2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.1抛物线及其标准方程分层作业新人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程A级必备学问基础练1.(多选题)对抛物线y=18x2,下列描述正确的是 (A.开口向上,焦点为(0,2)B.开口向右,准线方程为x=-1C.开口向右,焦点为1D.开口向上,准线方程为y=-22.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|=54x0,则x0等于(A.4 B.2 C.1 D.83.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是 ()A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线4.已知O是坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M32,3是C上一点,则线段OF的长度为()A.9 B.92 C.3 D.5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|等于()A.72 B.5C.3 D.26.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:x23-y2=1的焦距为;若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为7.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为.

8.若抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,25)到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.B级关键实力提升练9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=6,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则p=()A.22 B.4 C.6 D.810.抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上的点的距离的最小值为()A.0 B.4 C.5 D.611.在平面直角坐标系Oxy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上随意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是.

12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,点A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若点B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.13.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,且经过点(2,-1).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程;(2)过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于A,B两点,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.参考答案学习单元3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程1.AD抛物线方程化成标准方程形式为x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.2.C如图,易知点F14,0,准线l的方程为x=-14.过点A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,即54x0=x0+14,解得x0=3.D由题意,知直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.4.D由M32,3是抛物线C上一点,得32=3p,解得p=3,所以|OF|=p2=325.C过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.∵FP=4FQ,∴|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,∴|QF|=|QQ'|=3.6.44在双曲线C:x23-y2=1中,a2=3,b2∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,∴在抛物线y2=2px(p>0)中,p2=c,即p=47.3抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则点F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小值,如图所示,故(d1+d2)min=|4-0+118.解设焦点为F(a,0),依题意有|PF|=(a+5)2+20=6,即a2+10a+9=0,解得当焦点为F(-1,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.综上,抛物线的标准方程为y2=-4x或y2=-36x.9.D如图,过点M作MA⊥y轴于点A,交抛物线的准线于点B,由题意得Fp2,0,设Mn22p,n,由抛物线的定义可知,|MF|=|MB|=n22p因为M为线段FN的中点,所以|AM|=12|OF|,所以n22p=p4,将其代入n2故选D.10.B抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),圆C:x2+(y-3)2=1的圆心C(0,3),半径为r=1,|FC|=42+32=5,则抛物线y2=16x的焦点F到圆C上的点的距离的最小值为|FC|-r=5-故选B.11.3设点P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|=|PM(x-即|PB|等于点P到y轴的距离.过点A作y轴的垂线,垂足为K,可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|AK|=3,故|PA|+|PB|的最小值为3.12.解(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何学问,知当F,P,A三点共线且P位于A,F中间时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为|AF|=5,即|PA|+d的最小值为5.(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±23,因为23>2,所以点B在抛物线的右侧.过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,所以|PB|+|PF|的最小值为4.13.(1)解因为点(2,-1)在抛物线C上,所以22=-2p×(-1),解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),联立y=kx-1,x2=-4y,得x2+4设点Mx1,-x124,Nx2,-x224,则x1+x2=-4k,x1x2=-直线OM的方程为y=-x124x1x,令y=-1,得x=