湖北省武汉市新洲区部分学校2024-2025学年高二数学上学期期中联考试题含解析

Page22数学试题考试用时：120分钟满分：150分2第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先排列出能构成三角形的状况，再应用排列组合得到全部的状况，最终计算概率即可.【详解】能构成三角形的组合有三种，一共有种状况，所以能构成三角形的概率为，故选：A2.已知向量，，若，则实数等于（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】【分析】依据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案.【详解】由题意知向量，，，故，故选：D3.直线的倾斜角是（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后依据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为，所以斜率，设倾斜角为，所以，所以，故选：C.4.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据直线平行的条件和充分必要条件的概念可推断结果.【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．所以由充分必要条件的概念推断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，故选：A5.经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解.【详解】由题意得，圆的半径，所以圆的标准方程为，所以圆的一般方程为．故选：A.6.椭圆：左右焦点分别为、，焦距为2，直线经过交椭圆于两点，若的周长为12，则椭圆标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据椭圆的定义可求出，再依据求出，即可得解.【详解】由的周长为，得，又椭圆焦距，则，所以，所以椭圆标准方程为.故选：D.7.若圆上总存在两点到原点的距离为1，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据圆上总存在两点到原点的距离为1，转化为圆和圆相交，结合圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，圆上总存在两点到原点的距离为1，即为圆和圆相交，又由两圆圆心距，则，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中转化为两个圆相交，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算实力.8.如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，若点是中点，则四棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依据两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到各点的坐标，再应用二面角的空间向量解法得到参数的关系式，最终依据体积公式得到最值即可.【详解】因为平面且，所以以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，因为已知是四边形内部一点，所以设，其中且（即点在平面内部），则，因为平面平面，所以平面的法向量为，又因为，设平面的法向量为，则，即，由题易得，令，则，所以，因为二面角的平面角大小为，所以，即，解得①，因为点是中点，所以到平面的距离为，所以要使得四棱锥体积的最大，则，即要取到最大值，由①知时，此时点不在四边形内部，冲突，故当时体积取到最大值，此时，所以，故选：D【点睛】方法点睛：遇到两两垂直的线段时，往往可以借助空间向量法来解决，须要在求解法向量的时候留意不求错即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种状况探讨，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出参数的值，即可得解.【详解】圆的圆心坐标为，半径，依题意直线的斜率存在，若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得，所以直线的方程为或；若直线不过坐标原点，设直线为（），即，则，解得（舍去）或，所以直线的方程为，综上可得直线的方程为或或.故选：ACD10.如图，空间四边形中，，分别是边，上的点，且，，点是线段的中点，则以下向量表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用空间向量的基底表示向量，再结合空间向量线性运算，逐一对各项计算推断即可得出结果.【详解】空间四边形中，，，点是线段的中点，，，所以选项D正确；对于选项A，，所以选项A错误；对于选项B，，所以选项B错误；对于选项C，，所以选项C正确，故选：CD.11.如图，在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.过A，，三点的正方体的截面面积为9C.当在线段上运动时，三棱锥的体积恒为定值D.若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】取中点，是与所成角或其补角，计算后推断A，由平行平面的性质作出截面等腰梯形，求出面积推断B，由线面平行得出到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，由特别点求出体积推断C，作出点关于平面的对称点，当是线段与平面的交点时，取得最小值，计算后推断D．【详解】正方体易得，取中点，连接．由于是中点，因此，所以，所以是与所成角或其补角，由已知中，，，，A正确；取中点，连接，同理可证（由得），因此是过A，，三点的正方体的截面，它是等腰梯形，，，，面积为，B错；由于，平面，平面，所以平面，从而到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，当与重合时，，C正确；设是点关于平面的对称点，则，又，明显，，又，所以，，，明显当是线段与平面的交点时，取得最小值，D错．故选：AC．12.法国闻名数学家加斯帕尔·蒙日在探讨圆锥曲线时发觉：椭圆的随意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆的蒙日圆方程为B.若为正方形，则的边长为C.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于，两点，则面积的最大值为18D.若是直线：上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于，两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或【答案】ABD【解析】【分析】A选项，求出，得到蒙日圆方程；B选项，设出边长，得到方程，求出答案；C选项，，由基本不等式求出最值；D选项，直线：与的交点即为所求点，联立后得到点坐标，得到斜率.【详解】A选项，，故椭圆的蒙日圆方程为，A正确；B选项，由题意，为圆的内接矩形，若为正方形，设的边长为，则，解得，故B正确；C选项，由对称性可知，四边形为矩形，其中为对角线，且，故，当且仅当时等号成立，故C错误；D选项，由题意得，直线：与的交点即为所求点，，解得或，故或，故或，D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.某高校的入学面试中有道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就始终抽题到第次为止．那么，李明最终通过面试的概率为___________．【答案】##【解析】【分析】依据独立事务概率乘法公式可求得无法通过面试概率，依据对立事务概率的求法可求得结果.【详解】李明无法通过面试的概率为，李明最终通过面试的概率为.故答案为：.14.已知点，直线与圆：交于两点，若为等腰直角三角形，则直线的方程为______写出一条即可【答案】（或或）【解析】【分析】分、和探讨即可得解.【详解】由圆：，得圆心，半径，，在圆上，若，可得过圆心且，又，，直线的方程为，即；若，可得过圆心且，则,可得的直线的方程为，联立圆方程，解得或，可得的坐标为或，依据圆的对称性易知，直线的方程为或，即或；若，由的等价性可知该状况与一样；综上：直线方程为：或或．故答案为：（或或）.15.如图，正方形和的边长都是1，且平面，点、分别在、上移动，若，则线段长度的最小值为________.【答案】##【解析】【分析】依据题意建立空间直角坐标系，利用两点距离公式，结合二次函数的性质即可得解.【详解】正方形和的边长都是1，且平面，因为⊥，⊥，所以为平面与平面夹角的平面角，故，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，则，故当时，取的最小值，最小值为.故答案为：16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且，则________.【答案】1【解析】【分析】利用椭圆定义以及余弦定理推出，依据，平方后结合数量积运算律可得出答案.【详解】由题意得椭圆的长轴长为，焦距为，故，且，即，得，则；由O为的中点，得，故，故，即，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.一个袋子中有4个红球，6个黄球，接受不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求其次次取到黄球的概率；（2）求两次取到球颜色相同的概率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）（2）依据已知确定样本总量，并确定不同事务对应容量，再应用古典概型的概率求法、互斥事务加法求对应概率.【小问1详解】从10个球中不放回的随机取出2个球共有（种）可能，即.记事务“两次取出的都是红球”，则；记事务“第一次取出红球，其次次取出黄球”，则；记事务“第一次取出黄球，其次次取出红球”，则；记事务“两次取出的都是黄球”，则；事务，，，两两互斥，故其次次取到黄球的概率；【小问2详解】由（1）知：两次取到的球颜色相同的概率.18.已知直线：和圆：.（1）求与直线垂直且经过圆心的直线方程；（2）求与直线平行且与圆相切的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设直线为，将圆心坐标代入，求得a的值，即得答案；（2）设直线为，依据直线和圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列式求出c，即得答案.【小问1详解】设与直线垂直的直线为圆可化为，圆心为，又因为直线经过圆心，所以，即，故所求直线方程为.【小问2详解】设与直线平行的直线为.又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以，或5，故所求直线方程为或.19.已知空间中三点，，.设，.（1）求和；（2）若与相互垂直，求实数的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量的加减运算和模长计算，即可求解.（2）分别先算出、利用垂直求实数的值即可.【小问1详解】∵，，，，.∴，于是，，.【小问2详解】∵，，又与相互垂直，∴.即.∴，.20.已知圆，点是直线上的一动点，过点作圆的切线、，切点为、.（1）当切线的长度为时，求点的坐标；（2）求线段长度的最小值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）分析可知圆的半径，设，利用勾股定理求出，再利用两点间的距离公式求出的值，即可得出点的坐标；（2）设，分析可知，、、、四点共圆，求出以为直径的圆的方程，可求出圆和圆的公共弦所在直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合勾股定理可求得的最小值.【小问1详解】解：由题可知，圆的半径，设，因为是圆的一条切线，所以，所以，解得或，所以点的坐标为或.【小问2详解】解：设，因为、是圆的两条切线，所以，所以、、、四点共圆，且以为直径，设圆心为，易知，则，圆的半径为，则其方程为，即①，又圆②，①②得圆与圆相交弦所在直线方程为，即，由可得，所以，直线恒过定点，因为，则点在圆内，当时，取最小值，且，故.21.如图，已知四棱锥的底面是菱形，，为边的中点，，，.（1）证明：；（2）试推断线段上是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点在的五等分点的二等分点处（靠近）【解析】【分析】（1）连接，通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用二面角的余弦值求得点的位置.【小问1详解】连接，因为，所以，因为底面是菱形，，所以，因为为边的中点，所以，∴，因为，所以，因此，即，又因为，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，即.【小问2详解】由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，为，，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，于是，，，令，则，取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，因为，所以，又二面角为锐二面角且设为，所以，即，（负值舍去），故存在点使得二面角的余弦值为，此时点满意.22.如图所示，椭圆上顶点和右顶点分别是和，离心率，，是椭圆上的两个动点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形面积的最大值；（3）试推断直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）4（3）是，定值为【解析】【分析】（1）由题意求出b的值，依据离