高中数学-向量数量积的物理背景与定义教学设计学情分析教材分析课后反思

《向量数量积的物理背景与定义》课标分析

课程标准对于本节课的要求是：“通过物理中“功”等实例，理

解平面向量的数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与

向量投影的关系，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判

断两个向量的垂直关系。”

本节课的教学正是紧紧围绕着课程标准的各项要求来进行的。首

先本节课的学习目标与课标相符合的。

再次，本节课的知识生成过程始终体现类比思想，教师引导学生

自主类比学习，获得新知，发挥学生的主观能动性，凸显课堂的主体

地位。

在本节课例题和练习的处理过程中，充分体现了数形结合、分类

讨论的思想。在研究数量积运算结果是一个数的过程中即有类比功进

行分析的方法，也有分类讨论的方法，还有借助余弦函数图像数形结

合的方法。练习中更是应用了数形结合使得具体直观，易于解题。这

样教师就给学生起了很好的示范作用，使学生在今后的做题过程逐步

积累有效解决问题的方法思想，增强数学素养。

《向量数量积的物理背景与定义》教材分析

《高中课程标准实验教科书数学必修4（人教B）》第二章第

3节《平面向量的数量积》教材共安排两课时，其中第一课时主

要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本

节课是第一课时。

本节课是继学生学习了向量的概念、向量的线性运算之后，

探究两个向量的一种新的运算.教材先以力做功为背景引入向量

的数量积的概念，然后探索向量的数量积的概念及性质。

本节课的重点和难点：

重点：向量数量积的定义及性质

难点：对向量数量积定义及性质的理解和应用

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算,

也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分

广泛。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的计算抽象出平

面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质，使学生体

会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能

力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和

运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，

既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广

泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念

成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

在力做功的计算中，涉及到位移与力的夹角和力在位移方向

上的分力的概念，为此先给出了两个向量的夹角和向量在轴上的

正射影的概念。学生可以根据在物理中的研究类比、概括出两个

向量的夹角和向量在轴上的正射影的概念。

为了巩固落实，在教材例1、例2的基础上各增加了一问，

加深学生对概念的理解；对性质的探究也通过练习的形式进行，

既让学生理解了性质，也训练了学生的推理论证能力。

第二课时打算在第一课时的基础上，先处理第一课时给学生

留下的作业练习，然后引导学生探究数量积的运算律和坐标运算

公式，而使向量数量积的运算代数化。

《向量数量积的物理背景与定义》学情分析

学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和向量的线

性运算等知识，对向量的物理背景也有了一定的了解，如：力、

位移、力的合成与分解、力做功的有关知识。经历半年多的高中

数学学习，学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物

理背景及生活背景中抽象出数学概念。

本节课的重点是向量数量积的定义及性质，难点是对向量数

量积定义及性质的理解和应用。

考虑到高中生回答问题不如小学和初中生踊跃，所以课堂提

问时一般采取教师直接点名让学生回答。简单问题让学生齐答，

需要强调的问题就个别提问学生。

《向量数量积的物理背景与定义》教学设计

洪楼高中

【教材分析】：

《高中课程标准实验教科书数学必修4（人教B）》第二章

第3节《平面向量的数量积》教材共安排两课时，其中第一课时

主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，

本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的计算抽象出平

面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质，使学生体

会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能

力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和

运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，

既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广

泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念

成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

【学情分析】：

学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和向量的线

性运算等知识，对向量的物理背景也有了一定的了解，如：力、

位移、力的合成与分解、力做功的有关知识。经历半年多的高中

数学学习，学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物

理背景及生活背景中抽象出数学概念。

二、【设计思想】：

问题是教学的核心，本节课的设计把“问题”贯穿在课堂的始终。

主要做法如下：

（1）采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活

动层层深入，站在学生思维的最近发展区上启发诱导。

（2）恰当的利用多媒体课件，通过学生熟悉的实际生活问题引

入课题，拉近数学与现实的距离，激发学生的问题意识和求知欲，调

动学生主体参与的积极性。

（3）在整个数学教学过程中，既要体现学生的主体地位，更要

强调教师的主导地位，在科学讲授的同时培养学生清晰的思维和严谨

的推理。

在学法上注重以下几点：

（1）学生类比功的推导过程，概括总结，体验数学概念“向量

在轴上的正摄影”、“两个向量的夹角”、“向量的数量积”的生成过程；

（2）在对概念及数量积的性质进行探究时，要有严密清晰的思

维和严谨的推理论证。

三、【教学目标的设计】：

1.知识与技能：通过物理中“功”等实例，理解平面向量的数

量积的含义及其物理意义，知道平面向量的数量积与向量投影的关系,

能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直

关系。

2.过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，

从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析,

运用几何直观引导学生类比学习数学概念，体会数学知识抽象性、概

括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣。

3.情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，使

学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会类比思想，

数形结合思想，分类讨论思想，体验探究学习的过程，培养学生学习

数学的兴趣及良好的学习习惯。

四、【教学准备】

1.教师准备:根据大纲要求以及学生的实际情况先自己备课，再

与组内老师交流，形成学案；制作课件。

2.学生准备：复习力做功的计算公式的推导过程，预习课本知

识。

五、【本节课的重点和难点】：

重点：向量数量积的定义及性质

难点：对向量数量积定义及性质的理解和应用

六、【教学方法】

本节课主要采取教师主导，学生自主探究的学习方法，并结合多

媒体直观演示，类比分析、数形结合等多种教学手段进行教学。这样

不仅可以调动学生的积极性。同时也可以使整个课堂活跃起来。

七、【学生的学习方法】

教是为了让学生更好地学。学生是课堂的主体。我主要指导学生

采用小组讨论、类比分析和归纳概括等多种学习方法，真正做到把课

堂还给学生。

八、【教学过程】

（一）复习导入，回顾旧知

（教师提出问题，学生思考并回答）

问题1:前面我们学习了向量的哪些运算？它们的运算结果是什

么？它们与物理学中哪些矢量的运算有联系？

问题2:对两个向量还可以做怎样的运算？

［设计意图］:温故知新，新知识与旧知识的区别是什么？引起学

生的学习兴趣

（二）创设情境，提出问题

思考1：为了使初速度相同的物体沿光滑水平面继续前进位移s,

分别给物体施加三个大小相同的力，请问那组会最先到达终点？

［设计意图］:让学生进一步感受到数学来源于生活，与生活密切

相关，并能使学生直观感受力对物体做功产生的不同效果，引出“功”

的概念，从而类比学习的模型。

（三）类比学习，建构知识

1、环节一

教师提出问题，小组讨论

思考2：物体在与水平方向成。角的力厂的作用下，沿光滑水

平面前进了位移s,如何求拉力/对物体做的功？

然后教师根据小组讨论结果进行归纳总结如下：

求力对物体做的功必须要把力分解到位移方向上，力在位移方向

上的分力，也叫做力在位移方向上的射影。

问题3：我们能否类比得到向量在一个方向上的分量？

［教师处理方式］让学生作图，尝试将向量:分解到轴/方向上

师生根据学生描述的作图过程概括归纳出概念：向量在轴上的正

射影及正射影的数量。

［设计意图］:引导学生通过类比学习，概括归纳出数学概念，体

验经历数学概念的生成过程。

2、环节二

问题4：在功的表达式中，。的取值范围是什么？戊的意义是

什么？

问题5：根据物理上力与位移夹角，我们能否类比得到两个向量

的夹角？

［教师处理方式］让学生作图，尝试作出两个非零不共线的夹角

师生根据学生描述的作图过程概括归纳出概念：两个向量的夹角。

教师引导学生关注并理解定义中需要强调的地方。

［设计意图］:引导学生通过类比学习，概括归纳出数学概念，体

验经历数学概念的生成过程。

3、环节三

类比生成数量积概念

［教师处理方式］让学生书写数量积的表达式，加深印象。教师强

调书写规范，强调需要注意的地方。

问题6：（小组讨论）两非零向量的数量积是一个实数，那么它

什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？

［教师处理方式］通过学生的讨论总结如下：方法一，类比功（正

功、负功、零功）；方法二：对两个向量的夹角分类讨论（学生容易

忽略同向和反向两种情况）；方法三：借助余弦函数图像

［设计意图］:学生通过讨论探究，加深对概念的理解，同时一，为

后面数量积的应用做好铺垫。

4、环节四

问题7：。%=回降。5<£石>，划线部分有什么意义？

问题8：想一想，还有没有其他说法？

［设计意图］:通过引导，学生得到数量积的几何意义的不同表述

(四)应用举例，巩固提IWJ

例L已知轴/

(1)向量|°$=5,<次，/>=60。，求》在/上的正射影的数量0%,

(2)向量OB=5,<OB,/>=120°,求而在/上的正射影的数量OB”

(3)已知向量G,b,向量|a|=4,|b|=6,<a,b>=60。，求向量M

在向量B上的正射影的数量.

例2：(1)已知|。|=5,|B|=4,a与1的夹角0=120。，求。

(2)已知|加|=5,々在B方向上的正射影的数量为-6,求1•b

［设计意图］:及时巩固所学知识，在教材例1、例2的基础上

分别各增加一问，进一步强化学生对概念的理解

课堂练习1在等边三角形ABC中，求(1)〈而，/>(2)〈荏，就〉

［设计意图］：及时巩固所学知识，对学生易出错的地方进行训练。

师生共同总结：在寻找向量夹角时一定要通过平移变成共起点。

课堂练习2在平行四边形ABCD中，已知|Q|=4,|诟卜3,

NZM8=60°,

求(1)通•旅(2)AB•CD(3)AB•DA

［设计意图］:及时巩固所学知识，对学生易出错的地方进行训练。

师生共同总结：进行向量数量积计算时，既要考虑向量的模,又要根据

两个向量方向确定其夹角。

课堂练习3在三角形ABC中，AB.BCX),判断三角形形状。

［设计意图］:数量积的应用，针对学生出现的错误，师生共同总

结：借助数形结合更直观。

课堂练习4设心B为两个非零向量，2是与B同向的单位向量，

向量"与向量2和夹角为。，贝！J：

—*—*——*I—►

(l}a-e=e-a=\acos6>(2)证明：aA.b^a-b=O

J—>—>—♦—*

(4)COS6=*|(5)证明：a-b工a-b

［教师处理方式］:教师让学生解答并讨论，通过投影仪展示学生

的解答并由学生讲解。教师适当纠正，并强调性质(2)(3)(4)的

重要应用。

［设计意图］:以练习的形式，学生探究出数量积的性质，加深对

性质的理解。

(五)课堂小结，巩固提升

［教师处理方式］:先让学生说，教师课件展示表格总结。

［设计意图］:通过表格类比功的计算进行总结，既体现本节课的

知识内容，也凸显本节课的类比学习方法。

(六)启迪生活，回扣引例

学习中，很多同学觉得自己很努力，但是成绩仍然没有提高，或

者提高很小。我觉得，同学们应该反思自己的努力方向与期望的目标

方向是否一致。只有当努力的方向与目标的方向是同向时，我们才能

在最短的时间内获得成功。从这个角度看，我们可以说“成功=努力•正

确的目标”成功等于努力与正确目标的数量积!

［设计意图］:启发学生感悟生活，使学生体会数学来源于生活,

服务于生活。

（七）布置作业

P115习题2-3A组1、2、3题

P109练习B组1、2

《向量数量积的物理背景与定义》测评练习

1、若IZI=8,|知=4,「与9的夹角9=60°贝!J"*b=.

2、若〉・B=-25,|a||h|=25,贝卜〉・b>=

3、若|1|=5,|对=3,Z-b=12,贝加在「方向上的射影数量为一

_____271_

4.若a,b=-9,|a|=3,<a•b>=—,贝！JIBI=

o

5.如图，在等腰Rtaze。中/4=90°,40=1,则油•Bt=.

c

《向量数量积的物理背景与定义》效果分析\、\

J------j—

通过本节课的学习，绝大多数学生达到了本节课的课标女小：I、

“通过物理中“功”等实例，理解平面向量的数量积的含义及其物理

意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系；3、能运用数量

积表示两个向量的夹角；4、会用数量积判断两个向量的垂直关系。

课堂上师生配合默契，学生听讲认真，效果不错，现在我把本节

课评测练习的批改情况给大家通报并分析一下：

1、若IZI=8,|知=4,［与B的夹角。=60°贝L-b=.

2、若［・1=一25,|Z||b|=25,贝・b>=

3、若|1|=5,|3|=3,：・3=12,贝物在「方向上的射影数量为一

3--।।__2九

4.右a•b=-9,|a|=3,<a•b>=~~-,贝!J|。I=

o

5.如图，在等腰RtaZSC中/力=90°,AB=1,则“

油-Bt=•

A'.

评测练习1——4是对概念直接考察或是简单变形，

学生掌握的非常好，通过率100%,说明学生本节课的学习是非常成

功的。

评测练习5是在平面图形内考察数量积，要求学生既要能找到向

量的模，又要能找准向量的夹角。有五位同学依然没有找对向量的夹

角，说明对课上所作的强调没有引起重视。

《向量数量积的物理背景与定义》观评记录

主讲人：

参评人员：数学组全体教师及教研员王义东老师

优点：(1)教态亲切自然，亲和力强，教师讲课时比较投入，有激情；

声音洪亮，吐词清楚，思路清晰，分析到位。并且师生配合好。

(2)以物体受力做功为背景引入，学生直观感受力对物体做功产

生的不同效果，学生容易接受。

(3)对教材内容进行了重构，调整知识点的学习顺序，教学过程

更加自然、顺畅。

(4)整堂课运用了类比的思想，由“功”类比到“向量的数量积”，

让学生更好的理解概念的内涵和外延，更容易接受新知识,

有利于知识的迁移，并培养学生的创新能力。

(5)每讲完一类例题，教师及时总结这类题的解题步骤及应该注

意的问题，让学生加深了印象。

建议：(1)有些语言的表述不够准确，比如平面向量的数量积的几何

意义，我们可以用语言说成什么？

(2)对于向量数量积的性质，由学生讨论、展示完成