2024秋高中数学3.1函数的概念及其表示教材例题课后习题新人教A版必修第一册

第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示例1函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数（）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系､一定密度的物体的质量与体积的关系､圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.解：把看成二次函数，那么它的定义域是R，值域是.对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数.如果对x的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境：长方形的周长为20，设一边长为x，面积为y，那么.其中，x的取值范围是，y的取值范围是.对应关系f把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积.例2已知函数.（1）求函数定义域；（2）求，的值.（3）当时，求，的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.解：（1）使根式有意义的实数x的集合是，使分式有意义的实数x的集合是.所以，这个函数的定义域是，即.（2）将-3与代入解析式，有；.（3）因为，所以，有意义.；.例3下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）（），它与函数（）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数（）不是同一个函数.（2）（），它与函数（）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数（）是同一个函数.（3），它与函数（）的定义域都是实数集R，但是当时，它的对应关系与函数（）不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.（4）（}，它与函数（）的对应关系相同但定义域不相同.所以这个函数与函数（）不是同一个函数.例4某种笔记本的单价是5元，买x（）个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数.解：这个函数的定义域是数集.用解析法可将函数表示为，.用列表法可将函数表示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数表示为图例5画出函数的图象.解：由绝对值的概念，我们有.所以，函数的图象如图所示.例6给定函数，，，（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2），用表示，中的较大者，记为.例如，当时，.请分别用图象法和解析法表示函数.解：（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象（图）.（2）由图中函数取值的情况，结合函数的定义，可得函数M（x）的图象（图）.由，得.解得，或.结合图3.1-5，得出函数的解析式为.例7表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.姓名测试序号第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析.解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况.如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为6个离散的点）表示出来，如图，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.从图3.1-6可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.例8依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表.级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数130210252032016920425319205305292063585920745181920（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求，并画出图象；（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳或者住房租金､赡养老人的基本养老保险､基本医疗保险､失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%专项扣除､专项附加扣除1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除之外，由国务院决定以扣是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据②计算出应纳税所得额t；第二步，由t的值并根据表得出相应的税率与速算扣除数第三步，根据①计算出个税税额y的值.由于不同应纳税所得额t对应不同税率与速算扣除数，所以y是t的分段函数.解：（1）根据表3.1-5，可得函数的解析式为，③函数图象如图所示.（2）根据②，小王全年应纳税所得额为.将t的值代入③，得.所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元.3.1.1函数的概念练习1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.①求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数.【答案】定义域为，值域为，描述见解析.【解析】【分析】根据题目中实际情境，时间t为定义域，炮弹距地面的高度h为值域，h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为.【详解】定义域为，值域为，对于数集中的任一个数t，在数集中都有唯一确定的数与之对应.【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示.（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度.【答案】（1）定义域为，值域为；（2）.【解析】【分析】（1）由图可知，定义域为时间，值域为温度；（2）根据图象，12时位于11时至14时对应的直线段上，由此计算12时所对应的温度.【详解】（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t的温度为，则定义域为，值域为.（2）由图知，11时的温度为，14时的温度为，12时的温度约为.【点睛】本题考查函数图象与性质，通过函数图象确定函数定义域、值域、特殊点函数值，属于基础题.3.集合与对应关系如图所示：是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？【答案】见解析.【解析】【分析】根据题目所示图可以看出A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是函数，定义域是，值域.【详解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应，所以是从A到B的函数.定义域是，值域.【点睛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题.4.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.【答案】见解析.【解析】【分析】根据变量关系的解析式，可设x为正方形面积，y为正方形的边长，写出定义域值域即可.【详解】设面积为x的正方形的边长为y，则，定义域为，值域为.【点睛】本题考查函数解析式的应用，通过解析式来构建问题情境，考查逆向思维和对函数概念的灵活运用，属于基础题.练习5.求下列函数的定义域：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据分母不为0，求出函数的定义域即可；（2）根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【详解】（1）由，得，∴函数的定义域.（2）由，且，得，∴函数的定义域为.【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，函数定义域等价于令函数有意义的自变量的取值范围，因此可根据题目列关于自变量的不等式（组）求解即可，属于基础题.6.已知函数，（1）求，，的值；（2）求，，的值.【答案】（1），，；（2），，.【解析】【分析】（1）直接代入数值计算即可；（2）直接代入计算可得.【详解】（1），，；（2），，.【点睛】本题考查函数的值，已知函数解析式，代入自变量计算求解，属于基础题.7.判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数和二次函数；（2）和.【答案】（1）不相等，理由见解析；（2）不相等，理由见解析.【解析】【分析】分别判断函数定义域和对应法则是否相同，相同则为同一函数，不同则不是同一函数.【详解】（1）不相等，前者的定义域为，而后者的定义域为R.（2）不相等，前者的定义域为R，而后者的定义域为.【点睛】本题考查判断两个函数是否为同一函数，两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数，如果定义域、值域、对应法则有一个不同，函数就不同，注意中，属于基础题.3.1.2函数的表示法练习8.如图，把直截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：），把y表示为x的函数.【答案】（0<x<50）【解析】【分析】先表示出矩形的另一边长，即可表示出矩形的面积.【详解】依题意可得圆的直径为50cm,则该矩形的另一边长为,其中0<x<50,故矩形的面积，即将y表示为x的函数为（0<x<50）.9.画出函数的图象.【答案】见解析.【解析】【分析】分类讨论去绝对值，进而画出函数图像，或者利用翻折法画含绝对值的函数图像.【详解】解法1：由绝对值的概念，知所以函数的图象如图所示.解法2：（翻折法）先画出的图象，然后把图象中位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上面，其他不变.【点睛】本题考查含绝对值函数的图像的画法，是基础题.10.已知函数，，．（1）在图中画出函数，的图象；（2）定义：，用表示，中的较小者，记为，请分别用图象法和解析式法表示函数．（注：图象法请在图中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）；图象见解析.【解析】【分析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1），的图象如下图所示：（2）当时，，则；当时，，则；当时，，则；综上所述：.图象如下图所示：练习11.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.A.B.C.D.【答案】见解析.【解析】【分析】根据时间和离开家距离的关系逐一进行判断.【详解】解：（1）根据回家后，离家的距离又变为0，对应（D）；（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化，对应（A）；（3）由为了赶时间开始加速，可判断函数的图象上升速度越来越快，对应（B）.剩下的图象（C）为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢.【点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，通过分析实际情况中离家距离随时间变化的趋势，找出关键的图象特征，对3个图象进行分析，即可得到答案.12.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.【答案】，图像见解析．【解析】【分析】实际问题，根据实际情况确定分段函数的取值，及图像.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；综上：函数解析式为按照分段函数画出图像，如下图：【点睛】实际问题中注意自变量的取值范围，使分段函数的定义域做到不重不漏.习题3.1复习巩固13.求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）R；（3），且；（4）且【解析】【分析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；（2）根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；（4）根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可【详解】解：（1），，定义域为；（2）不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；（3），，且，定义域为，且；（4）且.∴定义域为且.【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.14.下列哪一组中的函数与是同一个函数？（1）；（2）；（3）.【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是【解析】【分析】根据同一函数的定义，从定义域、对应关系两方面判断即可.【详解】解：（1）定义域为R，定义域为，∵定义域不同，与不是同一函数.（2）定义域为R，定义域为，∵定义域不同，与不是同一函数.（3），与定义域与对应关系都相同，与是同一函数.【点睛】本题考查了同一函数的定义，属于基础题.15.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析.（3）答案见解析.（4）答案见解析.【解析】【分析】根据基本初等函数的图像特征，直接画出图像，写出定义域和值域.【小问1详解】一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.【小问2详解】反比例函数的图形如图所示，定义域为，值域为.【小问3详解】一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.【小问4详解】二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.16.已知函数，求的值.【答案】；；；【解析】【分析】直接代入解析式求值即可.【详解】解：；；；.【点睛】本题考查了求函数值，考查了代入思想，考查了数学运算能力.17.已知函数g(x)＝，(1)点(3，14)在函数的图像上吗？(2)当x＝4时，求g(x)的值；(3)当g(x)＝2时，求x的值.【答案】（1）不在；（2）；（3）.【解析】【分析】将分别代入即可得所求.【详解】(1)，故点不在函数的图像上.(2).(3)18.若，且，，求的值.【答案】8【解析】【分析】将,代入解析式即可求得的值,求得解析式再代入即可求得的值.【详解】因为,且,则,解方程组可得则所以【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法,二次函数求值,属于基础题.19.画出下列函数的图象：（1）（2）.【答案】（1）图像见解析；（2）图像见解析【解析】【分析】根据函数的类型直接画图即可.【详解】解：（1）函数是一个分段函数，函数图象如图（1）所示.（2）函数的图象是三个离散的点，如图（2）所示.【点睛】本题考查画函数图象的能力，属于基础题.综合运用20.如图，矩形的面积为10.如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为，那么你能获得关于这些量的哪些函数？【答案】见解析【解析】【分析】根据矩形面积，可以知道长宽的关系，进而可以求出对角线、周长，利用可以求出函数解析式.【详解】解：答案不唯一.如：，这是y关于x的函数，其中，这是关于x的函数，其中，，这是d关于x的函数，其中.【点睛】本题考查了根据具体几何背景求函数关系，属于开放试题.21.一个圆柱形容器的底部直径是dcm，高是hcm.现在以的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x（单位：cm）关于注入溶液的时间t（单位：s）的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.【答案】，，【解析】【分析】利用圆柱的体积公式和题意直接写出函数解析式，进而再求出定义域和值域.【详解】解：∵容器内液体的体积，.定义域，值域.【点睛】本题考查了依托几何背景求函数的解析式，属于基础题.22.一个老师用5分制对数学作业评分，一次作业中，第一小组同学按座位序号1，2，3，4，5，6的次序，得分依次是5，3，4，2，4，5，你会怎样表示这次作业的得分情况？用x，分别表示序号和对应的得分，y是x的函数吗？如果是，那么它的定义域、值域和对应关系各是什么？【答案】用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数，定义域是，值域是，对应关系见解析【解析】【分析】根据函数的定义进行判断即可，如果是根据函数的定义直接写出定义域、值域和对应关系【详解】解：用列表法表示：序号123456分数534245用x，y分别表示序号和对应的得分，y是x的函数，其中，定义域是，值域是，对应关系如上表所示.【点睛】本题考查了函数的定义，考查了函数的定义域、值域，对应关系.23.函数的图象如图所示，（1）函数的定义域､值域各是什么？（2）r取何值时，只有唯一的值与之对应？图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据函数的图象，分析出自变量和函数值的范围，可得值域和定义域；（2）根据函数的图象，即可得到结果．【小问1详解】解：由函数的图象可得，函数的定义域为：，值域为：；【小问2详解】解：由已知中函数的图象可得：当时，只有唯一的值与之对应．24.画出定义域为，且，值域为的一个函数的图象.（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？（2）如果平面直角坐标系中点的坐标满足，那么其中哪些点不能在图象上？【答案】（1）答案为唯一，见解析；（2）在线段，和线段上的点不在图象上.【解析】【分析】（1）根据所给的定义域和值域的特征，可以画出线性型函数即可.（2）根据所给的定义域和值域的特征，结合本问已知可以知道不在图象上的点.【详解】（1）由题意可知：定义域为，且，值域为，图象可以是如下图所示：（2）由题意可知中：线段，和线段上的点不在图象上如下图所示：【点睛】本题考查了已知函数的定义域和值域画图象，属于开放题.25.函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，.当时，写出函数的解析式，并画出函数的图象.【答案】解析式见解析，图象见解析【解析】【分析】根据所给函数的定义进行分类讨论，画图函数的图象.【详解】解：函数图象如图所示：【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了画函数图象，属于基础题.26.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述.【答案】静止状态的物体作自由落体运动，经x秒时的位移为y，则【解析】【分析】根据物理中的自由落体运动描述即可.【详解】在不考虑空气阻力的情况下，一个物理从空中从静止状态作自由落体运动，经x秒时的位移为y，则.【点睛】本题考查了已知函数的解析式，建构一个问题情境，属于开放题.拓广探索27.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东处有一个城镇.（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为，