高考数学二轮复习教学案 函数与导数

专题一函数与导数

【知识络构建】

【高频考点突破】

考点一、函数及其表示

函数的三要素：定义域、值域、对应关系.

两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同

的两个函数是同一函数.

1.求函数定义域的类型和相应方法

(1)若己知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，

只需构建并解不等式(组)即可.

(2)对于复合函数求定义域问题，若已知的定义域口，勿，其复合函数y(g(x))的定义

域应由不等式a<g(x)<b解出.

(3)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.

2.求Xg(x))类型的函数值

应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值、图像、解不等式等问题，必须依据条

件准确地找出利用哪一段求解；特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性.

例1、函数/(x)=±+lg(l+x)的定义域是()

A.(—co,—1)B.(1,+oo)C.(—1,1)U(1,+oo)D.(—8,+oo)

考点二、函数的图像

作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、

伸缩变换、对称变换.

例2、函数y=5-2sinx的图像大致是（）

【变式探究】函数y=xln（—x）与y=xhu的图像关于（）

A.直线y=x对称B.x轴对称

C.y轴对称D.原点对称

考点三、函数的性质

1.单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判

定函数的单调性常用定义法、图像法及导数法.对于选择题和填空题，也可用一些命题，如

两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数等.

2.函数的奇偶性反映了函数图像的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可

以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分（一半）区间上，是简化问题的一种途

径.

例3、对于函数«r）=asinx+〃x+c（其中，a,b^R,c^Z）,选取b,c的一组值计

算7（1）和1一1），所得出的正确结果一定不可能是（）

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

考点四二次函数的图像与性质：

（1）二次函数y=af+bx+c（存0）的图像是抛物线

①过定点（0，c）；

②对称轴为尸一刍A顶点坐标为（一刍A^4-CI―C—序）.

（2）当。＞0时，图像开口向上，在（一8,一治］上单调递减，在T，+8）上单调递增,

有最小值甘：

例4、已知函数«1）=/+2办+2,xG［-5,5］.

（1）当。=-1时，求函数_/（x）的最大值和最小值;

（2）求实数〃的取值范围，使y=Ax）在区间［—5,5］上是单调函数.

2

【变式探究】设二次函数./W=or+云+c,如果7UI)=/U2)(XMX2)，则区用+及)=

()

【方法技巧】求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好数形结合，特别是含参数的两

种类型：”定轴动区间，定区间动轴”的问题，抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和

区间中点，一轴指的是对称轴.

考点五指数函数、对数函数及幕函数

指数函数与对数函数的性质：

对数函数y=logx(a>0且c#l)

指数函数y=a(a>0且a

定义域(—00,+oo)(0,+co)

值域(0,+co)(—00,+co)

不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)

1.对于两个数都为指数或对数的大小比较：如果底数相同，直接应用指数函数或对数

函数的单调性比较；如果底数与指数(或真数)皆不同，则要增加一个变量进行过渡比较，或

利用换底公式统一底数进行比较.

2.对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对

数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解.

例5、已知函数y=/(x)的周期为2,当［-1,1］时那么函数)，=/(x)的图像与

函数y=|lgx|的图像的交点共有()

A.10个B.9个C.8个D.1个

考点六函数的零点

1.函数的零点与方程根的关系：

函数尸(x)=/(x)—g(x)的零点就是方程兀v)=g(x)的根,即函数y=/(x)的图像与函数y=g(x)

的图像交点的横坐标.

2.零点存在性定理：

如果函数)，=/U)在区间伍，句上的图像是连续不断的一条曲线，且有丸。)次刀<0,那么，

函数y=/U)在区间(a,份内有零点，即存在与使得人。)=0,这个c也就是方程犬用

=0的根.

例6、函数cosx在［0,+8)内()

A.没有零点B.有且仅有一个零点

C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点

【变式探究】在下列区间中，函数_/U)=e'+4x-3的零点所在的区间为()

A.(一(，0)B.(0,1)C.(|)1)D.(|)1)

【方法技巧】函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①数值的确定；②所在区间

的确定；③个数的确定.解决这类问题的常用方法有解方程、根据区间端点函数值的符号数

形结合，尤其是那些方程两边对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.

考点七函数的应用

例7、如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为5)的

垂直方向作匀速移动，速度为v(u＞0),雨速沿E移动

方向的分速度为c(ceR).E移动时单位时间内的淋雨

量包括两部分：

⑴尸或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与“一c|xS成正比，比例系

数端

(2)其他面的淋雨量之和,其值为去记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,

3

面积S=］时，

(1)写出y的表达式；

(2)设0＜咚10,0＜区5,试根据c的不同取值范围，确定移动速度v,使总淋雨量y最少.

考点八利用导数求切线

导数的几何意义：

⑴函数y=〃)在尸的处的导数⑹就是曲线y=/(x)在点(如以0))处的切线的斜率,

即k=f(x°)・

⑵曲线y=/(x)在点(的，,©))处的切线方程为厂/0)=/(^o)U-xo).

(3)导数的物理意义：s")=v(r),

例8、曲线>=/+11在点P(l,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()

A.-9B.-3C.9D.15

【变式探究】已知直线丫=*+2与曲线f(x)=lnx相切，则a的值为

【方法技巧】求曲线y=/U)的切线方程的类型及方法

(1)已知切点P(xo,yo),求切线方程：求出切线的斜率了(xo),由点斜式写出方程；

(2)已知切线的斜率k,求切线方程：设切点尸5),%)，通过方程％=/(沏)解得XO,再

由点斜式写出方程；

(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程:设切点P(xo，yo)，利用导数求得切线斜率了(沏)，

再由斜率公式求得切线斜率.列方程(组)解得刈，再由点斜式或两点式写出方程.

考点九、利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数的关系：在区间(。，份内，如果/(x)>0,那么函数1x)在区间5，

与上单调递增：如果/(x)<0,那么函数,危0在区间3,加上单调递减.

例9、设“>0,讨论函数/(x)=lnx+a(l-a)/一2(1—a)x的单调性.

考点10、利用函数单调性求极值

1.若在xo附近左侧/(x)>0,右侧/(x)<0,则加o)为函数外)的极大值；若在汨)

附近左侧yv)<o,右侧/a)>o,则/°)为函数_/u)的极小值.

2.设函数y=Ax)在［a,句上连续，在(a,分内可导，则述x)在［a,句上必有最大值和最

小值且在极值点或端点处取得.

例10、设兀0=一看3+52+2办.

(1)若7U)在(东+oo)上存在单调递增区间，求“的取值范围；

(2)当0<〃<2时，益)在［1,4］上的最小值为一学求益)在该区间上的最大值.

【方法技巧】

1.利用导数研究函数的极值的一般步骤

(1)确定定义域.

(2)求导数/(x).

(3)①若求极值，则先求方程/(x)=0的根，再检验了(x)在方程根左、右值的符号，

求出极值.(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)

②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程*x)=0根的大小或存在情况，从

而求解.

2.求函数y=/(x)在他，回上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y=/(x)在(a,6)内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值大切比较，其中最大的一个是最大

值，最小的一个是最小值.

考点11定积分

例11、⑴Jd+2x)dx等于()

A.1B.e—1C.eD.e+1

(2)由曲线y=F，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为()

A.-yB.4C.与D.6

【历届高考真题】

1.[2012高考真题重庆理8]设函数/(无)在R上可导，其导函数为:(x),且函数

丁=(1一%)/，(%)的图像如题(8)图所示，则下列结论中一定成立的是

(A)函数/(x)有极大值/(2)和极小值/(I)

(B)函数/(x)有极大值/(一2)和极小值/(I)

(C)函数/(x)有极大值/(2)和极小值/(-2)

(D)函数/(x)有极大值/(一2)和极小值/⑵

2.12012高考真题新课标理12】设点「在曲线丁=36,上,点。在曲线丁=111(2幻上,则归。|

最小值为()

(A)l—ln2(B)V2(l-ln2)(C)l+ln2(D)72(1+In2)

3.【2012高考真题陕西理7］设函数/(x)=xe',则()

A.x=l为/(x)的极大值点B.x=l为/(x)的极小值点

C.x=—1为/(x)的极大值点D.x=—1为/(尤)的极小值点［学

4.【2012高考真题辽宁理12］若XG［0,+。。)，则下列不等式恒成立的是

一21,11

(A)e,,\+x+x(B)―,<1---xH—x2

V1+T24

1,1,

(C)cosx..1——x(D)ln(l+x)..x——x~

28

5.12012高考真题湖北理3】已知二次函数y=f(x)

的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为

A.—5B.-3C.-2D.-2k—-

6.12012高考真题天津理4】函数/。)=2*+/-2在

区间(0,1)内的零点个数是：(A)0(B)1(C)2(D)3

7【2012高考真题全国卷理9】已知x=lmt,y=logs2,z=e■,则

(A)x<y<z(B)z<x<y(C)z<y<x(D)y<z<x

7.12012高考真题陕西理2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

21

A.y=x+lB.y=-x"C.y=—D.y=x\x\

8.12012高考真题重庆理10】设平面点集

A=<(x,y)(y—x)(y—3zo}，8=Hx,y)|(x—l)2+(y-l)24l},则AB所表示的平

面图形的面积为

334

(A)—71(B)—re(C)—71

457

9.【2012高考真题山东理3】设Q>0且则“函数/(幻=优在R上是减函数”，是“函

数g(x)=(2-幻/在R上是增函数，，的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

10.[2012高考真题山东理8]定义在R上的函数/(x)满足f{x+6)=/(x).当一3WX<-1

时，/(x)=—(X+2)2,当一1WX<3时，/(x)=x。则/Q)+购+@+-••(m=

(A)335(B)338(C)1678(D)2012

11.12012高考真题辽宁理11】设函数4c)(xeR)满足|r)=/U),y(x)=/(2-x)，且当xe[0,1]

13

时，70)二炉.又函数g(x)=|xcos(4X)I，则函数/7(x)=ga)；/(x)在[-5,5]上的零点个数为

(A)5(B)6(C)7(D)8

12.12012高考真题浙江理161定义：曲线C上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C到

直线1的距离，已知曲线Ci：y=x?+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4>=2到直线

1:尸x的距离，则实数a=o

13.(2011年高考辽宁卷理科9)设函数f(x)=1‘一’则满足f(x)W2的x的取

1-log2x,x>L

值范围是()

(A)[-1,2](B)[0,2](C)[1,+oo)(D)[0,+oo)

13=4.(2011年高考辽宁卷理科11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xGR,f(x)

>2,则f(x)>2x+4的解集为()

(A)(-1,1)(B)(-1,+00)(C)(-00,-1)(D)(-00,+00)

4

15.(2010辽宁理数)(10)已知点P在曲线y=r—上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，

e+1

则a的取值范围是

(A)[0,y)(B)[f与(彳，耳](D)评，万)

442244

16.(2011年高考湖南卷理科8)设直线X=/与函数/(x)=1,g(x)=Inx的图像分别交于点

M,N,则当|MN|达到最小时的r值为

1V5V2

A.1B.-C.——D.—

222

16.(2011年高考湖北卷理科10)放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，

其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素艳137的衰变过程中，其含量M

(单位：太贝克)与时间t(单位年)满足函数关系：M(f)=Mo23。，其中%为t=0时钠

137的含量，已知t=30时,钠137含量的变化率是一101n2(太贝克/年)，则M(60)=

A.5太贝克B.751n2太贝克C.l501n2太贝克D.150太贝克

17.(2011年高考山东卷理科16)已知函数f(x)=log“x+x-/?(a>0,且awl).当2<a<3

<b<4时，函数f(x)的零点X。e+€N*,则n=.

1gx,x>0

18.(2011年高考陕西卷理科11)设/(x)=《s2’若/V⑴)=1，则。=1

_

x+J03/ar,x<0

1--

19.(2011年高考四川卷理科13)计算(1g——1g25)4-1002=_.

4

20.(2011年高考江苏卷8)在平面直角坐标系xQy中，过坐标原点的一条直线与函数

/(x)=*2的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是

x

三、解答题：

1.(2011年高考浙江卷理科22)(本题满分14分)设函数/(x)=(x—a)21n尤(aeR)(I)

若x=e为y=/(x)的极值点，求实数。(II)求实数a的取值范围，使得对任意xe(0,3e]

恒有/(x)«4e2成立注：e为自然对数的底数

2、(2010北京理数)(18)(本小题共13分)

已知函数/(x)=ln(l+x)-x+(^>0)o

(I)当％=2时，求曲线尸八])?/在点([,/⑴)处的切线方程;

(II)求/>(X)的单调区间。

3、设函数/'(x)=x|x-l|+m,g(x)=lnx

(1)当"z〉l时，求函数y=/(x)在区间［0,"力上的最大值

(2)记函数p(x)=f(x)-g(x),

函数与导数单元训练题

一、选择题

1.下列各组函数中，表示同一函数的是(

B.y=x,y=^

A/"、

cy-J.—1xJx+1j=Jx2-1=

D.y=\xLz（五）

2

2.曲线“与直线产=工-1及工=4所围成的封闭图形的面积为()

A.4—21n2B.2—In2c.4—In2D.21n2

3.设a£R,函数f(x)=ex+a・ef的导函数『(x),且『(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一

3

条切线的斜率是2(3)2,则切点的横坐标为()

ln2ln2

A.-2(ln2)2B.-In2C.2(ln2)2D.In2

4.设0<"<1,函数—则使38<°的取值范围是()

A(-®Joga3)BCoga3,+o>)c(0,2)D(-o»,0)

【答案】A

5.函数/(工)="的部分图象大致是()

y(x)=ki(x+l)--

6.函数K的零点所在的大致区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

7.若定义在正整数有序对集合上的二元函数F满足：①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(%x)③

(户y)f(x,y)=户。，则/'(12,16)的值是()

A.12B.16C.24D.48

2ta,x<l

<

8.设函数f(x)J1-106与，'AL则满足f(X)W2的x的取值范围是()

A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+«))D.[0,+B)

x+4

9设在区间刀也可上,满足：对于任意的"A刃，

存在实数玉>《小，使得八巧)“座双3<gQ)且式与)=；那么在刀=口可上

f8的最大值是（）

3113

A.5B.3c.3D.4

10.下列各式第•退的是()

A3as>3.7B.蝇・』。4>10-0_6

C.0.75^l<0_75aiD.lgl6>lgL4

2«*tx<2,

则/5?泌）值为

1呜(3-D，x>2.

11.设)

A.0B.IC.2D.3

10.若f(a)=(3ni-l)a+b-2m,当mW[0,1]时f(a)《1恒成立，则a+b的最大值为()

1257

A.3B.3c.3D.3

12.已知函数/Xx）是R上的增函数且为奇函数，数列｛&｝是等差数列，&>0,则/13）+f（a,）+

f（&）的值（）

A.恒为正数B.恒为负数C恒为0D.可正可负

二、填空题

13.tog39+325+34+汽'+（—9一8）°=

14.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为220元，每桶水的进价是5元，销售单

价与日均销售量的关系如下表所示：

梢售单价（元）26。7，&29口10。1U1

日均梢售量（桶）♦48W4406400/360d320c2803240^

根据以上数据，这个经营部要使利润最大，销售单价应定为元。

15.己知函数〃■