陕西省宝鸡市陇县第二高级中学2023-2024学年高一下学期第三次教学质量检测数学试题

陇县第二高级中学2023～2024学年第二学期高一年级第三次教学质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章～第八章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设（，），则（）A.， B.， C.， D.，2.设点是正三角形的中心，则向量，，是（）A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共线向量 D.共起点的向量3.已知向量，，且，，，则（）A.8 B.9 C. D.4.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）A.16 B.12 C. D.5.若直线平面，则下列说法正确的是（）A.仅垂直平面内的一条直线 B.仅垂直平面内与相交的直线C.仅垂直平面内的两条直线 D.与平面内的任意一条直线垂直6.在中，内角，，的对边分别为，，.已知，，，则此三角形（）A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定7.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点处测得塔顶的仰角为45°，然后从点处沿南偏东30°方向前进140米到达点处，在处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔的高度是（）A.70米 B.80米 C.90米 D.100米8.如图所示，在正方体中，，分别为，上的中点，且，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题是假命题的是（）A. B.C.若，则 D.若，则10.已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（）A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，那么D.如果，，那么与所成的角和与所成的角相等11.如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（）A.直线与平面所成的角为定值 B.平面C.三棱锥的体积为定值 D.直线与直线所成的角为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是虚数单位，复数满足，则复数的模为______.13.已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为______.14.一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要______立方米混凝土（钢筋体积略去不计）.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4.（1）求圆锥的母线长；（2）过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值.16.（本小题满分15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求的值；（2）若，求的值.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面.18.（本小题满分17分）如图，在等腰三角形中，，，是线段上的动点（异于端点），.（1）若是边的中点，求的值；（2）当时，请确定点的位置.19.（本小题满分17分）在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，，，，是棱的中点.（1）求证：；（2）求二面角的正切值.

陇县第二高级中学2023～2024学年第二学期高一年级第三次教学质量检测·数学参考答案、提示及评分细则1.A由题意，得，则，.故选A.2.B∵是正的中心，向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，∴到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选B.3.C由，有，，∴.故选C.4.A易知原图形是平行四边形，其底边长2，高为，另一边长为，所以原图形的周长为.5.D若直线平面，则与平面内的任意一条直线都垂直.6.C由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选C.7.A设塔的高度为，在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，，，，根据余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故选A.8.C如图所示，作交于点，作交于点，连接，∵，，，∴平面平面，又∵点是正方形内的动点，∴点在线段上，即轨迹.9.CD，A正确，，B也正确，对于虚数不能比较大小，C错误，当时，，所以D错误.10.BCD对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线，为直线，四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立；B正确，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而；由平面与平面平行的定义知，如果，，那么，C正确；由平行的传递性及线面角的定义知，如果，，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确.故选BCD.11.BCD当分别在或时，显然直线与平面所成角不同，故A错误；平面即为平面，又，平面，平面，所以平面，故B正确；因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；在正方体中，易得平面，又平面，所以，故D正确.故选BCD.12.由，有，可得，有，可得.13.150°由，得，即，因为，，所以，所以，所以向量与的夹角为150°.14.324将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.所以（平方米），所以该预制件的体积（立方米）.故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土.15.解：（1）轴截面的面积为，所以，所以圆锥的母线长；（2）在轴截面中，，，，，的面积，当时，截面面积有最大值，最大值为.16.解：（1）由正弦定理有因为，，可得；（2）由（1）知，，故有.17.解：（1）连接，由于，为，的中点，则，又因为，因此，则四边形为平行四边形，于是，平面，平面，则平面；（2）由于，则为中点，因此，又因为平面，平面，则平面，由（1）知，平面，平面，则平面，由于，，平面，则平面平面.18.解：（1）由题意知，由于是边的中点，因此，因此；（2）不妨设，，因此，，解出，故是线段靠近处的四等分点.19.（1）证明：取的中点，连接，如图所示.因为是等边三角形，是的中点，所以.因为是的中点，是棱的中点，所以.