专题23 图形的相似 上海市中考数学一轮复习专题特训

专题23图形的相似上海市2023年中考数学一轮复习专题特训一、单选题1．（2022·宝山模拟）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（）A．△BFE； B．△BDC； C．△BDA； D．△AFD．2．（2022·青浦模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，1)，B(0，2)，以A．(0，6) B．(0，7)3．（2021九上·静安期末）已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（）A．8 B．10 C．6 D．44．（2021九上·崇明期末）如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：165．（2021九上·宝山期末）下列格点三角形中，与右侧已知格点△ABC相似的是（）A． B．C． D．6．（2021九上·宝山期末）如果ab=23，且b是a和A．34 B．43 C．327．（2021九上·虹口期末）在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果DE∥AC，DF∥AB，AE：EB=3：A．32 B．23 C．258．（2021九上·黄浦期末）4和9的比例中项是（）A．6 B．±6 C．169 D．9．（2021九上·青浦期末）下列图形，一定相似的是（）A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形C．两个等边三角形 D．两个菱形10．（2021九上·青浦期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、lA．6 B．8 C．10 D．12二、填空题11．（2022·闵行模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A'处，A'M⊥AB，且交BC于点D，A'12．（2022·闵行模拟）如图，点G为等腰△ABC的重心，AC=BC，如果以2为半径的圆G分别与AC、BC相切，且CG=25，那么AB的长为13．（2022·宝山模拟）如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠CBP=∠ACP，那么点P被称为△ABC的“布洛卡点”．如图2，在△DEF中，DE=DF，∠EDF=90°，点P是△DEF的一个“布洛卡点”，那么tan∠DFP=．14．（2022·宝山模拟）如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，cosC=35.BC的垂直平分线交AB于点E，那么BE15．（2022·长宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果CΔADCCΔCDB＝316．（2022·长宁模拟）如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF∥AB交BC于点F，那么EFEC＝17．（2022·青浦模拟）如图，已知ΔABC中，点D是AC上一点，DB⊥BC，若∠ADB=∠ABC，tanC=12，则18．（2022·青浦模拟）如图，已知ΔABC中，D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C，AN平分∠BAC，交DE于M，若S四边形BCED=2SΔADE19．（2022·青浦模拟）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD上一点，ED=2AE，联结BE交AC于F，若向量BA=a，向量BC=b20．（2022九下·普陀期中）如图，线段AD与BC相交于点G，AB//CD，ABCD=12，设GB=a，GA三、综合题21．（2022·上海市）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度22．（2022·上海市）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：（1）∠CAE=∠BAF；（2）CF·FQ=AF·BQ23．（2022·闵行模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC（1）求抛物线的表达式；（2）以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E.当⊙G与⊙E内切时.①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标.24．（2022·闵行模拟）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=26，BC=42，cosB=513，AD=DC.点M在射线CB上，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，联结MN，交射线CA（1）求线段AD的长；（2）设线段CM=x，AGGC=y，当点N在线段CD上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出（3）联结DM，当∠NMC=2∠DMN时，求线段CM的长.25．（2022·闵行模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．（1）求证：BE=FG；（2）如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．26．（2022·宝山模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=13x（1）求顶点P和点B的坐标；（2）将抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线与y轴交于点M，求点M的坐标和△APM的面积；（3）如果点N在原抛物线的对称轴上，当△PMN与△ABC相似时，求点N的坐标．27．（2022·宝山模拟）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，连结EF、DF，且∠DEF=∠ADC．（1）求证：EFBF（2）如果BD28．（2022·宝山模拟）如图，在半径为3的圆O中，OA、OB都是圆O的半径，且∠AOB=90°，点C是劣弧AB上的一个动点(点C不与点A、B重合)，延长AC交射线OB于点D．（1）当点C为线段AD中点时，求∠ADB的大小；（2）如果设AC=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当AC=185时，点E在线段OD上，且OE=1，点F是射线OA上一点，射线EF与射线DA交于点G，如果以点A、G、F为顶点的三角形与△DGE相似，求29．（2022·长宁模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点，（1）当B的坐标为（﹣5，0）时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画⊙A，以C为圆心，AB长为半径画⊙C，通过计算说明⊙A和⊙C的位置关系；（3）如果△BAC与△AOC相似，求抛物线顶点P的坐标30．（2022·浦东模拟）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且ADBE（1）求证：AB//CD；（2）若BC

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴∠A=∠EDB=60°∵∠DBF=∠ABD∴△BFD∽△BDA故答案为：C．【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。2．【答案】B【解析】【解答】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：∵A(2，∴AD=2，AB=(2−0)∵∠BAC=45°，∴BE=2∵∠ADC=∠BEC=90°，∴△ADC∽△BEC，∴BEAD设BC=x，则CD=x+1，∴EC=10在Rt△BEC中，由勾股定理得：[10解得：x=5（负根舍去），∴DC=6，∴OC=7，∴点C(0，故答案为：B．

【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，根据题意求出AB、BE，证明△ADC∽△BEC，可得BEAD=ECDC=3．【答案】C【解析】【解答】解：∵ED∥BC，∴∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，∴△ABC∽△ADE，∴BC：ED=AB：AD，∵AD：DB＝1：4，∴AB：AD=3：1，又ED＝2，∴BC：2=3：1，∴BC=6，故答案为：C

【分析】先证明△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质可得BC：ED=AB：AD，再结合AD：DB＝1：4，ED＝2，可求出BC=6。4．【答案】B【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，∴两个相似三角形的相似比为1：4，∴这两个三角形的对应中线的比为1：4．故答案为：B

【分析】根据相似三角形的性质可得答案。5．【答案】A【解析】【解答】解：△ABC的三边长分别为：AB=1AC=22+∵AB∴△ABC为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；A选项中三边长度分别为：2，4，25∴22A选项符合题意，D选项中三边长度分别为：2，32，2∴22故答案为：A．

【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。6．【答案】D【解析】【解答】解：∵ab即ab∴bc故答案为：D．

【分析】】根据比例中项的性质可得ab=bc，再结合7．【答案】B【解析】【解答】如图：∵DE∥AC，AE：EB=3：2，∴AE∴BD∵DF∥AB，∴AF故答案为：B

【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AEEB=CD8．【答案】B【解析】【解答】解：设4和9的比例中项为x，∴4：∴x=±6，故答案为：B．

【分析】设4和9的比例中项为x，即可得到4：9．【答案】C【解析】【解答】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；故答案为：C．【分析】利用相似三角形的判定方法对每个选项一一判断即可。10．【答案】C【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴AC：∵AC：CE=2：3，BD=4，∴2：∴DF=6，∴BF=BD+DF=4+6=10，故答案为：C．【分析】先求出AC：CE=BD：11．【答案】2【解析】【解答】解：如图，连接A′B，∵∠ACB=90°，点M是AB的中点，

∴AM=CM=BM，

∵A′M⊥AB，

∴∠A′MB=∠A′MA=90°，

由折叠的性质得：A′M=AM，∠AMC=∠A′MC=45°，

∴A′M=BM，

∴A′B=2BM=2CM，∠A′BM=∠MA′B=45°，

∴∠A′BM=∠AMC=45°，

∴CM∥A′B，

∴△A′DB∽△MDC，

∴A'DDM=A'BCM=2CMCM=2.

故答案为：2.

【分析】连接A′B，根据直角三角形斜边定理得出AM=CM=BM，再根据等腰三角形的性质得出∠A′MB=∠A′MA=90°，由折叠的性质得出A′M=AM，∠AMC=∠A′MC=45°，从而得出A′B=12．【答案】3【解析】【解答】解：如图，延长CG交AB于点D，设AC切圆G的切点为E，连接GE，

∵G为△ABC的重心，AC=BC，

∴CD⊥AB，AD=BD，CG=23CD，

∴CD=32CG=32×25=35，

∵AC切圆G的切点为E，

∴∠CEG=90°，GE=2，

∴CE=CG2−EG2=4，

∵∠CEG=∠ADC=90°，∠GCE=∠ACD，

∴△CEG∽△CDA，

∴CECD=EGAD，

∴4CD=2AD，

∴【分析】延长CG交AB于点D，设AC切圆G的切点为E，连接GE，根据等腰三角形的性质和三角形重心的性质得出AD=BD，CD=32CG=35，根据切线的性质得出∠CEG=90°，根据勾股定理求出CE=4，再证出△CEG∽△CDA，得出CECD=EGAD13．【答案】1【解析】【解答】解：∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝2DE＝2DF，∠DEF＝∠DFE＝45°，∵点P是△DEF的一个“布洛卡点”，∴∠EDP＝∠PEF＝∠DFP，∴∠PDF＋∠DFP＝∠PDF＋∠EDP＝∠EDF＝90°，∴∠DEP＋∠PEF＝45°，∠PFE＋∠PEF＝∠PFE＋∠DFP＝∠DFE＝45°，∴∠DEP＝∠PFE，∴△DEP∽△EFP，∴DEEF∴DP＝12PE，PF＝2∴tan∠DFP＝DPPF故答案为：12【分析】先证明△DEP∽△EFP，可得DEEF=DPEP=PEPF=114．【答案】7【解析】【解答】解：过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，在Rt△AHC中，cosC=CHAC，则CH2解得：CH=6由勾股定理得：AH=A在Rt△ABH中，∠B=45°，则BH=AH=8∴BC=BH+CH=14∵EF是BC的垂直平分线，∴BF=7∴FH=BH−BF=1∵EF⊥BC，AH⊥BC，∴EF//∴BEEA故答案为：7．【分析】过点A作AH⊥BC于H，作BC的垂直平分线交AB于点E、交BC于F，根据余弦的定义求出CH，根据勾股定理求出AH，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可。15．【答案】16【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴ADCDCΔADC∴ADCD=3解得，CD＝163故答案为：163

【分析】利用相似证出△ADC∽△CDB，得出ADCD=16．【答案】1【解析】【解答】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∴GF∥AB，△EGF∽△EAB∴EFEB∵AE是BC边上的中线，∴BE=EC∴故答案为13．

【分析】由相似证出△EGF∽△EAB，得出EFEB=17．【答案】2【解析】【解答】解：∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴ACAB∵DB⊥BC，∴tanC=∴ACAB故答案为2．

【分析】证明△ADB∽△ABC，根据相似三角形的性质可得ACAB=BCDB，再根据18．【答案】3【解析】【解答】解：∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∵S四边形BCED∴S△ACB∴S△ACB∴ADAC∵AN平分∠BAC，∴AMAN故答案为33

【分析】证明△ADE∽△ACB，根据S四边形BCED=2SΔADE，可得S△ACBAN平分∠BAC，可得AMAN19．【答案】1【解析】【解答】解：∵BA=a，∴CA=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽△CBF，∴FACF∵ED=2AE，∴BC=AD=3AE，∴FACF∴FACA∴FA=故答案为：14

【分析】利用三角形法则可求得CA→，证明△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质可得FACF=20．【答案】2【解析】【解答】解：∵GB=aAB=∵AB//CD，ABCD∴CD=2故答案为：2a

【分析】根据AB//CD可知△ABG~△CGD，由线段比例可知相似比为1：2，可知CG=2GB，DG=2GA，根据向量的表示方法以及长度即可表示出来21．【答案】（1）解：如图由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形，则BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，tanα=AECE得AE=CE=CE×tanα=atanα而AB=AE+BE，故AB=atanα+b答：灯杆AB的高度为atanα+b米（2）解：由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8由于AB∥ED，∴∆ABF~∆EDF，此时ED即23=∵AB∥GC∴∆ABH~∆GCH，此时ABBH21联立①②得ABBC+4解得：AB=3答：灯杆AB的高度为3.8米【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；

（2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。22．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CE=BF，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠B∴△ACE≌△ABF（SAS），

∴∠CAE=∠BAF（2）证明：∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，∴AEAQ=AB∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CFBQ【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；

（2）利用全等三角形的性质和相似三角形的判定与性质证明求解即可。23．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），

∴a−b+4=09a+3b+4=0，

∴a=−43b=83，

∴抛物线的解析式为y=-（2）解：①BE=EF，

理由如下：

∵⊙G的半径为GB，⊙G与⊙E内切，

∴切点为B，

∵⊙E的半径为EF，

∴BE=EF；

②设点F的坐标为（m，-43m2+83m+4），

∴BD=OB-OD=3-m，DF=-43m2+83m+4，

∵DF∥CO，

∴△BDE∽△BOC，

∴BDBO=DEOC，

∴BD3=DE4，

∴DE=43BD，

∴BE=BD2+DE2=53BD，

∴EF=BE=53BD，

∴DF=DE+FE=3BD，

∴-43m2+83m+4=3（3-m），

∴4m2-17m+15=0，

∴（4m-5）（m-3）=0，

∴m=5【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

（2）①根据两圆相内切的性质得出切点为B，从而得出BE为⊙E的半径，即可得出BE=EF；

②设点F的坐标为（m，-43m2+83m+4），得出BD=OB-OD=3-m，DF=-43m2+83m+4，证出

△BDE∽△BOC，得出BDBO=DEOC，从而得出DE=43BD，EF=BE=53BD，DF=DE+FE=3BD，从而得出-43m2+824．【答案】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于点F，

∵cosB=BEAB=513，

∴BE=513AB=513×26=10，

∴AE=262−102=24，CE=BC-BE=32，

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACE，

∵AD=CD，

∴∠DAC=∠ACD，

∴∠ACD=∠ACE，

∴AF=AE=24，

∵∠AEC=∠AFC=90°，AC=AC，

∴Rt△AFC≌Rt△AEC，

∴CF=CE=32，

∴FD=FC-CD=32-AD，

∵AD2=AF2+FD2，

∴AD（2）解：如图，

∵∠AEC=90°，

∴AC=AE2+CE2=40，

∵AGGC=y，

∴AG=yCG，

∴CG+yCG=40，

∴CG=401+y，

∵∠ACD=∠ACE，CM=CN=x，

∴CG⊥MN，MG=NG，

∵∠ACE=∠MCG，∠AEC=∠MGC=90°，

∴△ACE∽△MCG，

∴ACMC=CECG，

∴40x=（3）解：如图，当点M在线段BC上时，

∵△ACE∽△MCG，

∴ACMC=CECG，

∴40CM=32CG，

∴CG=45CM，

∵∠MGC=90°，

∴MG=35CM，

∴MN=2MG=65CM，

∵CM=CN，

∴∠NMC=∠CNM，

∵∠NMC=2∠DMN，∠CNM=∠DMN+∠MDN，

∴∠DMN=∠MDN，

∴DN=MN=65CM，

∵CN+DN=CD，

∴CM+65CM=25，

∴CM=12511，

如图，当点M在CB的延长线上，

过点P作PQ⊥CM于点Q，

∵∠NMC=2∠DMN=∠DMN+∠DMC，

∴∠DMN=∠DMC，

∵CG⊥MN，

∴PQ=PG，

∵PM=PM，

∴Rt△PMQ≌Rt△PMG，

∴MQ=MG=35CM，

∴CQ=CM-MQ=25CM，

∵∠PCQ=∠MCG，∠PQC=∠CGM=90°，

∴△CQP∽△CGM，

∴PCCM=CQCG，

∴PCCM=25CM45CM，

∴PC=12CM，

∴AP=AC-PC=40-12【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于点F，先求出BE=10，AE=24，CE=32，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ACD=∠ACE，从而得出AF=AE=24，再证出

Rt△AFC≌Rt△AEC，得出CF=CE=32，FD=32-AD，根据勾股定理得出AD2=AF2+FD2，从而得出

∴AD2=242+（32-AD）2，即可得出AD=25；

（2）先求出AC=40，再根据AGGC=y，得出CG=401+y，根据等腰三角形的得出CG⊥MN，

MG=NG，再证出△ACE∽△MCG，得出ACMC=CECG，从而得出40x=3225．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，FG⊥BC，

∴∠ADC=∠BCD=∠B=∠EGF=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

由旋转的性质得：AE=EF，∠AEF=90°，

∴∠FEG+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEG，

∴△ABE≌△EGF，

∴BE=FG；（2）证明：如图，

∵∠BCD=∠B=90°，∠BAE=∠FEG，

∴△ABE∽△ECM，

∴ABEC=AEEM，

∴AB•EM=EC•AE，

∵AB•DM=EC•AE，

∴EM=DM，

∴点M在DE的垂直平分线上，

∴∠MED=∠MDE，

∵∠AEF=∠ADC=90°，

∴∠AED=∠ADE，

∴AE=AD，

∴点A在DE的垂直平分线上，【解析】【分析】（1）证出△ABE≌△EGF，即可得出BE=FG；（2）证出EM=DM，得出点M在DE的垂直平分线上，再证出AE=AD，得出点A在DE的垂直平分线上，即可得出AM垂直平分DE．26．【答案】（1）解：根据题意可画出函数图象，如图1，令x=0可得y=−1，∴C(0，−1)，即在Rt△AOC中，tan∠CAB=1∴OCOA∴OA=3，∴A(3，将点A的坐标代入抛物线解析式可得，13解得b=−2∴抛物线的解析式为：y=1∴顶点P(1，令y=0，即13∴x=3或x=−1，∴B(−1，（2）解：如图2，将（1）中抛物线向右平移2个单位，得到的新抛物线y=1令x=0，则y=5∴M(0连接AP并延长交y轴于点D，设直线AP的解析式为y＝k1x＋b−43=k1+b10=3k1+b1，k1=23b1=−2∴直线AP的解析式为：y=23x−2，当x＝0时，y＝﹣2，∴D(0，−2)，∴S△APM=12(xA−xP)⋅MD=12×(3−1)×(53+2)=113．（3）解：在△ABC中，A(3，0)，B(−1，0)，C(0，−1)，tan∠CAB=13，∴AB=4，AC=32+12=10，如图3，过点M作MQ垂直于原抛物线的对称轴于点Q，∴MQ=1，PQ=53+43=3，∴tan∠MPQ=MQPQ=13，PM=10．∴∠MPQ=∠CAB，若△PMN与△ABC相似，则PM：PN=AB：AC或PM：PN=AC：AB，设N(1，t)，则PN=t+43，∴10：(t+43)=4：10或10：(t+43)=10：4，解得t=76或t=83．∴N(1，76)或(1，83).【解析】【分析】（1）根据题意可画出函数图象，由tan∠CAB=13，得出OCOA=13，令y=0，即13(x−1)2−43=0，得出点C的坐标，得出OC的长，由此得出点A的坐标，将点A的坐标代入抛物线解析式可得，13×32+3b−1=0，得出b的值，得出点P的坐标，令y=0，即13(x−1)2−43=027．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AD//BC，AB//DC，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BEF+∠DEF=180°，∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF，∵∠DEF=∠ADC，∴∠BAD=∠BEF，∵AB//DC，∴∠EBF=∠ADB，∴△ADB∽△EBF，∴；（2）证明：∵△ADB∽△EBF，∴，在平行四边形ABCD中，BE=ED=，∴，∴，又∵，∴，△DBF是等腰三角形，∵，∴FE⊥BD，即∠DEF=90°，∴∠ADC=∠DEF=90°，∴平行四边形ABCD是矩形.【解析】【分析】（1）由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB∽△EBF，再由相似三角形的性质证明即可；

（2）在平行四边形ABCD中，BE=ED=12BD，得出FE⊥BD，即∠28．【答案】（1）解：如图1，连接OC，∵点C为线段AD中点，∠AOB=90°，∴OC=CA=CD，∵OC=OA，∴OA=OC=AC，∴△OAC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠ADB=90°−∠A=90°−60°=30°；（2）解：如图2，连接OC，AB，过点O作OH⊥AC于点H，∵OA=OC，OH⊥AC，AC=x，∴AH=12AC=∴∠OAH+∠AOH=∠AOH+∠DOH=90°，∴∠OAH=∠DOH，∵∠AHO=∠OHD=90°，∴△AOH∽△ODH，∴AHOH∵BD=y，OD＝y＋3，∴1∴y=3∵点C是劣弧AB上的一个动点(点C不与点A、B重合)，∴0<AC<AB，∵AB=O∴0<x<32∴y关于x的函数解析式为y=336−x（3）解：如图3，当AC=185时，由(2)可知，∵OE=1，OB=3，∴BE=2，DE=3，OD=4，∵△AGF∽△EGD，∴∠GFA=∠D，∵∠GFA=∠OFE，∴∠OFE=∠D，∵∠O=∠O，∴△OFE∽△ODA，∴OFOD∴OF4∴OF=4∴AF=OA−OF=3−4∵△AGF∽△EGD，∴S△AGF【解析】【分析】（1）利用直角三角形的性质得出OC=CA=CD，进而证明△OAC是等边三角形，得出