新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何微专题1线面角

第三讲空间向量与立体几何——大题备考立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；其次问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关．微专题1线面角如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2.(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．2.[2024·河南安阳二模]在如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，AB＝4，EF∥CD，EF＝2，CF＝4，点F在平面ABCD内的射影恰为BC的中点G.(1)求证：平面ACE⊥平面BED；(2)求直线BD与平面ABFE所成的角的正弦值．

1.[2024·山东聊城三模]如图，三棱台ABCDEF中，AB＝2DE，M是EF的中点，点N在线段AB上，AB＝4AN，平面DMN∩平面ADFC＝l.(1)证明：MN∥l；(2)若平面CBEF⊥平面ABC，AC⊥AB，AC＝CF＝FE＝EB，求直线AB与平面DMN所成角的正弦值．2.[2024·山西临汾二模]如图，已知四棱锥PABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，PA＝PB＝AB，AB＝BC＝2AD，E为AB的中点，F为棱PC上异于P，C的点．(1)证明：BD⊥EF；(2)试确定点F的位置，使EF与平面PCD所成角的正弦值为.技法领悟利用空间向量求线面角的答题模板1.[巩固训练1][2024·河北衡水模拟]如图，矩形ABCD是圆柱OO1的一个轴截面，点E在圆O上，AD＝AE＝3，且∠ABE＝60°，＝λ(0≤λ≤1)．(1)当λ＝时，证明：平面OAF⊥平面BDE；(2)若直线AF与平面ODE所成角的正弦值为，试求此时λ的值．微专题1线面角保分题1．(1)解析：证明：如图，作CF⊥AD，垂足为F，易证，四边形ABCF为正方形．所以CF＝AF＝DF＝1，CD＝＝.又AC＝＝，因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又AC＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC.(2)解析：以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，E()．则＝(0，2，0)，＝(0，2，－1)，＝()．设平面AED的法向量为n＝(x，y，z)，由，得，令z＝1，可得平面AED的一个法向量为n＝(－1，0，1)．设PD与平面AED所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.2．(1)解析：证明：如图，设AC与BD交于点O，连接OG，OE.因为O，G分别为BD，BC的中点，所以OG∥AB，OG＝AB＝2.因为EF＝2＝AB，EF∥CD∥AB，所以四边形EFGO为平行四边形，所以OE∥FG，又FG⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD.因为AC⊂平面ABCD，所以OE⊥AC，又四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为OE＝O，OE，BD⊂平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC⊂平面ACE，故平面ACE⊥平面BED.(2)解析：因为FG⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以FG⊥BC，所以FG＝＝2，所以OE＝2.如图，以点O为坐标原点，以直线OA为x轴，直线OB为y轴，直线OE为z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，－2，0)，所以＝(－2，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(0，－4，0)．设平面ABFE的法向量为v＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，可得v＝(1，，1)．设直线BD与平面ABFE所成的角为θ，所以sinθ＝|cos〈，v〉|＝＝＝，故直线BD与平面ABFE所成的角的正弦值为.提分题[例1](1)解析：证明：如图，取FD的中点G，连接GM，AG，因为M是EF的中点，所以GM∥DE，GM＝DE，因为三棱台ABCDEF中，DE∥AB，DE＝AB，AB＝4AN，所以GM∥AN，GM＝AN，即四边形ANMG为平行四边形，所以MN∥GA，因为MN⊄平面ADFC，GA⊂平面ADFC，所以MN∥平面ADFC，因为MN⊂平面DMN，平面DMN∩平面ADFC＝l，所以MN∥l.(2)解析：因为平面CBEF⊥平面ABC，所以过点F作FO⊥CB于点O，则FO⊥平面ABC，又由题意知CB＝2FE，AC＝CF＝FE＝EB，所以CO＝CF＝AC，因为△ABC中，AC＝CB，AC⊥AB，所以∠ACB＝60°，连接AO，在△ACO中由余弦定理得OA2＝CO2＋AC2－2CO·ACcos60°＝AC2，所以CO2＋OA2＝AC2，得OA⊥CO.所以以O为原点，以OA，OB，OF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令AC＝2，则O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，3，0)，C(0，－1，0)，F(0，0，)，M(0，1，)，＝(，1，0)，＝(－，3，0)，＝＝()，＝(－，0)，＝＝(，－)，设平面DMN的法向量为n＝(x，y，z)，则得令x＝2，则y＝2，z＝1，所以平面DMN的一个法向量n＝(2，2，1)，设直线AB与平面DMN所成的角为θ，则sinθ＝＝＝.所以直线AB与平面DMN所成角的正弦值为.[例2](1)解析：证明：如图，连接PE，BD，EC，EC交BD于点G.因为E为AB的中点，PA＝PB，所以PE⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD.因为BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD.因为△ABD≌△BCE，所以∠CEB＝∠ADB，所以∠CEB＋∠ABD＝90°，所以BD⊥EC.因为PE＝E，PE，EC⊂平面PEC，所以BD⊥平面PEC.因为EF⊂平面PEC，所以BD⊥EF.(2)解析：如图，取DC的中点H，分别以EB，EH，EP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系：设AB＝2，则BC＝2，AD＝1，PA＝PB＝，则P(0，0，1)，C(1，2，0)，D(－1，1，0)，E(0，0，0)，设F(x，y，z)，＝λ(0<λ<1)，所以(x，y，z－1)＝λ(1，2，－1)，所以x＝λ，y＝2λ，z＝1－λ，即F(λ，2λ，1－λ)．＝(2，1，0)，＝(1，2，－1)，＝(λ，2λ，1－λ)，设平面PCD的法向量为m＝(a，b，c)，则，即，取m＝(1，－2，－3)，则|cos〈m，〉|＝＝＝，整理得6λ2－2λ＝0，因为0<λ<1，所以λ＝，即＝，所以当PF＝PC时，EF与平面PCD所成角的正弦值为.[巩固训练1](1)解析：证明：因为点E在圆O上，所以AE⊥BE，而矩形ABCD是圆柱OO1的轴截面，则有AD⊥平面ABE，又BE⊂平面ABE，即有AD⊥BE，又AE＝A，AE，AD⊂平面ADE，于是得BE⊥平面ADE，又因为AF⊂平面ADE，所以AF⊥BE.当λ＝时，点F是DE的中点，又AD＝AE，则有AF⊥DE，因为DE＝E，DE，BE⊂平面BDE，所以AF⊥平面BDE，又AF⊂平面OAF，所以平面OAF⊥平面BDE.(2)解析：在底面内过O作Ox⊥AB，则两两垂直，所以以O为原点分别为x，y，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．又因为AE＝3，∠ABE＝60°，∠AEB＝90°，所以AB＝2，BE＝，则O(0，0，0)，A(0，－，