事件的相互独立性课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2事件的相互独立性试验1：

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?

思考2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？思考1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}，包含4个等可能的样本点，A={(1,1)，(1,0)}，B={(1,0)，(0,0)}，所以AB={(1,0)}．由古典概型概率计算公式，积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.试验2：一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.思考1：事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？思考2：分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}}，包含16个等可能的样本点，A={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}，B={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，所以AB={(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}．积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.相互独立事件的定义：对任意事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．归纳总结通俗地说，对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.①

篮球比赛的“罚球两次”中，事件A：第一次罚球，球进了.

事件B：第二次罚球，球进了.②袋中有3个红球，2个白球，采取不放回的取球.事件A：第一次从中任取一个球是白球.事件B：第二次从中任取一个球是白球.③袋中有3个红球，2个白球，采取有放回的取球.

事件A：第一次从中任取一个球是白球.

事件B：第二次从中任取一个球是白球.根据相互独立事件的定义，必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响，当然，他们也不影响其他事件的发生．思考：必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立吗？设A为任意事件，因为P(Ω)=1，P(Ø)=0，

所以，P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立．探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B互相独立，那么它们的对立事件是否也互相独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与与B，与是否独立，你有什么发现？（1）必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.

（2）若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:注意：当三个事件A、B、C两两独立时，

等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.相互独立事件的性质归纳总结互斥事件相互独立事件定义概率公式不可能同时发生的两个事件事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响相互独立事件与互斥事件的区别P(A∪B)＝P(A)＋P(B)推广：若A1，A2，…，An，相互独立，则例1：一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”,那么事件A与B是否独立？解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4}，m≠n}，包含12个等可能样本点，即n(Ω)=12A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，n(A)=6，B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，n(B)=6，所以AB={(1,2)，(2,1)}，n(AB)=2．所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.归纳总结判断两个事件是否相互独立的方法（3）转化法:由判断事件A与事件B是否相互独立,转化为判断A与

, 与B, 与

是否具有独立性.

（1）直接法:直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.（2）定义法:判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A，B，C中哪两个相互独立？P249练习解：2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}.请验证A,B,C三个事件中两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解：∵A={a,b}，B={a,c}，C={a,d}，

∴A={a}，AC={a}，BC={a}，ABC={a}，∴P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=P(AC)=P(BC)=

∴P(A)P(B)P(C)=

P(ABC)=

∴P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=

P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，即A,B,C三个事件中两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).例2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶．解：解：

(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶．解：说明：已知两个事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.(2)A,B中至多有一个发生为事件 

.(3)A,B恰好有一个发生为事件.(5)A,B都不发生为事件 

. (4)A,B都发生为事件AB.

(6)A,B不都发生为事件 

.P249练习3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:（1）甲、乙两地都降雨的概率;（2）甲、乙两地都不降雨的概率;（3）至少一个地方降雨的概率；解：设事件A=“甲地降雨”，事件B=“乙地降雨”，由题意知P(A)=0.2,P(B)=0.3,且事件A与B相互独立.(1)因为AB=“甲、乙两地都降雨”，(2)因为=“甲、乙两地都不降雨”，（3）因为=“至少一个地方降雨”，例3：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．分析：两轮活动中猜对3个成语，相当于事件“甲猜对１个，乙猜对2个，“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生.因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是解：1.相互独立事件的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立．通俗地说，对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．2.若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)；3.必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立；4.若事件A与B相互独立，则

相互独立．课堂小结求较复杂事