新高考版2024年高考数学必刷压轴题专题15平面向量选填压轴题教师版

专题15平面对量（选填压轴题）①向量模问题（定值，最值，范围）1．（2024·浙江·永嘉中学高一竞赛）已知点是边长为的正五边形内(含边界)一点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，建立平面直角坐标系，取的中点，则∴圆O的半径则，即，即，即，即，即则∵设，则∵，则又∵，则∴，则即∴，则由此易得，即其最大值是.故选：D.2．（2024·全国·高三专题练习）在平面内，定点满意，，动点P，M满意，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，又由，可得，所以，同理可得，所以为的垂心，所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，因为，解得，所以为边长为的正三角形，如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，因为，可得设，其中，又因为，即为的中点，可得，所以.即的最大值为.故选：B.3．（2024·全国·高三专题练习）设向量，，满意：，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得，，，，又，，设，，，则，，又，，、、、四点共圆，当最大时，有，为该圆的半径，由，所以，在中，由正弦定理可得，当且仅当是的平分线时，取等号，此时的最大值为圆的直径大小为.故选：A．4．（2024·全国·高三专题练习）平面内，定点，，，满意，且，动点，满意，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.又，变形可得，所以，同理可得，，所以是的垂心，所以的外心与垂心重合，所以是正三角形，且是的中心；由，解得，所以的边长为；如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，则，，，，可设，其中，，而，即是的中点，则，，当时，取得最大值为．故选：D．5．（2024·浙江·诸暨市教化探讨中心高二学业考试）已知，，向量满意，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，得：，即有，如图示，设，故不妨设，则，则，设，则，因为，故可得，所以C点在以AB为直径的圆上运动，在中，,AB的中点为，则以AB为直径的圆的方程为，故的最大值为，最小值为，即的取值范围是，故选：B6．（2024·辽宁葫芦岛·高一期末）如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，又因为，所以，所以当时，的最小值为，即的最小值为.故选：B.7．（2024·内蒙古通辽·高二期末（理））已知向量满意.设，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【详解】因为，所以7.又，所以，解得，则向量的夹角为.建立如图所示的直角坐标系，设，因为，所以，即.设，则点在直线上运动..故选：B.8．（2024·贵州·高二学业考试）已知平面对量满意，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，又，不妨设在直线上，又可得，即，则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.故选：D.9．（2024·浙江台州·高一期末）已知是平面内三个非零向量，且，则当与的夹角最小时，（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，因为，所以，即是边长为1的等边三角形，因为，则可以为原点，为坐标轴建立直角坐标系，设，则，，，，则，，则，令，则，令，则，则可得在单调递增，在单调递减，所以在取得最大值，即最大，与的夹角最小，此时.故选：B.10．（2024·江苏·扬中市其次高级中学模拟预料）已知与为单位向量，且⊥，向量满意，则||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【详解】依据题意，设，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴的正方向建立坐标系，则，，设，则，若，则有，则在以为圆心，半径为2的圆上，设为点，则，则有，即，则的取值范围为；故选：D．11．（2024·浙江·高一期中）已知平面对量，，满意，，，，则的最小值为________.【答案】【详解】令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得，，因为，所以，在中，由余弦定理得.又由，得，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆.因为，当且仅当点C、E、F共线，且点C在点E、F之间时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：.12．（2024·全国·高三专题练习）在平面内，定点，，，满意，，动点，满意，，则的最大值为__．【答案】【详解】解：平面内，，，，，，可设，，，，动点，满意，，可设，，，，，，当且仅当时取等号，的最大值为．故答案为：．13．（2024·全国·高三专题练习）已知平面对量，和单位向量，满意，，，当变更时，的最小值为，则的最大值为__________.【答案】【详解】不妨设，，则由题知又，所以整理得①，所以又，所以而将①代入整理得：令，，有最小值，又，当且仅当时等号成立所以，当时有最大值.故答案为：.14．（2024·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，O为外心，若，，则的范围是______．【答案】【详解】因为，而，故，故外接圆半径满意，故，所以，而，故，如图，在单位圆中，设，则，又若，则，故，若，则，故，若，则，故，综上，时，总有，其中，且，因为，故，而，故，所以，故，故答案为：15．（2024·浙江·模拟预料）已知平面对量满意，则的取值范围是__________．【答案】【详解】当时，取明显成立，当时，不妨设，则，∴，即存在，使，当时，，不合题意，当时，存在，使，即适合题意；综上，的取值范围是.故答案为：.16．（2024·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）已知平面对量满意：，，，，，则当取到最小值时，___________.【答案】【详解】依据题意，因为，，，设，，，所以，所以，所以，所以或，即或；当时，因为，所以，所以，当且仅当且时，取到最小值，解得，，，所以，，所以；当时，因为，所以，所以，当且仅当且时，取到最小值，解得，，，所以，，所以；综上所述：.故答案为：.②向量数量积（定值，最值，范围）1．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线与分别切于点则___________.【答案】0【详解】由，得，则，设，，所以，得切线的方程为，即，切线的方程为，即，又两条切线过切点，有、，所以是方程即的两实根，得，又，所以将代入上式，得.故答案为：0，2．（2024·全国·高三专题练习）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为______.【答案】【详解】，因为为边的中点，，故，故求的最大值.设，，则由余弦定理，，，因为，故，即，又，故，即，此时，故，当且仅当时取等号.即的最小值为故答案为：3．（2024·浙江省义乌中学高一期末）已知向量，满意，若以向量为基底，将向量表示成为实数），都有，则的最小值为________【答案】【详解】由题可知，不妨设，,,则点、分别在以原点为圆心，半径分别为和的圆上运动，又为实数），都有，所以当、、三点共线时且此线与半径为2的圆相切时，向量的夹角最大，此时，的最小.此时，在中，由余弦定理可得，,故答案为：.4．（2024·浙江省临安中学模拟预料）已知单位向量，向量，满意，且，其中，当取到最小时，_______．【答案】0【详解】由题意得，故，又，，故，，同理得，故，明显，故，当且仅当时等号成立，此时取到最小值2，，得，得．故答案为：05．（2024·全国·高三专题练习）已知向量满意，若对随意，恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【详解】解析：因为，则，因为，由，由，即，由，则恒成立.由,即则，解得，又所以.故答案为：6．（2024·浙江省杭州学军中学模拟预料）已知平面对量满意，且，，则的取值范围是_____________．【答案】【详解】由题可设，，，，，B、C在以O为圆心半径为的圆上，又，则．因为，记与的夹角为，①当时，，；②当时，由对称性可设，∴，∴，，∴，，∴；综上，结合图像可得，所以．故答案为：．7．（2024·全国·高一）已知△ABC三点在平面直角坐标系xoy所在平面内，点B、C分别在x、y正半轴上滑动，，，，则的最大值为______．【答案】【详解】建立如图的坐标系，,所以四点共圆.,设，则且，,在中，由正弦定理知：,即，,故，其中，时，，故有最大值.故答案为：8．（2024·上海市七宝中学高三期中）设为中边上的中线，且.若，则的最大值为_________【答案】##【详解】①为中点,为中点(由得到)代入①式得又代入得由余弦定理得由结合基本不等式得所以当且仅当取等最大值为故答案为：9．（2024·江苏·辅仁中学高一阶段练习）已知A，B，C，D是平面内四点，且，则的最小值为___________.【答案】【详解】设，，则，，所以，，则，当，时的最小值为.故答案为：10．（2024·福建·厦门一中高一阶段练习）已知三角形ABC，点D为线段AC上一点，BD是的角平分线，为直线BD上一点，满意，，，则_____________.【答案】6【详解】由为方向上的单位向量，易知：是外角的角平分线，又BD是的角平分线，即为△的旁心，而，，法一：作于点，则，如下图示，所以，又，所以.法二：不妨设△为等边三角形，即，则，所以，故，而，所以.故答案为：611．（2024·广东·广州市协和中学高一期中）在中，，P为AB边上一点，，则的最小值为______．【答案】【详解】延长AC至点D，使AD=4AC，连接BD，取BD的中点E，连接AE，由于，所以，由三线合一得：，因为，所以，由勾股定理得：，所以△ABD为等边三角形，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立如图所示平面直角坐标系，则，，设（），所以，当时，取得最小值，最小值为.故答案为：12．（2024·上海·华东师范高校附属东昌中学高三阶段练习）已知点P在圆上，已知，，则的最小值为___________.【答案】【详解】由题意，取线段AB的中点，则，，两式分别平方得：①，②，①－②得：，因为圆心到距离为，所以最小值为，又，故最小值为：.故答案为：③向量夹角（定值，最值，范围）1．（2024·上海交大附中高二阶段练习）若平面对量，，满意，，，，则，夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，，，以O为原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，，，，，，三者干脆各自的夹角都为锐角，，，，，，即在上的投影为1，在上的投影为3，，，如图，即，且则，由基本不等式得，，与的夹角为锐角，，由余弦函数可得：与夹角的取值范围是，故选：C.2．（2024·浙江·绍兴市教化教学探讨院高二期末）已知平面对量，满意，且对随意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可设，则由于对随意实数，有，故恒成立，即对随意实数恒成立，故，即，所以向量对应的点位于如图所示的直线外部的阴影区域内（含边界直线），设，，则,故，不妨假设向量对应的点在上部分区域内，则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上，且当时，最大，此时，所以，即最小值为，由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，可以无限趋近于0，故，因此的范围是，当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是，故选：D3．（2024·江西·横峰中学高一期末）在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】连接并延长交于点，则为的中点，因为，则，由重心的性质可得，则，因为，所以，，所以，，所以，，所以，，则为锐角，由余弦定理可得，所以，，因为为锐角三角形，则，即，即，所以，，构造函数，其中，任取、且，则.当时，，，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，，故.故选：C.4．（2024·浙江·镇海中学高二期末）已知平面对量、、满意，则与所成夹角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设与夹角为，与所成夹角为，，所以，，①，②又，③②与③联立可得，④①④联立可得，当且仅当时，取等号，，，则，故与所成夹角的最大值是，故选：A.5．（2024·福建省厦门集美中学高一期中）中，若，，点E满意，直线与直线相交于点D，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在△ABC中，由余弦定理得：设，，因为，所以，即，因为A、B、D三点共线，所以，解得：，所以，即因为AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因为，所以所以故选：A6．（2024·全国·高二期末）已知.在时取得最小值，问当时，向量与夹角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】设向量与的夹角为，则，,则，因为，所以当时，在时取得最小值，又因为，所以，故，又，所以，所以与的夹角的取值范围是，故选：C.7．（2024·全国·高一课时练习）中，若，，点满意，直线与直线相交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系，因为，，所以，，，设，因为、、三点共线，所以，，，因为，、、三点共线，所以，联立，解得，，，因为，，所以，，因为，所以，故选：A.8．（2024·上海·华师大二附中高一期中）已知向量的夹角为，，向量，且，则向量夹角的余弦值的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意可得，，则，，，则，所以，，令，则，令，由得，则，所以，故所以，当时，有最小值.故选：A.9．（2024·全国·高三专题练习）在中，，点在边上，且，设，则当取最大值时，（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】因为，所以，即，因为，所以，，因为，所以，因为点在边上，且，所以，设，则，在中，由余弦定理得，，所以，即，即，所以，令，得，则，令，解得，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，此时，所以，解得，在中，由正弦定理得，解得，即.故选：B10．（2024·全国·高三专题练习）已知在中，，，动点位于线段上，当取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为在中，，，所以，所以，当且仅当时取等号，因此在中，所以向量与的夹角的余弦值为，故选：C.11．（2024·江苏扬州·高一期末）在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________．【答案】【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，，依题意，，因的最小值为3，则的最小值为2，因此，在中，，，在中，，，所以.故答案为：12．（2024·全国·高三专题练习）已知平面对量满意，若，且，则的最小值为___________.【答案】【详解】如下图所示，设，，，，，，因为，所以，因此点在直线上，又由于，因此是的角平分线，因此点是直线与的角平分线的交点.依据角平分线的性质可.过点作的平行线交于点，则.因此点在以为圆心，半径为2的圆上运动由于，由此当直线相切于时，有最大值，有最小值.设此时切点为，则，，故.综合上述，的最小值为.故答案为：.13．（2024·全国·模拟预料）已知平面对量满意：，当与所成角最大时，则______【答案】【详解】解：记，，，则，即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，所以．下面求当最大时，的值．记圆的半径为，则．所以只需求出圆的半径为即可．法一：如右图，为弦的中点，在中，由余弦定理求得，，则．在中，，，，，由余弦定理得，．即．法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．圆心在弦的中垂线上，设，则，即，化简得，即或（舍去），此时，得．故答案为：.14．（2024·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知的外心为，满意，则的最小值是___________.【答案】【详解】依题意作图，取BC的中点D，连接OD，AD，在中，记，，，因为的外心为O，则，因为，又，所以，同理可得，，由得，，即.在中，由余弦定理得，，又，当且仅当时，等号成立，所以.故答案为：.15．（2024·浙江·高三专题练习）已知平面对量满意，则与所成夹角的取值范围是_______.【答案】【详解】令||＝|2|＝x，向量（）与（2）的夹角为θ∈[0，π]，因为2（）﹣（2），所以（）•（）＝（）•[2（）﹣（2）]＝2||2﹣|||2|cosθ①，若与的夹角为α∈[0，π]，即（）•（）＝||||cosα②，所以由①②知，||cosα＝2||﹣|2|cosθ＝2x﹣xcosθ＝x（2﹣cosθ），所以cosα＞0，即||2cos2α＝4x2﹣4x2cosθ+x2cos2θ，又因为||2＝|2（）﹣（2）|2＝5x2﹣4x2cosθ，所以cos2α，令m＝5﹣4cosθ，即cos2α，m∈[1，9]，有cos2α∈[，1]，又因为cosα＞0，所以cosα∈[，1]，所以α的最大值是．故答案为：．④向量的其它问题1．（2024·江苏南通·高三开学考试）已知锐角满意，且O为的外接圆圆心，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因为,所以.又因为，所以，即有：，即，所以，设，可得，又因为为锐角三角形，所以，所以，设，则有，所以==，所以故选：A.2．（2024·河南驻马店·高一期末）已知D，E分别是边AB，AC上的点，且满意，，，连接AO并延长交BC于F点．若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可得，，因为三点共线，则，所以，同理，三点共线，，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，，所以故选：D.3．（2024·湖南衡阳·高一期末）在中，，，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若，()，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由三点共线，可得存在实数t，使又由三点共线，可得存在实数m，使得则，解之得，则又，()，则，由三点共线，可得则（当且仅当时等号成立）则的最小值为故选：D4．（2024·全国·高三专题练习）已知向量，函数．若对于随意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意得，则，当时，恒成立，所以在上为增函数，不妨设，则，因为，所以等价于，即，令，，所以可知在上为减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，所以在上为减函数，所以，所以，故选：B5．（2024·浙江台州·高二期末）已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】若为线段与边交点，则且，由题设，在的边外侧，如上图中上，令，则，而，所以，当变大时，外接圆半径趋向无穷大，此时可趋向无穷大，综上，的取值范围为.故选：B6．（2024·湖南·永州市第一中学高二阶段练习）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设向量与的夹角为由，可得，即，即关于恒成立则，即故向量在方向上投影故选：A7．（2024·全国·高一期中）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】连接，，三点共线，可设，则，；三点共线，可设，则，；，解得：，，即.故选：B.8．（2024·全国·高一专题练习）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：，∴，∴.设，则，∴.又，∴，∴.故选：B.9．（2024·上海·闵行中学高一阶段练习）向量集合，对于随意，，以及随意，都有，则称为“类集”，现有四个命题：①若为“类集”，则集合（为实常数）也是“类集”；②若、都是“类集”，则集合也是“类集”；③若、都是“类集”，则也是“类集”；④若、都是“类集”，且交集非空，则也是“类集”．其中正确的命题有（

）A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】D【详解】①若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，对于集合（为实常数），可得对于随意，以及随意都有，故正确；②若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，可得对于随意，以及随意，都有，故正确；③若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，设，为中元素的合并而得，且不重复，不符合“类集”的定义，故错误；④若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，若为“类集”，则对于随意，，以及随意，都有，设，为中元素的公共部分，且不为空集，符合“类集”的定义，故正确；故选：D.10．（2024·全国·高三专题练习）设点M、N分别是不等边的重心与外心，已知、，且．则动点C的轨迹E______；【答案】【详解】设点，则的重心，∵是不等边三角形，∴，再设的外心，∵已知，∴MN∥AB，∴，∵点N是的外心，∴，即，化简整理得轨迹E的方程是.∴动点C的轨