新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 第2章1 矩阵基本概念及运算

第二章矩阵基本概念n个n元一次方程n个n元一次方程解由数表决定不仅仅局限于n个未知数，n个方程的情形n个未知数，m个方程的情形解由数表决定对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.这个数表反映了学生的早餐情况姓名馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0412王五1311二麻子1232为了方便，常用下面的数表表示数表的其它应用

销售地产地S1S2S3S4A2463B1045C0123常用下面的数表表示调运方案某产品从三个产地运往四个销售地

产品商店C1C2C3S1S2S3S4某工厂给四个商店运送三种产品常用下面的数表表示运送方案线性变换对应以原点为中心旋转

角的旋转变换.0yxP(x,y)P1投影变换数表例数表线性变换系数表线性变换与数表之间存在着一一对应关系.元素行标列标元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵简记为矩阵定义练习只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量。只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。行数和列数相等的矩阵称为方阵元素全是零的矩阵称为零矩阵，记为O。（4）对角线元素相同的对角阵称为数量矩阵或标量矩阵

（5）对角线元素相同且为1的对角阵称为单位阵主对角线特殊的方阵同型矩阵与矩阵相等的概念

两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.

注意：不同型的零矩阵是不相等的.行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数一定等于列数共有n2个元素本质上是一个数矩阵行列式1月1日馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0412王五1311二麻子1232统计每个学生两天的早餐情况例同学每天的早餐情况1月2日馒头包子鸡蛋稀饭张三2010李四1211王五2221二麻子3212+=矩阵运算矩阵加法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的和记作

A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵减法定义：设有两个

m×n

矩阵

A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵

A与

B的差记作

A-B，规定为：A-B=(aij-bij)+=知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设

A、B、C是同型矩阵设矩阵

A=(aij)，记－A

=(－aij)，称为矩阵

A的负矩阵．馒头包子鸡蛋稀饭张三2442李四0422王五2622二麻子2222体重超标，需要控制，每天早餐减半例同学的早餐情况馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0211王五1311二麻子1111X1/2数与矩阵相乘定义：数

l与矩阵

A

的乘积记作

lA或

Al

，规定为知识点比较结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设

A、B是同型矩阵，l

,

m

是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.练习解馒头包子鸡蛋稀饭张三1221李四0211王五1311二麻子1111食堂毛利润和净利润例同学的早餐情况价格利润馒头10.5包子20.5鸡蛋21稀饭21矩阵乘法

注意：矩阵A乘以矩阵B必须要求A的列数与B的行数相同练习解解知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.练习解若AB=BA,则称矩阵A，B可交换练习解矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中

l

是数）

思考：下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立定义：把矩阵A的行与列互换得到的矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT

。矩阵的转置转置矩阵的运算性质练习解如果满足A=－AT，那么A称为反对称阵.对称阵反对称阵

2.A，B为对称阵，而AB不一定是对称阵

2.A，B为反对称阵，而AB不一定是反对称阵例：设列矩阵X=(x1,x2,…,xn

)T

满足XT

X=1，E

为n阶单位阵，H=E－2XXT，试证明