新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.2 相似矩阵与矩阵的对角化_第1页
新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.2 相似矩阵与矩阵的对角化_第2页
新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.2 相似矩阵与矩阵的对角化_第3页
新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.2 相似矩阵与矩阵的对角化_第4页
新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 5.2 相似矩阵与矩阵的对角化_第5页
已阅读5页，还剩12页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

§5.2

相似矩阵与矩阵的对角化定义2

设A,B

都是n阶矩阵，若有可逆矩阵

P

满足P

−1AP=B，则称B为矩阵A

的相似矩阵，或称矩阵A

和B相似．记作A~B．性质1若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．(逆命题不成立)证明：根据题意，存在可逆矩阵

P

，使得P

−1AP=B．

于是

|B−lE|=|P

−1AP−P

−1(lE)P|=|P

−1(A−lE

)P|=|P

−1||A−lE

||P|=|A−lE

|．定理：若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A

和B相似，则A

的多项式j

(A)和B的多项式j

(B)相似．证明：设存在可逆矩阵

P

，使得P

−1AP=B，则P

−1AkP=Bk

.设j

(x)=cmxm+cm−1xm−1+…+c1x+c0，那么P

−1j

(A)P

=P

−1

(cmAm+cm−1Am−1

+…+c1A

+c0

E)P

=cmP

−1Am

P+cm−1P

−1Am−1

P+…+c1

P

−1

AP+c0

P

−1EP

=cmBm+cm−1Bm−1+…+c1B+c0

E=j

(B)

.定理：设n阶矩阵

L

=diag(l1,l2,…,ln

)，则l1,l2,…,ln

就是L

的n个特征值．证明：故l1,l2,…,ln

就是L

的n个特征值．定理：若n阶矩阵A

和B相似，则A

和B的特征多项式相同,从而A

和B的特征值也相同．推论：若n阶矩阵A

和B相似，则A

的多项式j

(A)和B的多项式j

(B)相似．若n阶矩阵A

和n阶对角阵

L

=diag(l1,l2,…,ln

)相似，则从而通过计算j

(L)可方便地计算j

(A).若j

(l)=|A−lE|，那么j

(A)=O（零矩阵）.可逆矩阵

P

，满足P−1AP=L（对角阵）AP=PLApi=li

pi(i=1,2,…,n)A

的特征值对应的特征向量其中?P.138定理1：n阶矩阵A

和对角阵相似当且仅当A

有n个线性无关的特征向量推论：如果A

有n个不同的特征值，则A

和对角阵相似．例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意

即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．小结

这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论