等比数列的前n项和高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修二册

§3等比数列第一章

复习回顾1.掌握等比数列的前n项和公式及其推导过程．2．会用错位相减法求数列的和．3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理学习目标特别关注:1.对等比数列前n项和公式的考查是本课时的热点．2.本课时常与函数、不等式、方程结合命题．3.多以选择题、填空题的形式考查，同时也有在解答题中考查.新知引入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016--2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.新知学习问题1：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个等比数列的通项公式.

问题2：请将发明者的要求表述成数学问题.S64=1+2+22+23+…+263①2S64=2+22+23+…+263+264②

两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得：S64=264-1=18446744073709551615思考：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨.观察上式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？

知识点一

等比数列前n项和公式及推导

我们不妨把各项都用首项和公比来表示.

新知讲解

注意：q≠1时，关于错位相减法求和(1)适用范围：{an}是等差数列，{bn}是等比数列(q≠1)，形如cn＝anbn的数列适合利用错位相减法求和；(2)求和步骤①对求和式Sn＝c1＋c2＋…＋cn－1＋cn(ⅰ)，要写出倒数第二项cn－1；②式子的两边同乘以等比数列的公比q，写成qSn＝c1q＋c2q＋…＋cn－1q＋cnq(ⅱ)的形式，要空一位书写，(ⅰ)(ⅱ)式形成错位；③(ⅰ)式－(ⅱ)式，左边＝(1－q)Sn，右边考查除了最后一项外的其他项，利用等比数列求和公式求和、整理；④两边同除以1－q，整理得Sn．

通过上面的讲解，对于等比数列的相关量a1、q、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？a1、an、nan、sna1、q、ana1、q、na1、an、snan、q、nan、sn、nn、snq、snq、na1、sna1、q典例剖析

[题后感悟]

(1)与等差数列类似．在等比数列中，利用通项公式和前n项和公式同样可以在五个基本量a1、q、an、Sn、和n中“知三求二”．(2)运用等比数列的前n项和公式时，必须注意公比q是否为1，并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元.

即时训练

解：由{an}是等比数列，且S10＝1＞0，S30＝13＞0，得S20＞0，S40＞0，且1＜S20＜13，S40＞13，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，即1，S20－1，13－S20，S40－13构成等比数列，∴(S20－1)2＝1×(13－S20)，解得S20＝4或S20＝－3(舍去)，∴(13－S20)2＝(S20－1)(S40－13)，即92＝3×(S40－13)，解得S40＝40．随堂小测1.等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，当Sn＝127时，n＝(

)A．8 B．7C．6 D．5B2.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝0，则公比q＝(

)A．－1

B．1C．－2 D．2A3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3，S3＝9，则S4＝(

)A．12 B．－15C．12或－15 D．12或15C4、已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－1求数列{2n·an}的前n项和Tn．解：2nan＝(3n－1)·2n，Tn＝(3－1)×2＋(6－1)×22＋…＋(3n－1)·2n，①2Tn＝(3－1)×22＋(6－1)×23＋…＋(3n－1)·2n＋1，②①－②得，－Tn＝(3－1)×2＋3×22＋3×