高中数学：6-7平面向量加、减运算的坐标表示（学案）

第07讲平面向量的加、减运算的坐标表示

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课程标准课标解读

1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，

会根据平面向量的坐标判断向量是否共

通过本节课的学习，要求会利用坐标来表示平面向量的

线.

力口、减运算.

2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向

量的加法减法.

趣知识精讲

知识点

平面向量运算的坐标运算

运算坐标表示

已知a=(xi>yi),b=(%2>V2)>则a+b=(为+及，yi+y2)，a-b=(xi-%2)

和(差)

yi-y2).

【微点拨】进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系.

【即学即练1】已知向量。=(3,2),6=(0,T),则向量4+匕=()

A.(3,1)B.(3,3)C.(0,-2)D.(2,2)

【答案】A

【分析】

根据向量的坐标运算法则求解.

【详解】

因为向量。=(3,2),b=(O,-l),

所以a+b=(3,l)

故选：A.

UIIU

【即学即练2】已知A8=(3,l),AC=(T-3),则BC=()

A.(-7,Y)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)

【答案】A

【分析】

由向量减法法则计算.

【详解】

BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4)

故选：A.

1UU

【即学即练3］若q=(3,0),e2=(0,-1),a=et-e2,b=(x-l,y),且0=b,则实数x,y

的值分别是()

A.x=l,y=4B.x=2,y=-i

C.x=4,y=lD.x=-l,y=2

【答案】c

【分析】

先利用向量减法的坐标运算计算£=(3,1),再利用£=人即得解

【详解】

由题意，a=el—e2=(3,1),又a=b

jx-1=3k=4

［y=i-l.y=i

故选：c

【即学即练4］若A8=(l,l),/ID=(O,l),BC+CD=(a,b),则a+6=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】

根据向量的加减运算求解.

【详解】

,/BC+CD=BD

BD=AD-AB=(-l,0)

a+b=-\

故选：A.

【即学即练5】已知。A=3i点8的坐标为(1,3),OC是AB的相等向量，则点C的坐标

为_.

【答案】(—2,4)

【分析】

由题设，易知。4。3的坐标，根据向量线性运算的坐标表示及向量相等求OC，即可写出C

的坐标.

【详解】

由题意，得：。4=(3,—1),08=(1,3),

0C=48=。8-。4=(1,3)-(3,-1)=(-2,4).

故答案为：(-2,4).

【即学即练6]设向量。=(2,1),6=(-3,2),c=(TJ),若4,b.C可组成一个三角形,

则t=.

【答案】3

【分析】

根据”力,c可组成一个三角形即可得出a+b-c=0,然后即可求出f的值.

【详解】

解：因为“=(2,1),人=(-3,2),c=(-l,r),\\,a,h，d可组成一个三角形

a+Z?-c=(0,3-f)=(0,0),

Z=3.

故答案为：3.

【即学即练7】已知向量的坐标分别是(一1.2)、(3,-5＞求五+E，的坐标.

【答案】万+B=(2,-3)，d—b=(-4,7]

【解析】

由向量加法和减法的坐标运算可求得结果.

【详解】

1•,a=(-b=(1—5),=1«2)+(1-5)=(2i-3),

a-b«(一12)—(3.-5)=(-4.7],

【点睛】

本题考查向量加法与减法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

【即学即练8]设d=a-7)，:=6”，若d+5=W，求实数X，y的值.

X=1

【答案】

y=12

【解析】

【分析】

x+2=3

利用向量坐标的线性运算:可用1-u'求解阵

y-7=5

【详解】

由题设，(2,-7)+(x.y)=(3.5)

x+2=3X=1

r，解得4

(y-7=5y=12

Q能力拓展

考法01

在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的

直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相

应坐标的和与差

己知A(xi，yi)>B(X2，>2)，则AB=(X2-X1，y2-yi).

已知a=(xi,yi),b=(X2>”).则a+5=(x\+x2>yi+y2)，a-b=(xi-X2,yi-”)

r典例1】如图,在aABCD中,AC为一条对角线，若而-(2»峪无-S3)，则丽=-

【答案】(-3,-5)

【解析】

根据已知肚=n_而，可得正=前坐标，再由丽=前+'而，即可求解.

【详解】

BC=AC-AB-(1.3)-(2.4)-(T-1),

BD=BC^CD=BC-AB=(-t-U-(2,4)=(-3.-SY

故答案为：(T.-S)

【点睛】

本题考查向量的线性关系、向量的坐标运算，属于基础题.

【典例2】在平面直角坐标系中，ATBC的三个顶点是43,2),8(-3」)，ClI,1),。是

BC的中点，求而的坐标.

【答案】(-4,-2)

【解析】

【分析】

根据中点坐标公式求出点。的坐标，从而可求出向量后的坐标.

【详解】

因为B(-34)，所以D(1«0)，

又因为A(3,2),所以而=(-L0)-(3t2)=(T.-2)

故答案为：（一4,—2）.

【典例3】已知作用在原点的三个力M=（1.2），耳—（一23），可一（一1.一4＞求它们的合

力的坐标.

【答案】（-2J）

【解析】

【分析】

根据向量的几何意义和力的合成，只需将三个力的坐标相加，即可得到它们的合力.

【详解】

解：根据力的合成的意义，可知

?=K+K+^=（U）+（-I3）+（-L-4）=（-Xl）

故合力的坐标为（一2,1）.

【典例4】已知长方形ABCZ）的长为4,宽为3,建立如图所示的平面直角坐标系，：是x轴

上的单位向量,,是），轴上的单位向量，试求而和丽的坐标.

【答案】（4«3），（-4J）

【解析】

【分析】

由题得前=41+的，即得而的坐标.再根据丽=BA+AD=—南+后求丽的坐标.

【详解】

由题图知，C81X轴，CD1y轴.

•AB=4-4D=3-.-Sc=4t+3r

二而=（4,3）-

-BD=BA+AD--AB+AD-

-'-BD=-4i+3j，，而=（-4,3）-

【点睛】

本题主要考查平面向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量坐标的求法，意在考查学

生对这些知识的理解掌握水平.

M分层提分

题组A基础过关练

1.已知，・、/分别是方向与X轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，0为坐标原点，设

OA=(x2+x+l)/-(x2-x+l)j(xeR),则点A位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】

由向量的正交分解可得A点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.

【详解】

由题意得：A,+x+L-V+x-l)

,x2+x+l>0,-x2+x-l<0，A位于第四象限

故选：D.

2.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC等于()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

【答案】A

【分析】

首先设C(x,y),根据AC=OC—OA=(Y,—3)得到C(T—2),再求BC的坐标即可.

【详解】

设C(x,力，则AC=OC-QA=(x,)，)—(0,1)=(x,y-1)=(T,—3)

所以x=Y,y=-2,即C(-4,-2).

ULW

所以8c=(-7,T).

故选：A

3.已知平行四边形ABC。的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4),则向量

8。的坐标是()

A.(2,2)B.(3,-1)C.(-3,1)D.(4,2)

【答案】B

【分析】

由题设知OA=(-2,1),OB=(-1,3),OC=(3,4),由向量的线性关系知BA=OA-OB、

AD=BC=OC-OB>BD=BA+AD>应用线性运算的坐标表示，即可求而的坐标.

【详解】

，平行四边形A88的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2」),(-1,3),(3,4),

OA=(-2,1),。8=(-1,3),OC=(3,4),

8A=OA-OB=(-2,l)-(T,3)=(-l,-2),AD=BC=OC-OB=(3.4)-(-1,3)=(4,1).

8O=8A+AO=(-1,-2)+(4,1)=(3,-1).

故选：B.

4.已知a-gb=(l,2),“+b=(4,-10),贝la等于()

A.(—2,—2)B.(2,2)C.(—2,2)D.(2,—2)

【答案】D

【分析】

根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.

【详解】

因为〃一；6=(1,2),所以2。-6=(2,4),而a+Z>=(4,-10),

所以有2a-h+a+〃=(4,-10)+(2,4)=(6,-6)=>3a=(6,-6)=>a=(2,-2),

故选：D

5.在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80o,sin8()o),3(cos20o,sin20。)，则।的值是()

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】D

【分析】

由坐标知AB=(cos20°-cos80°,sin20°-sin80°)，利用模长公式求得模长，结合三角函数两

角差的余弦公式求得结果.

【详解】

由A,B坐标知,AB=(cos200-cos80°,sin20°-sin80°)，

则AB=7(cos200-cos800)2+(sin200-sin800)2

=>/cos2200+COS2800-2cos20°cos800+sin2200+sin2800-2sin20°sin80"

=72-2COS(20°-80°)=1

故选：D

6.若向量8A=(2,3),AC=(-4,-7),贝()

A.(-2,-4)B.(2,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

【答案】A

【分析】

由向量加法的坐标运算计算.

【详解】

=+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

故选：A.

7.已知点A(2,3),B(—2,6),C(6,6),D(10,3),则以4、B、C、。为顶点的凸四边形

是()

A.梯形B.平行四边形

C.菱形D.不能构成平行四边形

【答案】B

【分析】

由向量的坐标公式和向量共线定理即可得出结果.

【详解】

AB=(-4,3),BC=(8,0),C£>=(4,—3),。4=(一8，0),A

AB=DC,BC=AD,|AB旧BC卜，.•.四边形ABCD为平行四边形.

故选：B

8.在平行四边形ABCQ中，A(l,2),8(3,5),4。=(一1,2),则4C+BQ=()

A.(-2,4)B.(4,6)

C.(-6,-2)D.(-1,9)

【答案】A

【分析】

利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.

【详解】

在平行四边形A8C力中，因为4(1,2),8(3,5),所以AB=(2,3).又AO=(-1,2),所以

AC=AB+AD=(\,5),BD=AD-AB=(-3-1),所以AC+8O=(-2,4).

故选:A.

9.在一ABC中，AC=(2,3),BA+BC=(-2,3),则,8卜()

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】

uiai

可得84—8C=C4=(—2,-3),即可求出A8=(2,0),得出模.

【详解】

AC=(2,3),.-.BA-BC=C4=(-2,-3),

a4+BC=(-2,3),

.■-2BA=(-2,-3)+(-2,3)=(-4,0),

UL11

.-.BA=(-2,0),即AB=(2,0),

.•.网=,22+()2=2.

故选：A.

10,已知向量a=(租,2),U(l,-2),若a+6=0,则实数川的值为()

A.-4B.4C.-1D.1

【答案】C

【分析】

可求出。+5=(加+1,0),从而可得出机+1=0,解出加的值即可.

【详解】

由题意，向量。=(加,2),b=(1,-2),所以a+6=(优+1,0)=(0,0),

可得〃2+5=0,解得/n=-l.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标表示及运算,其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算法则是

解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于容易题.

11.已知M(3,-2),N(5,-l),若NP=MN,则尸点的坐标为()

A.(3,2)B.(3,-I)C.(7,0)D.(1,0)

【答案】C

【分析】

设点尸的坐标为(x,y),根据NP=MN，列出方程组，即可求解.

【详解】

设点尸的坐标为(x,y),则NP=(x-5,y+l),MN=(5-3,-l+2)=(2,l),

因为NP=MN，即(x—5,y+l)=(2,l),

Y—5=2f丫-7

{y+E'解得|)二。’所以「(ZD

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记平面向量

的坐标表示及运算是解答的关键，着重考查运算能力.

12.若向量AB=(2,0),40=(1,1),Z)C=(2,1),则8C=()

A.(-1,-2)B.(1,0)C.(1,2)D.(2,1)

【答案】C

【分析】

根据向量的加减运算可得BC=AC_AB=AD+DC_A5,代入点的坐标可得结果.

【详解】

由题，BC=AC-ABAD+DC-AB=+(2,1)-(2,0)=(1,2)

故选C

【点睛】本题考查了向量的坐标运算，熟悉向量的加减法是解题的关键，属于基础题.

13.已知AABC中，AB=(2,8),4c=(-3,4),若BM=MC，则AM的坐标为()

A.(—,6)B.(—,2)C.(-1,12)D.(5,4)

22

【答案】A

【分析】

根据AB=(2,8),AC=(-3,4),可得BC;由=MC可得M为BC中点，即可求得的

坐标，进而利用=即可求解.

【详解】

因为AB=(2,8),AC=(-3,4)

所以BC=AC-4B=(-5,-4)

因为即M为BC中点

所以8c=

所以AM=AB+8M=(2,8)+(-g,-2)=(-；,6)

所以选A

【点睛】

本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题.

14.己知点41,2),仇4,0)4(8,6),。(5,8),则四边形4%£＞是()

A.梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

【答案】B

【详解】

由已知得AB=(3,-2),BC=(4,6),=(-3,2),

所以AB=DC,\AB\^\BC|，且AB.BC=0.

即A8_L8C,所以四边形A8CO是矩形.

15.设A、A2、A；、A&、4是平面上给定的5个不同点，则使也%+M&+MAy+MA4+MA5=0

成立的点M的个数为()

A.0个B.1个C.5个D.10个

【答案】B

【分析】

根据题意设出点M及5个已知点的坐标，把M的坐标用已知5个点的坐标表示出，进而判

断解的个数即可得解.

【详解】

建立适当的直角坐标系，设M(x，y),A、&、4、A,、4的坐标依次为

(西，y),(々，%)，(W，%)，(匕，乂)，(%，为)，

则

M4,=(5=(x2-x,y2-y),MA：i^(xi-x,y3-y),MAi^(x4-x,y4-y),

M&=(%-x,%-y)，

因MA,+MA2+MA3+MAA+M4s=0,

贝ij(丹-x,y-y)+(x2-x,y2-y)+(%3-x,y3-y)+(%4一x,y,-y)+(x5-x,%-y)=(0,0),

于是有(为+%+W+匕+%-5x,y+必+丫3+%+%-5y)=(0,0),

即Xi+/+/+z+/-5x=0,且y+%+为+为+%—5y=0,

所以x=心士产口,且yj+yy+…,只有一组解，

所以符合条件的点M只有一个.

故选：B

题组B能力提升练

1.(多选题)在平面直角坐标系中，以0(0,0),A(u),B(3,o)为顶点构造平行四边形，

下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()

A.(-3,1)B.(4,1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【答案】BCD

【分析】

依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答

案.

【详解】

解：设第四个顶点为C.

对于A选项，当点C的坐标为(-3,1)时，|OC|=J而，\AB\=45,|AC|=4,

IOB1=3.V|OCk|AB|,14c国。例，.♦.四边形ABOC不是平行四边形.A不正确；

对于B选项，当C点坐标为(4,1)时，因为。4=BC=(1,1),即。4//3C且OA=3C,

故OBCA是平行四边形，B正确；

对于C选项，当C点坐标为(-2,1)时，因为OC==(-2,1),即OCHBA且OC=BA,故OBAC

是平行四边形，C正确；

对于D选项，当C点坐标为(2,-1)时，因为OC=AB=(2,—1),即OC//AB且OC=AB,故OCBA

是平行四边形，D正确；

故选：BCD.

2.(多选题)下列各式不正确的是()

A.若a=(-2,4),b=(3,4),则a_/?=(l,0)

B.若。=(5,2),%=(2,4),则6-a=(-3,2)

C.若“=（1,0）,匕=（0,1）,贝丘+6=（0,1）

D.若a=h=(1,—2),则a+/?=(2,l)

【答案】ACD

【分析】

由向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案.

【详解】

对于A,若a=(-2,4),/>=(3,4),则“一。=(一5,0),错误;

对于B,若a=(5,2),6=(2,4),则6-q=(-3,2),正确;

对于C,若“=(1,0),£>=(0,1),则a+b=(l,l),错误；

对于D,若，(1,1),4=(1,-2),则a+b=(2,-l),错误.

故选：ACD.

3.(多选题)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是43,7),3(4,6),C(l,-2).则第四个顶

点的坐标为()

A.(0,-1)B.(6,15)C.(2,-3)D.(2,3)

【答案】ABC

【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是43,7),B(4,6),C(l,-2),Z)(x,y),分类讨论。点在平行四边形

的位置有：AD=BC，AD=CB，AB=CD，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】

第四个顶点为。。，历，

当A£)=BC时，(x-3,y-7)=(-3,-8),

解得x=0,y=-l,此时第四个顶点的坐标为(0,-1)；

当AO=C8时，(x-3,y-7)=(3,8),

解得x=6,y=15,此时第四个顶点的坐标为(6,15)；

当AB=C。时，(1,-1)=(x-l,y+2),

解得x=2,y=-3,此时第四个项点的坐标为(2,-3).

...第四个顶点的坐标为(。，-1)或(6,15)或(2,-3).

故选:ABC.

【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

4.设向量满足a=(1,-1),出|=|。且b与a的方向相反，则。的坐标为.

【答案】(-1,1)

【分析】

根据给定条件可得b是a的相反向量，由此即可求得〃坐标.

【详解】

因向量a与方的方向相反，且|6|="|,则(是I的相反向量,

所以b=-a==(—1,1).

答案：(T，D

C培优拔尖练

1.已知边长为2的正三角形4JC，顶点4在坐标原点，边在X轴上，C在第一象限，D

为4c的中点，分别求向量丽AC.BC,丽的坐标.

【答案】而・(2.0)；4C-(1,V3);BD-(-1，Y)

【解析】

【分析】

根据给定条件求出正△ABC各顶点坐标，再利用坐标表示向量即可得解.

【详解】

由所给图形，正A4BC的边长为2，则顶点*0,01,8(2.01线段4C中点D(；,9：，

所以而一(2.0)，4C-(1.V5>SC-(1-2.V3-O)-(-1.V3]'

BD-g-邛一0)

2.设A,B,C,。为平面内的四点，己知A(3,1),8(-22)，且前一

(1)若C点坐标为(一1«),求。点坐标；

(2)原点为。，OP-AB'求P点坐标.

【答案】⑴D(-65]

⑵*5.1)

【解析】

【分析】

应用已知坐标表示出血，再设D(x,y)、P(a.b)>结合题设写出而、词的坐标，最后根据向

量相等求参数值，即可写出。、P坐标；

(1)

由题设，丽=(-5,1)，若D(x«y)，则而=(x+Ly-4)，

[x+l=-5[x=-6

•••(_5.1)=(X+l.y-4)，即1y_4=]，可得jy=5，

(2)

若P(a.b)，则丽=又丽=而，

[a=-5

•'•(5,1)=(a,b)»即，

3.在直角坐标系中，O为原点，4(-3.T),8(5,-12)，且。、A、B是一个平行四边形的三个

顶点，求第四个顶点坐标.

【答案】(&-8)、(2-16)、(-8.8)

【解析】

【分析】

分情况讨论，根据向量相等即可求解.

【详解】

设第四个顶点C(x.y)，若OABC为平行四边形，

则而■前，即(3,4)=(x-5j+12)，

即OU解喏二％此时C(8T)

若04CE为平行四边形，

贝以0■CB，即(3,4)=(5—工—12y)»

即解得卜工"此时血-⑹

若0&W为平行四边形，

则C0=AB,即('—x.—y)=(8,—8),此时C(-8.8)

故第四个顶点坐标为(8,—8)、(2,-16)、(-&8).

4.在/MBC中Q是8c边的中点，己知A(L1).而=(-L-31CD=(3>5)，求C点的坐标・

【答案