图形如图中各图形所示【题型1简洁几何体的识别】【方法点拨】(1)驾驭简洁几何体的结构特征；(2)推断是多面体还是旋转体；(3)得到几何体的名称.【例1】（2024春·湖南株洲·高一期中）以下各几何体中，是棱柱的是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024春·湖南株洲·高二开学考试）下列几何体中为台体的是（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024秋·青海海南·高二阶段练习）视察下图中的四个几何体，其中推断正确的是（

）A．（1）是棱台 B．（2）是圆台C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱【变式1-3】（2024春·内蒙古阿拉善盟·高一期末）下列几何体中是棱锥的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型2棱柱、棱锥、棱台的结构特征】【方法点拨】结合具体条件，依据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，进行分析求解.【例2】（2024秋·上海黄浦·高三阶段练习）下列命题是真命题的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥【变式2-1】（2024·吉林·高一期中）下列命题中，正确的是（

）A．底面是正方形的四棱柱是正方体B．棱锥的高线可能在几何体之外C．有两个面相互平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥【变式2-2】（2024秋·陕西汉中·高一期末）下列说法正确的是（

）A．两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台B．棱柱的侧面可以是三角形C．直棱柱的底面是正多边形D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形【变式2-3】（2024秋·湖南怀化·高二期中）以下四个命题中，真命题为（

）A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B．底面是矩形的四棱柱是长方体C．正三棱锥是正四面体D．棱台的侧棱延长后必交于一点【题型3旋转体的结构特征】【方法点拨】通过旋转体的结构特征，进行分析，即可得解.【例3】（2024秋·安徽合肥·高二阶段练习）下列说法正确的是A．通过圆台侧面上一点可以做出多数条母线B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C．圆柱的上底面下底面相互平行D．五棱锥只有五条棱【变式3-1】（2024·高一课时练习）有下列命题，其中错误命题个数是（

）①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②过圆锥顶点的截面是等腰三角形；③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥；④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-2】（2024秋·上海奉贤·高二期中）下列说法正确的是（

）A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线B．过球上随意两点，有且仅有一个大圆C．圆锥的轴截面是等腰三角形D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆【变式3-3】（2024·高一课时练习）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上随意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的随意两条母线所在直线是相互平行的.其中正确的命题是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【题型4简洁组合体的结构特征】【方法点拨】驾驭常见的几种简洁组合体，结合具体问题，进行求解即可.【例4】（2024·高一课时练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（

）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台【变式4-1】（2024秋·河北沧州·高三阶段练习）太阳能发电是我国大力提倡的一种新能源发电形式.如图所示，某型号的矩形太阳能电池板用四根垂直于地面的立柱支撑，点A1，B1，C1，D1均在同一水平面内，且其中三根立柱AA1，BBA．100cm B．150cm C．200cm D．250cm【变式4-2】（2024春·上海·高二专题练习）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形态多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形态是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的全部顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为56A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【变式4-3】（2024·全国·高三专题练习）如图所示是一位学生设计的奖杯模型，奖杯底托为空心的正四面体，且挖去的空心部分是恰好与四面体四个面都相切的球O1；顶部为球O2，其直径与正四面体的棱长a相等，若这样设计奖杯，则球O1与球O2的半径之比A．1:6 B．1:6 C．1:3 D．【题型5几何体的截面问题】【方法点拨】依据对几何体的截面形态的探讨，结合具体问题，进行求解即可.【例5】（2024·高一课时练习）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（

）A． B．C． D．【变式5-1】（2024·高一课时练习）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（

）A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤【变式5-2】（2024·全国·高三专题练习）已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，GA．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形【变式5-3】（2024秋·安徽合肥·高三期末）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AA．22 B．25 C．3【题型6平面图形旋转形成的几何体】【方法点拨】对于平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.【例6】（2024春·广东珠海·高一阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（

）A．一个球B．一个球挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球挖去一个正方体【变式6-1】（2024·全国·高三专题练习）已知长方形ABCD中，AD=2，AB=4，点E为CD的中点，现以A．102π B．2823【变式6-2】（2024·高一课时练习）能旋