空间向量基本定理课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理lAP平面向量的正交分解及坐标表示xyo复习平面向量基本定理

平面向量的正交分解及坐标表示平面向量基本定理（一般到特殊）（特殊到一般）空间向量的正交分解空间向量基本定理空间向量的坐标表示（类比）类比平面向量的正交分解，你能得出空间向量的正交分解吗？探究

xzQPijkOyxzQPyijkO由平面向量基本定理可知，在OQ,k所确定的平面上，存在实数z，使得OP=OQ+zk.在i，j所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序实数对（x，y），使得OQ=xi+yj.xzQyijkOxzQPyijkOOP=OQ+zk，OQ=xi+yj，从而OP=OQ+zk=xi+yj+zk空间向量的正交分解与平面向量的正交分解相似，区别在于分解的结果中多了“一项”.注意如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p=xi+yj+zk.称xi,yj,zk为向量p在i,j,k上的分向量.空间向量的正交分解类比平面向量基本定理，你能得出空间向量基本定理吗？探究OABCA'B'P'P设a,b,c不共面，过点O作OA=a，OB=b，OC=c，OP=p；过P作直线PP'平行于OC，交平面OAB与点P'；在平面OAB中，过点P'作直线P'A'//OB，P'B'//OA.于是存在三个实数x,y,z，使OA'=xOA=xa,OB'=yOB=yb,P'P=zOC=zc,OP=OA'+OB'+P'P=xOA+yOB+zOC.所以，p=xa+yb+zc.空间向量的基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p=xa+yb+zc.注意

空间向量基本定理说明，用空间三个不共面已知向量组{a,b,c}可以线性表示出空间任意一个向量，并且表达的结果是唯一的.如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.cba基底和基向量

集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}可以看作是由向量a,b,c生成的.{a,b,c}叫做空间的一个基底（base），a,b,c都叫做基向量（basevector）.注意对于基底{a,b,c}需要明确以下几点：1.向量a,b,c不共面；2.空间任意三个不共面向量都可以做空间向量的一个基底；3.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.4.一个基底指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.

正交分解

两两垂直1

两两垂直ABCOMNQP练习：如下图，M,N分别为四面体OABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点.用向量OA,OB,OC表示OP和OQ.ABCOMNQP课本P12页1-3题例2

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点．求证：MN⊥AC1.例3

如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F，G分别为C′D′，A′D′，D′D的中点．(1)求证：

EF∥AC；(2)求CE与AG所成角的余弦值．课本P14页1-3题

1.空间向量基本定理.

在空间，具有大小和方向的量如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得