2024-2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程分层作业新人教A版选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程A级必备学问基础练1.椭圆x2m+y24=1的焦点在A.5 B.5或8 C.5或3 D.32.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为()A.x24+y2C.y216+x23.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为 ()A.x225+y29=1(yC.x216+y29=1(y4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P35,-4和Q-45,3,则此椭圆的标准方程是()A.y225+x2B.x225+y2C.x225+y2=1或y225D.以上都不对5.P是椭圆x216+y29=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠FA.60° B.30° C.120° D.150°6.椭圆x212+y23=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,假如线段PF1的中点M在A.±34 B.±22 C.±37.过点(3,-5),且与椭圆y225+x8.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)经过两点(2,-2),-1B级关键实力提升练9.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为()A.x236B.x240C.x249D.x24510.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1⊥11.若方程x25-m+y12.已知圆M:(x+3)2+y2=24,N(3,0),T是圆M上随意一点,线段NT的垂直平分线l与半径MT相交于点Q,当点T运动时,记点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程.13.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,92.(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;(2)若轨迹E上的两点P,Q满足AP=5AQ,求|PQ|的值.参考答案第三章圆锥曲线的方程学习单元1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程1.A设椭圆的焦距为2c(c>0),依题意得m>4,2c=22.D依据两点的几何特性,干脆可知a=4,b=2.故选D.3.A依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为x225+y29=4.A设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则925m故椭圆的标准方程为y225+x2=1.5.A由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=27,∴(|PF1|+|PF2|)2=64.∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40.在△F1PF2中,cos∠F1PF2=40-∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.6.D∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3.∵点P在椭圆上,∴3212+y23=1,即y2=34,∴y=±37.y220+x24=设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>再代入点(3,-5),得5a2+由①②解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为y220+8.解(1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x由椭圆的定义知2a=(4-所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2所以椭圆的标准方程为y236+(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设其标准方程为y2a2+x由题意得18a2所以椭圆的标准方程为y236+(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为x2a2+y由已知条件得4a2所以所求椭圆的标准方程为x28+同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.综上,所求椭圆的标准方程为x28+(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-2),-1得4A+2B=1,A+9.C由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|=|FF'由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为x249+10.3由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,12|PF1||PF2|=∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.11.(1,3)∪(3,5)由题意得5-m>0,m-112.解因为Q为线段NT的垂直平分线l与半径MT的交点,连接QN,所以|QT|=|QN|,所以|QM|+|QN|=|QM|+|QT|=|MT|=26>23=|MN|,所以点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a=6,c=3,b=13.解(1)如图,设动圆C的半径为R.由题意得,定圆C1的半径为42,定圆C2的半径为22,则|CC1|=42-R,①|CC2|=22+R, ②①+②,得|CC1|+|CC2|=62>6=|C1C2|.(x+3)2+y2=32,(x-3)2+y2=8,解得x=2,由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),